Si l'on fait

aq, — p, p, — aq-,

o6 ADDITIONS AUX ÉLÉMENTS D'ALGÈBRE D'EULEH.

1111 aura, comnu' il est facile de le voir,

a — fx b — }j.i c — fXj

et fjL <«, fjL, <6, iiî<ic, 1X3 <rf, etc.; donc les nombres fx, p.,, p.j,... ne seront autre chose que ceux que nous avons désignés par a, /3, •/.•■• dans le n° 3, c'est-à-dire que ces nombres seront les termes de la fraction continue qui représente la valeur de a, en sorte que l'on aura ici

a = fj. -h

Par conséquent les nombres />,, />., 7^3, ■■• seront les numérateurs, et 7i. 7j' '/:!.••• les dénominateurs des fractions convergentes vers a, fractions que nous avons désignées ci-devant par —■, j^-» -r-v • (n° 10).

Ainsi tout se réduit à convertir la valeur de a en une fraction continue, dont tous les termes soient positifs, ce qu'on peut exécuter par les méthodes exposées plus haut, pourvu qu'on ait soin de {(rendre toujours les valeurs approchées en défaut; ensuite il n'y aura plus qu'à former la suite des fractions principales convergentes vers a, et les termes de chacune de; ces fractions donneront des valeurs de p et </, (pii résoudront le Problènic proposé; de sorte que ^ ne pourra être (ju'une de ces iiièmcs fractions.

Corollaire II.

27. Il résulte de là une nouvelle propriété des fractions dont nous parlons; c'est que, nommant ^ une des fractions principales convergentes vers a (pourvu qu'elles soient déduites d'une fraction ctmtinue dont tous les termes soient positifs), la (|uantilé/; — aq aura toujours une valeur plus petite, abstraction faite du signe, (ju'tdle n'aurait, si

l'on y mettait à la place de p et q d'autres nombres moindres ([U(dconques.

Problicmk II.