Los avantaijios ilo celU' ilt-rnicrc lorimilt' sont

i" Que l'on peut Irouvor par une iiièino opéralioii les vali-iirs des lieux Ici'iiies A.^ t't .,.\ égalonicnl dislanls de part cl d'autre du terme du uiilieu A.

Car eu l'aisaut x négatif pour avoir la valeur de .,A, il est clair que les termes de la formule (jui occupent les places paires doivent demeurer les mêmes, puis(|ue x ii'v est élevé iiu'ii d<'s |missauees paires; au coniraire, les termes (jui occupent les places impaires changent simplement de signe, puisque chacun de ces termes est une fonction de cc'mullipliée par .r.

De sorte (]ue. si l'on fait séparément une somme des termes pairs et une somme des termes impairs, et (ju'on nomme la première P, la seconde Q, on aura

2° Que les termes affeclés des puissances paires de x sont séparés et indépendants de ceux qui contiennent les |)nissances impaires, la somme Pétant composée uni(|uement des premiers et la somme Q uni- ([uement des sccomis, ce qui est plus analogue à la nature des fonctions que l'on a à interpoler dar)s l'Astronomie, ces fonctions étant ordinairement composées de sinus et de cosinus dont les uns ne donnent ipic des puissances impaires de l'arc, les autres que des puissjuices paires.

')" Si les termes de la suite des dili'érences A, IJ, C, D, ... vont en décroissiinl e( devienneiil enlin nuls, c'est une mar(|ue (|ue la série proposée est algéhriciue. Alors la formule (|ui exprime le ternu' général A.,. >-(■ trouve finie et exacte; ainsi elle donnera rigoureusement la valeur d'un terme quelconque intermédiaire. Mais, si les termes de la suite doni il s'agit ne vont pas en diminuant, l'expression de A^ ne se lermincr;i pas et ne sera pas même convergente; elle sera donc fautive et ne pourra pas éli'c cn)ployée pour trouver les termes inh i uiediaircs. (^el im-onvénienl a également lieu dans la formule ordinain; d'interpolation (|ue nous avons rapportée plus haut, et vient en général de ce qu'alors la série n'est pas algébrique, conime on le suppose.

6. Parmi !os cas qui échappent à ces méthodes d"inter|)ohiliui), un (h>s plus étendus et des plus importants dans l'Astronomie est celui où la série à interpoler est composée de sinus ou de cosinus d'angles qui varient uaiformémenl, mais dont les variations d'un terme à l'autre de la série sont trop grandes pour qu'on puisse suhstituer à ces sinus ou cosinus leurs valeurs exprimées par des puissances des arcs. Dans ce cas, les dilTérences- successives sont très-irrégulières : elles vont tantôt en augmentant, tantôt en diminuant, et changent même souvent de signe, ce qui ne peut que rendre fautive la valeur de A^ dans les formules connues d'interpolation. Ces formules ne peuvent donc être d'aucun usage dans ces sortes de séries; il est néanmoins d'autant plus intéressant d'avoir une méthode pour interpoler les séries de cette forme que toutes les irrégularités des mouvements des corps célestes s'y rapportent, et qu'en général l'art de construire des Tables des planètes d'après les observations en dépend. Cette considération m'a engagé, il y a quelques années, à chercher une mélhode particulière pour cet objet, et j'ai donné le résultat de mes recherches sur cette matière dans un .Mémoire imprimé parmi ceux de l'Académie des Sciences de Paris pour l'année 1772 (*); mais j'ai remarqué depuis qu'on peut simplifier beaucoup la méthode de ce Mémoire en employant la série des différences successives A, B, C, ... de la seconde formule d'interpolation donnée ci-dessus (n°4-). C'est ce que je vais développer; je tacherai en même temps d'ajouter quelques autres simplifications à la mélhode dont il s'agit.

7. La question considérée dans toute sa généralité se réduit à celle-ci : Supposons que l'on ait une suite dont le terme général A^, soit de la forme suivante

Ax= asin a: -4- jr9) -+- b sin[p -h x9] -f- csin y 4- :r|; 4-. . .; et que l'on connaisse plusieurs valeurs successives, telles que ..., ,A, ,\, ,\, A, A., A„ A„ .... (*) OEiwrcs de Lagrangc, t. VI, p. 507,

rcpoiidanl à

i/ s'a/{il de déterminer les coefficients a, b, c, ... ainsi que les angles a, ,3, Y ç;, 0, 6

Supposons, pour plus de simplicité, que la valeur de A,, ne renferme qu'un seul terme asin{a + xy); en donnant successivement à .r les valeurs précédentes, on aura

..., 3,\=asin(« — 89), ,A =asin(« — 29], iA =rtsin(a — 9), A =asina,

A,=::: asin(a -4- 9),

Aj=r «sin(« -f- 29),

A3 = asin(a-t- 39), ....

De là un trouvera, en prenant les différences successives et employant les réductions connues

.... jB =: 2«sin- ces a — (2 4- -|9 , ,B = 2asin- ces a — f i h — |9 ,

,B = ia sin - cos (« — -)>

B, = 2asin^ cos (a + - ]»

B,= 2a sin- ces a-f-(i-i--|9, Bj=: aasin 2 cos a -(- ( 2 -(- - J9 , ...; ,C = — 4a sin' - sin (a — 29), ,C = — 4«sin'- sin(a — 9),

su II LES INTERPOLATIONS.

C = — 4«sin' - sinsc,

C, = — -iflsin' - sin a + a),

L,j= — 4a sin- sin a + 20), ..,:

,D = — 8a sin' ^ cos a — | n — j o ,

,D = — 8rt sin^ - cos (a ^ ) »

D, := — Sa sin' - cos ( a + -m

D,= —Sa sin' - cos a +( n — jo ,

,E = iGasin' - sin :^a — o),

E = 16a sin* - sin .a,

Ei= lôasin' - sinîa -f- o], 2 ^ ' '

De sorte qu'on aura

A = a sin a,

B ^ 2a sin - cos - cosa,

C = — 4*" sin' - sin a.

D = — 8a sin' - cos - cos a.

E =^ iGasin' - sin a,

Donc, piiisfuic îsin- cos? = sinp, si l'on part:ii;c la série pécédenle fil deux, on aura ces deux suites

A == rt sinz,

C = — n siiii! ( 3sin - ) ■,

E = tz sina asin

G = — flsiiia ( 2sin - ) i

li =: a cosa sino,

D = — a ces a sinç 1 ?.sin

F = a cosa sin9 ( asiii - |

H = — rt cos3:sin9 ( asin - ) ?

lesquelles sont évidemment deux progressions géométriques qui ont la même raison — (asiu^j •

8. De là il est facile de conclure que, si l'expression de A^^ contient plusieurs termes tels que

a sin 'a -f- j;»] -4- isinf(3 + jrô; -+- tsin(y -4- arij/'i -4-. . .,

la série A, l^, E, ... sera composée d'autant de progressions géomélri(|ues dont les premiers termes seront

asin s;, />sinj5, csiny, ...,

l'I dont les raisons seront

(asin^j', -(asin^j', -(^.sinjj

suit LES INTERPOLATIONS. 545

et que, de iiième, la série B, D, F, ... sera composée d'autant do progressions géométriques dont les premiers termes seront

rtcosasino, /«cos^sinû, ccosy sin^]/, ....

et dont les raisons seront les mêmes que pour la série A, C, K,

Ces deux séries seront par conséquent toujours du genre de celles que l'on nomme récurrentes, et dont la propriété est (ju'il y a constamment la même relation entre un certain nombre de termes successils; cette relation étant la même que celle des puissances successives de l'inconnue dans une équation qui aurait pour racines les raisons des différentes progressions géométriques qui composent la série récurrente, ainsi qu'il est démontré dans plusieurs Ouvrages.

9. Lors donc qu'on aura formé la série des difîerences successives A, B, C, D, . . . , on examinera d'abord si cette série va en diminuant, auquel cas on pourra faire usage de la formule du n° 4.

Si l'on voit que cette série n'est pas décroissante, on la partagera en ces deux A, C, E, . . . , B, D, F, . . . , et l'on examinera si elles sont des progressions géométriques qui ont la même raison. Alors, nommant </ cette raison, c'est-à-dire le quotient d'un terme quelconque divisé par le précédent, on aura

,2sin?) =q.

Sm - =: 2-

Ensuite on aura

«sin a

= A, rtC0sasin9 =

d'où l'on tire

/. B- Asino

V sin'o B

par où l'on connaîtra le coeHicicnt a, ainsi que les deux angles a et 9;

ainsi l'on aura

Aj= flsin(a; -t- xo ',

pour expression du terme général de la série primitive donnée. VIL l'y

.'iiG

SIR LES INTEKPOLATIONS.

10. lui général, lorsque les séries A, C, E, ..., B, D, F, ... sont composées (le (liiréi'eiites progressions géométriques, il est facile de s'apercevoir qu'elles doivent dégénérer peu à peu en progressions géométriques simples, qui aient pour raison la plus grande dos quantités

asin —

parce (|ue les termes des progressions dont les raisons sont moindres doivent aller en diminuant vis-à-vis de ceux de la progression (jui a la plus grande raison.

Donc, si l'on a un grand nombre de termes de ces séries, il n'y aura (|u';i examiner si les derniers termes sont entre eux dans un rapport constant ou à peu près constant, et qui soil le même pour les deux séries. Si cela n'est pas, on en conclura d'abord que l'expression du terme général A^ n'est pas composée de sinus d'arcs qui croissent uniformément. Mais supposons (|ue la condition dont il s'agit ait lieu; alors, nommant 7 le quotient d'un des derniers termes divisé par celui

(|ui le précède, on aura sin - — ^-^ — -j l'angle '^ étant celui de tous les

igics 9, 0, (^

qui approchera le plus de 180". El cette détermination de o sera d'autant plus exacte que la série approchera le plus d'élre une progression géométrique. De plus, si l'on divise un de ces termes par q"'~' , m étant le quantième de ce terme, à compter du premier A ou B, on aura à très-peu près les valeurs deasina et acosacosy, par où l'on connaîtra l'angle a et le coelfieient a. On pourra donc connaître par ce moyen, du moins par approximation, un des termes, tel (|ue as\n' V. + xo) de l'expression de A.i..

11. Si maintenant on reprend la série primitive et ([u'on y prenne seulement les termes de deux en deux comme

OU de trois en trois comme

SUR LES INTERPOLATIONS. b'û

ou, en général, de a en p. comme

..., ,,.A, j,A, A, A.„ A,.., .... série que nous représenterons simplement ainsi

il est visible que le terme général (A)^. de cette série sera le même que le terme général Aj: de la première série, en mettant dans celui-ci y/^;,

aS, ai, .... à la place de o, 0, <ii,

Si donc on cherche les différences successives de cette dernière série, et qu'on en déduise les deux séries (A), (C), (E), ... et (B), (D^, (F;, .... on y pourra appliquer les raisonnements du numéro précédent et en déduire par la même méthode la valeur approchée de l'angle p.-^ qui sera le plus près de i8o°. Ainsi l'on connaîtra par ce moyen celui

des angles ç, 5, j},- .... qui approchera le plus de -^; ou plutôt,

comme sin^ est un maximum lorsque p.ç = (qh + i) i8o", // étant

un nombre entier quelconque positif ou négatif, l'angle ç (|u'on trouvera par la méthode précédente sera celui qui sera le plus près de

i8o°, ce qui fournira différents movens de connaître à peu près

les différents angles o, 0, -J/, ... qui entrent dans l'expression du terme général A^.

12. Mais, pour trouver les valeurs exactes de ces angles ainsi que des autres constantes qui entrent dans l'expression du terme général A^, il faut considérer la question dans toute sa généralité et traiter les séries A, C,.E, ..., B, I), F comme des séries récurrentes d'ordre quelconque. La méthode que j'ai donnée pour cet objet dans le Mémoire cité plus haut est peut-être ce qu'il y a de plus direct pour cette recherche; mais, comme cette méthode est fondée sur la théorie des fraclions continues, qui n'est peut-être pas assez familière aux Astronomes, nous allons en proposer une autre qui a l'avantage de ne demander que (les opérations élémentaires.

5i8 SUR LES INTERPOLATIONS.

Celle méthode est fondée sur la propriélé générale des séries récurrentes dont nous avons parlé plus liant (n" 8).

On prendra un nombre indélini d'inconnues (jue nous dénoierons,

pour plus de simplicité, par (o), (i), (2), (3) et l'on i'oruiera les

é(|uations suivantes, dont la loi est assez évidente,

C(o)+E(i)-hG(9.)+--- = o.

On divisera d'abord cliacuno de ces é(juations par le coeflicient de la première inconnue (o); ensuite on les soustraira successivement l'une de l'autre; on aura de nouvelles équations de la même forme, mais qui ne contiendront plus l'inconnue (o). On divisera de nouveau ces équations par les coefFicients de la première inconnue (1), et on les retranchera l'une de l'autre, ce qui produira de nouvelles équations où les deux inconnues (o), (1) ne se trouveront plus. On continuera ainsi tant qu'il y aura des équations et des inconnues.

Maintenant, si la loi des séries peut être représentée par deux lermes, il faudra que, dans les équations ci-dessus, toutes les inconnues puissent être nulles, hors les deux premières (o), (1).

Par conséquent il faudra que, dans la seconde suite d'équations sans l'inconnue (o), l'autre inconnue (i) disparaisse d'elle-même, c'est-à-dire (jue les coelficients de cette inconnue soient nuls. Si cette condition a lieu, on prendra une quelconque des premières équations, on y fei'a (2) = o, (3) = o, ..., et l'on délerminera par là la valeur de (i) en supposant, pour plus de simplicité, (o) = i. Alors, nommant en général T, f deux termes quelconques successifs de la série A, C, ..., ou de l'autre -série B, D, ..., on aura cette relation constante

SUR LES INTERPOLATIONS. oW

d'oii l'on formera celle ô(|ualu)n en :; «lu premier degré

Si la condition précédente n'a pas lieu, il faudra savoir si la loi des séries récurrentes peut être représentée par trois termes. Pour cela il faudra que, dans la troisième suite d'équations sans les inconnues (o et (i), la troisième inconnue (2) s'en aille d'elle-même, afin que l'on puisse y supposer nulles toutes les autres inconnues (3), (4)

Si celte dernière condition a lieu, on prendra une quelconque des premières équations et une quelconque des équations sans (o); on y fera (3) = 0, (4) = o, ..., et l'on aura deux équations qui serviront à déterminer les inconnues (i) et (2), et où l'on pourra supposer, pour plus de simplicité, (o) = i.

Alors nommant T, T', T" trois termes consécutifs de l'une ou de l'autre série A, C, .,., B, D, ..., on aura cette relation constante

T + T'iil-+-T"i3'i=o,

d'où l'on formera celle équation en z du second degré

Mais, si la condition dont il s'agit n'a pas lieu, la loi des séries ne pourra pas être représentée par trois termes, et il faudra voir si elle peut l'être par quatre, et ainsi de suite.

13. Supposons à présent (pie l'on ait reconnu que cette loi peut être exprimée par « + i termes, en sorte que l'on ail celte relation entre les termes successifs T, T', T", ....

On formera de là l'équation en z de degré n

dont les racines seront les raisons des dilVérenles progressions gêonié-

triques qui composent les séries A, C et B, D, .... et par conséquent seront égales à (n° 8)