IA

— (asin^j , (o.sin-j » — I ?.sin i

On auia ilciic non-sculomonl le noml)r(' des sinus (|ui entrent dans l'expression du ternie général A^ de la série proposée (n° 7), mais ;iussi les valeurs des angles 9, 5, tj/, .... et il ne restera plus qu'à déterminer les coefiicients a, b, .... ainsi que les angles a, |3, ..., ce (|u'on fera par la comparaison d'autant de termes de la série donnée. On pourrait aisément donner des formules générales pour cet ohjet, mais elles seraient, dans la pratique, moins commodes (jue l'opération ordinaire de l'élimination.

Pour faciliter celte opération, on prendra d'abord les sommes et les différences des termes éfjuidistanls de part et d'autre du terme A, et l'on formera ces n é(|uations

A = « sin 3; -f- i sin ,5 -f- c sin y -1- . . . ,

— — =asinacoscp +/>sin(3cos{/ + csiny cosij/ -f-...,

: a sin«cos2o + /^sinpcosa^ -f- c siii y 0032(1/ -(-...,

iiisi que les n équations

' ' =:;acosasin9 +tcos(3sin6 -1- ccosy snnj/ H-...,

;=flCOS«sin2o -+- b cospsinaO -t- c cosy sin2i|i +. . ., = a ces a sin3o + 6 ces p sin 30 -I- ccosy sinS'l- -(- . . .,

Les |iremières serviront à déterminer les n inconnues «sina, ^sin/3,

SUR LES INTERPOLATIONS. o.ïl

csiny, .... el les dernicros serviront à (Jéterminer les inconnuos acosa,

/>cos/3, ccos-/ d'où l'on déduira ensuite les valeurs de a, b,c, ...

et des angles a, ^, y

li. On voit donc, d'après tout ce qui précède, que, pour que la série primitive donnée soit formée d'un certain nombre de sinus d'angles croissant uniformément, il faut que l'équation en = trouvée par les règles ci-dessus ait toutes ses racines réelles inégales et comprises entre ces limites o et 4; autrement on ne pourra déterminer les dilTérenls angles 9, 5, (];, — Cependant, lorsque quelqu'une de ces conditions n'a pas lieu, on peut également avoir l'expression du terme général .A^. Parcourons les ditïérents cas qui peuvent arriver. Et d'abord supposons que toutes les racines soient comprises entre les limites assignées, mais qu'il v en ait deux d'égales entre elles, en sorte que l'on ait 0 = 0. Alors, au lieu du terme isinf/5 + xO) de l'expression de Aj^^. il faudra substituer un terme de cette autre forme a:6sin(,S -hcc^); par conséquent, dans les é(|uations ci-dessus, il faudra cbanger 5 en z, et multiplier en même temps chaque terme par le coefficient de l'angle j.

Si trois racines sont égales, en sorte que, outre 5 = s, on ait encore 'I = o, alors il faudra de plus changer le terme csiQ(y -f- x<^) en un autre de cette forme x-csin{y -\- a^o); par conséquent, dans les équations précédentes il faudra changer aussi tl/ en 9 et multiplier les termes respectifs par les carrés des coefficients de l'angle ^, et ainsi de suite.

Cela peut ge démontrer de plusieurs manières, et surtout par la considération des quantités évanouissantes, en supposant (|ue les angles o, 0, (j^, au lieu d'être absolument égaux, dilTèrent entre eux par des quantités infiniment petites; mais ce n'est pas ici le lieu d'entrer dans ce détail.

On doit conclure de là que, dans le cas des racines égales, l'expression de Ai- contiendra toujours la quantité x en coelficient, et élevée àla première puissance pour deux racines égales, à la seconde pour (rois racines égales, et ainsi de suite, ce qui donnera des é(|ualions séculaires de différents ordres.

o.rl SUR LES INTERPOLATIONS.

15. Supposons niiiinltMiant (pio, piiniii les racines de l'équation en z, il y en ail une 9 qui tombe hors de ces limites o et — /|. Alors il est visible

que l'équation — (2sin M = q ne pourra pas donner pour 9 un angle

réel; cet angle deviendra donc imaginaire, et ses sinus et cosinus se

transformeront en sinus et cosinus liypcrboli(iues. Pour résoudre ce

cas, on fera donc

et, employant les exponentielles, on aura

ce qui donnera l'équation

e" -f- e~" — 2. = cj,

(jui, étant résolue par les logaritlimes, donnera toujours une valeur réelle de « tant que q sera >> o ou •<— 4-

Ayant trouvé co, on mettra, à la place du terme As\n{a-{-xo) de l'expression de A^, deux termes de celte forme

M et N étant des coellicients (ju'on déterminera par la comparaison des termes.