XXII I

Soient donc

A la distance moyenne du Soleil à la Terre;

y. l'excentricité de l'orbite solaire en parties de cette dislance muyenuc:

v l'anomalie vraie du Soleil;

on aura, comme on sail,

A(i— g''^ I —xcoss

Soient maintenant

B la distance moyenne de la planète au Soleil;

50i NOUVEAU MOYEN DE DETERMINER

ft rexcenlrifilé do son orbite en parties de celte distance moyenne;

/ son anomalie vraie;

ou aura de même

" I — pcosi'

il faudra substituer ces valeurs dans la formule du numéro précédent. Le numérateur et le dénominateur seront alors multipliés par (i — a cosj) (i — p cos^); en transformant les produits de sinus et de cosinus en simples sinus et cosinus, on trouvera, après réduction, une expression pour tangy dont le numérateur sera une somme de différents sinus multipliés par certains coclficients, et dont le dénominateur sera tout semblable, sauf que les sinus devront être remplacés par des cosinus. Si, parmi ces coefficients, il s'en trouve un qui soit beaucoup plus grand que les autres, on divisera tous les termes du numérateur et du dénominateur par ce coefficient, et l'on parviendra, pour tang'^, k une expression pareille à celle des n°^ XVII et XIX; on la traitera de la même façon.

c'est ce qui a lieu pour Jupiter et pour Saturne, leurs distances au Soleil étant, pour le premier, cinq fois au moins, pour le second, dix fois plus grandes que la distance de la Terre au Soleil. Aussi vais-je maintenant appliquer mes formules à la détermination des longitudes géocentriques de Jupiter et de Saturne, en poussant l'approximation jusqu'à r minute de degré, ce qui suffit pour le calcul des Epliémérides. (^da nous permettra, d'après le n" XIV, de négliger, dans l'expression de tang'^, tous les termes qui sont beaucoup plus petits (lue sini' ou

(lue o.oooaqon, ou, en nombre rond, que —- —

LES LONGITLDES DE JLPITKIl ET DE SATLKNE, ETC. 50.i

D'après cclk' supposition, je divise haut et bas l'expression île tanii'j par fj ces- - •> et j ol)tiens

. , rsin<i M . .

sin5 -h -+- lang- - siii, — 6

p cos' -

iaiig9= —

. rcosd' , w

cos9 H -i- lang' - cosi —

p COS- -

r k[i— X-) ^^ • — J3 cos/

p ii[i — |3'J ' I— acosi'

et, pour Jupiter, pour Saturne,

donc — a,'^ est plus petit (lue 7 pour Jupiter, et (lue — ^ pour Sali ' ' ' * oooo ' ' ■ 7030 '

turne; on pourra, par suite, négliger, les termes plus petits (|ue ,,<y'<

On peut donr mettre la valeur de - sous la forme

n ^, {I + X COUS — P COS / .

Si. l'on pose, pour abréger.

a = ^ — 1 f> := lang' - »

B(i-p>)cos'^ Ml. C{

50G NOl VEAU MOYEN DE DETEHMINER

oji ;uir;i

sin9 +a siinj<(i + «cos^— (3 cos<) +6 sin(— 9) ^" ~ cosO -+- a cos<j7{n-acos4 — {3cos<) -h b cos(— 6)'

en transformant les proiluils de sinus et de cosinus, on oljliendra, pour le numérateur,

sin9 + rt sinij/ -f- 6sin;— 5) H [sin;'t]> +*) + siii <\i — s ]

l'I, poui' le dénominateur,

ces 5 -h a cos^li -+- bcos{— 0] -\ [cos^ij/ + s) -h cos(ij/ —s]]

[ces ( I + / ) -(- ces ( 4» — 0]-

On aura donc pour --- une expression semblable à celle du n" XIX.

.Maintenant, pour Jupiter,

6) = I" H)' lo",

el, pour Saturne,

par suite, eos" — est voisin de i; la dillérence est, pour Saturne, plus

petite que » et encore moindre pour Jupiter; par conséciuent, a est

' aooo lit 1 '

voi>in de ^- On trouve ensuite, pour Junilei', /> < -4—^ el, pour Saturnc, ^< —-r- : d'où l'on voit (lue l'on peut né^liiier les iiuissances

LES LONGITUDES DE JUPITER ET DE SATUHNE, ETi:. o07

<le h et même les produits de b par a. En outre, on voit que l'on peut négliger les puissances et les produits de ay. et de a^i, parce que. la

valeur de aÇi pour Ju|)iter étant < — ■< la plus grande quantité que l'on puisse négliger ainsi, savoir a- 6-, est inférieure à Enfin, pour

■ ^ ° ' lOOOO ■

Jupiter, on peut négliger les coefficients a'^a. et a*]S; car le second, qui est le plus grand, est < — ^ — ; mais, pour Saturne, on peut néuliner

même les coefficients o^a et a' ,3; car le second, qui est le plus grand

des deux, est inférieur à — ^ — 12390

Par suite de ces remarques, on aura, pour Saturne,

9 = 5 + (a)(iJ;-5)-(6)(2e)

9 représente ici la longitude géocentri(jue de la planète, comptée ii partir du nœud; 0 est la longitude héliocenlricjue dans l'orbite, comptée à partir du même nœud : on a donc, en ajoutant aux deux niemltres de l'équation la longitude du nœud ascendant.

long. géoc. '[) = long. hélioc. dans l'orbite

a08 NOl'VEAU MOYEN DE DÉTKHMINER

Si l'on fiiil la distance liii Soleil à la Terre = o, la longitude géocenliiqiie deviendra la longitude liélioeenlriiiuc comptée dans l'écliplique: tous les termes de l'équation précédente, sauf — b, [20), s'annulent à cause de a = o. Par suite, notre équation devient

long, liélioc. — long. Jans l'orliilo — 6^ (aô^;

donc — Z», 2i; n'est pas autre chose que la réduction de la plani'te à l'écliptique; cela se vérifie d'ailleurs immédiatement.

Si donc on substitue à la longitude de la planète dans l'orbite la longitude dans l'écliptique, que l'on déduit aisément des Tables, on pourra négliger dans notre équation le terme — (6) (2!/;. et les termes restants exprimeront la différence entre les longitudes géocentrique et héliocentrique de la planète, ou ce que l'on appelle la parallaxe annuelle.

On peut en outre remarquer que, i étant la longitude du Soleil, 0 au contraire la longitude de la planète, comptées toutes deux à partir du nœud ascendant, '^f — 0 sera l'angle de commutation de la planète, ou l'excès de sa longitude sur la longitude du Soleil. Si l'on désigne par 11 cet angle de commutation, on aura, pour la longitude géocentrique de Saturne, l'équation suivante

LES LONGITUDES DE JIPHER KT DE SM UKNE, ETC. oO!)

l'oLii' Jupiter on trouve des fonimles soml)lables, s;iui' (|u'oii ne do pas négliger les termes de l'ordre «V., a^ ^j : on a

long. géoc. Z.'= long, liélioc. T-t- [a) («)

— 5^<^ — ^, ei < — '-'

2 5(ioo 2 a

car « csl </5; on peut donc supprimer sans scrupule les quatre derniers termes, si l'on ne lient pas à pousser la précision très-loin et s'il suRlt d'avoir un nombre rond de minutes.

Il suffît donc de cinq Tables à simple entrée pour trouver commodément les longitudes géocentriqucs de Jupiter et de Saturne. Ces Tables sc'calculent aisément, car elles sont de la même forme que celles qui donnent la réduction de l'éclipliquc h l'équalour, ainsi (jue cela a été montré dans le n" XVIII.

5t0 NOUVEAU MOYEN DE DÉTEKMINEK, ETC.

Si. ;iu reste, on ne veut pas l'aire direeteiiienl le calcul par la Ibrmule (n"XViIl)

lang Ç] — — ; — laiif; ;

mais se servir d'une série infinie pour calculer Ç, et il est aisé de déduire une telle séi'ie des formules précédentes.

Kn effet, la formule trouvée pour la longitude géocenlri(|ue de la planète étant semblable à la formule du n" XVlll, on la ramènera aisément à la suivante

j, ,— 14- me' N "''