VU

610 FOllMULES KKLATIVES

il y subsli lue celte expression de 3 ol il néglige les différences |iarliollps de n dans son second membre, -de sorle qu'on a

r/.r' " ///V a j W/W tW ) y. rit' }'

Mais les é(iualions (-2) donnent en niOme temps

(II- III \ -j. J

fl\y' TTcH / y — y' V"" .

lit- ~ m' \ J. ) '

L't en sulistituant ces valeurs dans l'éiiuation précédente, et observant que -rj.X) — u,, on aura

D'après les conditions z =y' et z = y, quand x = o et'x = z, il faut (jue 11 s'évanouisse pour ces deux valeurs extrêmes de x, et, cela étant, on trouve en consécpiencc

6 «a' \ III

valeur qui sera cHectivement très-petile, ou plutôt \nu-. très-petite partie de :, lorsque ki masse uL sera très-petite par rapport à m. Nous auions

' a ' Orta'' \ /" III J

pour la valeur correspondante de r.

("e serait donc celte expression qu'il faudrait substituer à la place de z dans le second membre de l'équation (j); mais on voit qu'elle ne satisfait pas à la condilion ; = .r quand t --- o, car pour cette valeur de i on a y' = o et j — z, et par conséquent

u.(x — a).r /.r -I- a .r— v.aX d/ix' \ m m' )

Or celle valeur initiale de : n'est point applicable à la question qui nous occupe : elle suppose que les couches du fluide ont été déplacées suivant une certaine loi, pu, autrement dit. qu'elles ont été condensées et dilatées d'une certaine manière à l'origine du mouvement, ce qui n'a pas lieu dans le Problème du mouvcrtient de la poudre réduite en p;a7., où l'on suppose que la densité du fluide est constante dans toute sa longueur, et la même que celle de la poudre lorsfpi'il commence à se mouvoir. La formule (8) est donc étrangère à la question; mais je ferai voir tout à l'heure qu'on peut la compléter et la rendre applicable au mouvement du gaz de la poudre, en supposant toujours la masse de ce fluide peu considérable par rapport ù celle du projectile.

Celle formule se compose des deux premiers termes d'une série ordonnée suivant les puissances de y, rpi'on peut représenter par

AU MOUVEMENT DU BOULET. Gl!

Eu la substiluanl dans réquation (i), el égalant ensuite les coefiicienls des mômes puissances de u. dans les deux membres, on formera une série d'équations d'après lesquelles on pourra déterminer successivement les coefficients Z, Z', Z", . . ., au moyen les uns des autres, et du

premier dont la valeur est ( r — y' ) '- -t-.i'; mais ces équations seront très-compliquées, el,

encore plus les valeurs de Z, Z', Z", .... Lagrange a aussi essayé do développer la valeur de ; en série ordonnée suivant les puissances de .r; mais ces différents développements ne l'ont conduit <i aucun résultat satisfaisant. Il a ensuite reconnu qu'on peut satisfaire en môme temps aux équations (i) et (2) par rertaines valeurs de z, y, y', qui ne dépendent que des ipiadralures: et, quoique celle solution ne remplisse pas non plus la condition ; = x quand / = o, je crois cependant utile de la faire connaître.

6. Soit X une fonction inconnue do .'■, et sup[>osons qu'on puisse avoir exactement

Il faudra d'abord que X s'évanouisse avecx, et qu'on ait \ = y. ipiand .<• — y., alin que les \aleurs extrêmes de z soient y' et y. Je désignerai par f.' el fi les valeurs de —^ qui répondent à .v = o et X = a, et alors, après avoir substitué celle expression de; dans les équations (i) et (2), on aura

r/<- ) y. '^ dt- ~ l) \ y ' ,iy- \<lxj '

(fy (P y'\ \ (P y' ril.[y~y'^ dO dt-

\ dt' ~ /«'€'" \ ^ ) ' Au moyen de ces deux dernières équations et de f. = -f-xD, la première devient

ni'J' in'iJ" ^ ' tu dx- \dx j

et, comme elle ne renferme plus que X cl .r, il s'ensuit déjà la possibilité de la lornic de :

qu'on a supposée.

Je multiplie cette équation par idX, et j'intègre de manière (pie les deux mcndircs s'éva-

nouissent pour .r = o, X =. o, -; — = fi ; il vient

lin laisanl ,r = a, X — x, -7— = fi. on aura dx

III t." iii't'" (1 — ") ,"

6!-2 rOKMl LES RELATIVES

pour l'une des deux équations i]ui devront servir à déterminer fj et Ô'. En résolvant l'éiiiialion (lo) par rapport à <lx, on a

^/j- = 6"-" -)- ! -^X'-*--^ ;-^ \'-2xX f/X.

L ininT-^v i.nmot}°j J

doù l'on déduira, par les quadratures, les valeurs de.r d'après celle de X, et réi-iproquonieiil. Si l'on intègre celle formule depuis X = o jusqu'à X = a, cette intégrale définie devra être égale à x, ce qui fournira la seconde des équations d'où dépendront les valeurs de 6 et 6'. Dans lo cas de n= i ces formules changent de forme, et, par exemple, récpiation (lo) devient

^ X- -)- -7^, X' — 2 aX = — log p, j— '

en désignant par e la base des logarithmes népériens.

Il reste encore r et > ' à déterminer en fonctions de e. Or, si l'on retranche l'une <le 1 autre les deux dernières équations (g), et qu'on mette 9 à la place de j — .7', on a