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AU MOUVEMENT DU ROULIiT. 609

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Par la mi^thode des quadratures, on aura donc la valeur de t relative à chaque valeur de &, et réciproquement, ce qui fera connaître à chaque instant la position du boulet dans l'intérieur (le la pièce. Si l'on appelle / sa longueur, on aura en particulier

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|)Our le temps que le projectile emploie à atteindre la bouche du canon. .\u bout de ce temps, si l'on désigne par V et V les vitesses du boulet et du canon, on aura, d'après les équations (5),

,,„„ ■ntc'y.k fV-,' /)i\- -h III \ - =

lurmules qui sont effectivement celles dont on se sert pour délerminer ces deux vitesses.

•^). Au lieu de supprimer les termes multipliés par u. dans les équations ( 3) et (4 ), Lagrange y subslitue, comme dans le second membre de l'équation ( 4 ) i la valeur précédente de z, savoir

qui change ces équations en celles-ci

(m -+- iu.) -^ -h (III -h -. u.) {lit -h -u.) ~r -h (/;/-!- j'J. ]

dt

dr

di

dl

ify'fyl^ 27rf-a/- r/j-— }■','-" 1 dl dt i-ii \\ y. ; \'

Ur, en les comi)arant aux équations (5), et observant ipie la masse u. de la poudre est communément le tiers ou la moitié de la niasse m du boulet, on voit combien doit être fautive la solution du numéro précédent, et combien doivent être inexactes les valeurs de V et V qui s'en déduisent. Mais, si celte comparaison suffit pour rendre sensible l'inexactitude des équations (5) , celles que nous venons d'écrire ne sont pas elles-mêmes suffisamment exactes quand on veut avoir égard à la masse de la poudre ; car, lors môme qu'on la suppose tiès-petile et qu'on ne veut conserver que la première puissance do j/. dans le calcul, il faut substituer dans le second membre de l'équation (4) une valeur do : plus aiiprochéc que la précédente.

Pour obtenir cette valeur, Lagrange fait

" étant une nouvelle inconnue qu'il suppose trés-pelite. Après avoir mis l'écpiation (i) sous la forme

*''' dx' " iil\dxj dt' '