TIF

A. par l'intégration,

tirant de là la valeur de di, puis intégrant par la méthode des quadratures, on aura le;; valeurs de t correspondantes à celles de 0, et réciproquement. L'une des deux dernières éipiations (9) fera connaître ensuite les valeurs de > ou ,>'; mais il vaudra mieux les déduire de l'équation (3), laquelle devient

dt dt -j} \cU dl / J„ • dt '

après qu'on y a mis pour ; sa valeur ; en intéi;rant. on aura donc

iiij H- m' y' -h ^ (j — /') / Xrfx -*- u/' = px -,- m / \di\

pour déterminer / ou > ' au moyen de d ou > —y'.

1. Voici maintenant comment on peut rectifier la formule (8).

Je conserve, pour abréger, k à la place de sa valeur: je désigne par <■> une nouvelle inconnue, du même ordre de grandeur que «. et je fais

- = {y — x') — -h y' -+■ Il -h 1,1.

AU MOUVEMENT Dl BOULET. «13

En substituant cette valeur dans l'équation (7), je néglige -j- e! —pr dans son second

membre, où ces quantités se trouveraient divisées par /, ([ui est toujours très-grand; par la

même raison, je néglige aussi y-; mais il faudra conserver -pri parce que la différentia-

tion relative à / donne à celte quantité un facteur très-grand, qui fait disparaître le diviseur /■. En observant d'ailleurs que la valeur de ; satisfait déjà à l'équation 1 7), abstraction faite des termes dépendants de w, on trouve

(fM D /r — r'\"*' <-/-'<>

dx' nk\ X j (It- .\u lieu de t si l'on prend une autre variable indépendante, il faudra remplacer — r- par

et, si cette autre xariable est 0, il suffira, au degré d'approximation ou nous nous arrêtons, de prendre pour <lt- sa valeur donnée par l'équation (fi). On en déduit

' \ — >i\ mm' y.~" (/(/-

n]''mm'yr" B-"dO'

t/.ell- = —

i~c''/i(ni -+- m') (6' " -

ce (]ui change l'équation précédente en celle-ci

d'r.t 2,li(/n -I- wM?""^' /6'""— x'"" rf-'w ,fl„'^'■'^

dx' iiiiiin' -A- \ 1 — n d(l' ■ dh j

La valeur de w qui s'en déduira devra en outre s'évanouir pour .r = o et x = a, puisque alors z doit coïncider avec r et y'\ or on remplit cette condition et l'on satisfait à cette équation en prenant

= Z,'7/i',sin-

I étant un nombre entier et positif, 7, une constante indéterminée qui pourra dépendre de /, 'J, une fonction de 0 et ( déterminée par l'équation

/^Ty- 21/. (/« -I- /;/' I 0"^' /6'~" — 2£' " (Pq, ,, „do-\

'"^ — "''■^ ' nmm:' (, . - . d¥^'^' df)="'

et la caractéristique > désignant une somme relative à /, qui s'étendra depuis / = 1 jus(|u'à

/ = oc . A cause du coefiicienl indéterminé y,, on pourra supposer que ai se réduit à l'unité

dz f/»

quand 9 = a; d'ailleurs, à l'origine du mouvement, pour que -7- soit zéro, il iiiudra que -rj^

le soit aussi; on déterminera donc les deux constantes arbitraires qui seront contenues dans l'intégrale complète de l'équation (11), de sorte qu'on ait simultanément

'' ' db

or»

FORMULES UKL.VTIVES

(le celle manièrfi y. sera une fonction onliùrenii'iil (Ic'teimince tic / cl 0, el il ne resU'ia plus qu'à trouver l'expression de 7,.

Or, la condition : = .r, quand ' =■- o ou 0 = -x. exige que la qiianlili'' // i t.< soit alor^i égale à zéro; d'où l'on conclut

>-^ . i-.r !ji{a— x).r / .v-h y. .t—ly.\ > V, sin = '^\. ' ( h ; — ,

.^ '' X b/i'j.' \ III III J

équalion qui devra subsister pour toutes les valeurs de .i-, depuis x = o jusqu'à .c — -/, en V comprenant les deux extrêmes; mais, d'après une formule connue et due à Lagrauiie, on a pour toutes ces valeurs

I étant un nombre entier et positif auquel répond la somme 7 qui s'étend depuis / - 1 jusqu'à (= X, comme précédemment, et f(x) désignant une fonction quelconque do .r, pourvu (ju'elle s'évanouisse aux deux limites x = o et j^ = z. On peut donc prendre successivement

l'I, comme on a

il en réiidtera

I la' — .r ■ ) X sm rlx = — — — • cos it:,

Jn y. ,'-'

/ (a X) [X 17.) X Sm — ; dx = 3— ;î

X[U.- — X^] = — l'i 7 tt;-; C0S(T sin-^-7

x(a — x){x — ax) = — 12 V rj^; sin -^^,

valeurs que je substitue dans l'équation (12), el d'où je conclus, par la comparaison des termes semblables dans les deux membres.

• ■i.u.-j. /cos/- I '\ nr.'P \ III m')

Il résulte de cette analyse qu'en faisant, pour abréger,

^J (y — y') (x — g)j/.c-t-a 'f^lli^A __^'V'/COS/- l\y, . Ir.x

6«a' \ /// m' ) II-' ^\ m m') i' " y ' .

a valeur rectifiée de : qu'il s'agissait d'obtenir sera

= = '^~-''')'^ -h y' -i- iiV .

On la substituera dans les équations (3) el (4), cl Ion négligera les termes dépendants du carré de ,!x. Si l'on représente toujours par / la longueur de la pièce, par V et V les vitesses

AL WOliVEMENT DU 150ULET. GI5

(lu biiulel et du canon (jui rq>ondonl à -r ^ /, et par 1/ la valeur correspondante de -y^- on

aura de celle manière

(m -f- ly.) V -i- ( ;«' — :}u.) V = o.

Kn éliminant V" enlre ces deux éi|ualion#, on en déduira ensuite une valeur de la vitesse V du boulet à la bouche du canon, qui sera d'autant plus approchée ijue le poids de la charge aura été plus petit par rapport à celui du projectile.

Toute la question se trouve ainsi réduite à la détermination de la (piantité y, en fonction de i et S, laquelle dépend de l'écpiation (ii), cpii no peut s'intégrer ipie par les méthodes d'approximation.

FIN DU TOMK Sri' TI KM !■

TABLE DES MATIÈRES. Cil