HÈ

/ étant la force élastique du gaz à l'origine du mouvement , laipiclle force est rapportée à l'unité de surface, et peut être exprimée par un poids g^D/', en désignant par f; la gravité et par /( une ligne d'une très-grande longueur.

11 ne restera donc plus que l'inconnue z à déterminer. Or, si l'on ai)pelle .\ l'aire de la section intérieure du canon, perpendiculaire à son axe, la force motrice de la couche fluide qui

répond à z sera -j-f DXdx, puisque sa masse est DXdx comme à l'origine du mouvement :

d'ailleurs la pression qui la pousse dans le sens de z étant .Kj>, celle qui la pousse en sens contraire s'en déduira, abstraction faite du signe, en y mettant .r -*- tlx à la place de .r, et

sera conséquerament .\lp-i- -j- (U- ] ; on aura donc

ou simplement

rf'z 1 dp 7F "^ D d^~°'

pour l'équation d'où dépendra la valeur de z. En substituant la valeur deyj et faisant, pour abréger,

elle deviendra

'l-=„'.'lll('ll\""'.

Ces différentes équations sont indépendantes de l'état initial du fluide, et auront encore lieu lorsqu'à l'origine du mouvement ses différentes couches ont reçu des vitesses et éprouvé

des déplacements quelconques ; en sorte que les valeurs de z et -f qui répondent a t = o

AU MOUVEMENT DU BOULET. GOo

soient des fonctions quelconques de -r. On peut vérifier, en effet, qu'elles s'accordent avec les équations connues du mouvement dans une colonne d'air dont les couches ont des vitesses et éprouvent des variations de densité qui ne sont pas supposées très-petites. Dans le cas des

déplacements très-petits, z diffère très-peu de j:; et, en réduisant le facteur (-r-)

à l'unité dans le second membre de léquation (i), elle devient l'équation de la propagation du son dans un tuyau cylindrique.

2. Pour déterminer simultanément les mouvements du gaz, du boulet et du canon, il faudra joindre à léquation (i) celles du mouvement de ces deux derniers corps. On supposera que l'action du gaz sur l'un et sur l'autre s'exerce dans une étendue égale à la section intérieure du canon, dont l'aire sera -c', en désignant par r son rayon. Si donc on appelle m la masse du boulet et m' celle du canon, y compris l'affût qu'il entraine avec lui; si de plus on représente par y et c, jr' et tt' ce que deviennent z et p relativement aux deux couches extrêmes du gaz, les équations du mouvement du boulet et du canon seront

,(Py'

—rr = Tzc a.

lit' '

dt

Les valeurs de c et xs' se déduiront de celle de p du numéro précédent, en y mettant y et j» ' à la place de z; et, en les substituant dans ces équations, nous aurons

lit

Je compterai les distances x et ; à partir de la position initiale de la culasse; alors y' et

se déduiront de s et -^î en y faisant x = o; et, si Ton représente par a la longueur de la

charge, y et — se déduiront de 2 et -— > en y faisant x = y.. ° ^ " lit lit '

On admet généralement qu'à l'origine du mouvement les vitesses du boulet et du canon sont nulles ou infiniment petites. C'est aussi ce que Lagrange suppose pour ces deux vitesses initiales et pour celle de la poudre réduite en gaz. Toutefois il ne serait pas impossible que, quand la masse entière du boulet commence à se mouvoir, son centre de gravité eût déjà reçu une vitesse de grandeur finie, et même une très-grande vitesse. En effet, quelque dure que soit la matière du boulet, la pression de la poudre commence d'abord par comprimer un tant soit peu sa partie postérieure; une partie adjacente se comprime ensuite, puis une autre, et de proche en proche le mouvement parvient à la partie antérieure. Cette propagation du mouvement a lieu dans une très-petite fraction de seconde, que l'on peut évaluer à 5 cent-millièmes, par exemple, en supposant la vitesse du son dans la matière du boulet sextuple de celle du son dans l'air, et prenant i décimètre pour le calibre. Or, pendant cet intervalle de temps, le centre de gravité du projectile reçoit la même vitesse que si la pression y était immédiatement appliquée et que sa masse entière y fût concentrée; par conséquent, lorsque cette masse entière commencera à se déplacer, le centre du boulet aura déjà acquis une vitesse de grandeur finie. L'effet de la pression, pendant ce temps extrêmement court, est ce qu'on appelle un choc ou une percussion, c'est-à-dire une quantité de mouvement imprimée presque instantanément, et sans que le mobile se soit sensiblement déplacé. La ques-

C06 FORMULES UELATIVKS

lion est donc de savoir si l'on peut nt^gliger, comme on le fail onlinaircmont, la vitesse initiale du boulet ainsi produite, ou bien si cello vitesse csi une partie sensible de celle que le projectile a ac(]uise quand il a atteint la bouche du canon. On ne peut pas décider a priori que ce dernier cas soit impossible, et c'est rexpérieiicc seule qui nous apprendra s'il a réellement lieu ; car, pour ipi'il arrivât, il suffirait, par exemple, que l'état d'incandescence du gaz de la poudre ne subsistât que pendant les premiers instants qui suivent l'inllammation, et que, dans cet état, l'action du i;az compensât son peu de durée par la grandeur de son intensité, de sorte que dans un temps ((ui serait, pour fixer les idées, la centième partie de la petite fraction de seconde pendant hKiucHo le lioulet se meut dans la pièce, l'action initiale ou la percussion du gaz incandescent pOl imprimer à ce projectile une vitesse comparable, égale, ou mémo supérieure à celle (|u'il acquiert ensuite graduellement par la pression du gaz refroidi.

M. Cazaux, officier supérieur d'artillerie, a voulu prouver l'existence d'une percussion exercée par la poudre dans les premiers instants de sa réduction on gaz. Il appuie son opinion sur des considérations dili'érentes de celles qu'on vient d'indiquer, pour montrer seulement la possibilité de cette force initiale. C'est à cette force qu'il attribue les ollets de l'explosion des mines et le refoulement du métal du canon cpii s'observe à l'endroit occupé par la charge et le boulet; de celte manière, il donne une explication assez plausible de la singularité qu'ont présentée les poudres inflammables substituées à la poudre ordinaire : on a reconnu qu'elles détériorent beaucoup plus les armes ;\ fou sans conmiuniinier néanmoins une vitesse plus grande à la balle ou au boulet.

(Juoi qu'il en soit, Lagrango n'est point entré dans cette discussion, et il a supposé nulles les vitesses de toutes les parties du système à l'origine du mouvement. Ainsi l'on aura à la ■ fois

dz rly 'ly'

t = O, Z =z X, — - = O, -4- = o, ^7— = O, lit lit ' (It

et le problème consistera à satisfaire en même temps à ces conditions initiales et aux é(jualions (i) et (a).

3. On pourra, si l'on veut, remplacer les équations (a), qui sont différentielles du second ordre, par les équations qui résultent des principes généraux du mouvement et ne sont (|ue du premier ordre.

Pour cela, j'ajoute les éiiuations (a) après les avoir multii)liées [lar <•/<; en intégrant ensuite, il vient

cette intégrale commençant avec t, ainsi que toutes les suivantes qui répondent à cette variable. L'équation (i) donne, par l'intégration relative à x,

on multipliant par dt et intégrant jiar rapport à t, on aura, par conséquent,