P ... .PU
raison > ~ (abstraction l'aile du sicne); donc la (luanlilé sera
toujours de signe ditlércnt do -^ c'est-à-dire de R, puisque s est posilil :
donc P et R seront nécessairement de signes différents.
Cela posé, on aura, en substituant les valeurs ci-dessus dej'ct z,
y — az ^ {/> — aq) t -\- {r — «s ) ;< = P / -i- U « :
or, t et u étant de signes différents, aussi bien que P et R, il est clair (|ue P^ et Rw seront des quantités de mêmes signes; donc, puisque / et u sont d'ailleurs des nombres entiers, il est visible que la valeurde j — «r sera toujours plus grande que P et que R, c'est-à-dire, que les valeurs de/? — aq et de r — as, abstraction faite des signes.
Mais il reste maintenant à savoir si, les nombres /j et q étant donnés, on peut toujours trouver des nombres r et 5 moindres que ceux-là, et tels que/w — y/- = ± i , les signes ambigus étant à volonté; or cela suit évidemment de la Théorie des fractions continues; mais on peut aussi le démontrer directement et indépendamment de cette Théorie. Car la ditliculté se réduit à piouver qu'il existe nécessairement un nombre entier positif et moindre que/», lequel, étant pris pour r, rendra qr± i divisible par/»; or supposons qu'on substitue successivement à la place de ries nombres naturels i, 2, 3,... jusqu'à/», et qu'on divise les noml)res (j ±1 I , -iq ±1, iq ± i,..., pq dz i par/?, on aura/? restes moindres (|ue p, qui seront nécessairement tous différents les uns des autres; car, si par exemple mq ±1 et ny ± i [m et n étant des nombres entiers dilférents qui ne surpassent pas/^), étant divisés par/?, donnaient un même reste, il est clair que leur différence (m — n)q devrait être divisible par p; or c'est ce qui ne se peut, à cause ([ue q est premier à /?, et que m — ri est un nombre moindre que/?. Donc, puisque tous les restes dont il s'agit sont des nombres entiers positifs moindres que/? et différents entre eux, et que ces restes sont au noml)re de /?, il est clair (|u'il faudia nécessairement que le zéro se trouve parmi ces restes, et conséquemmenl
(|u"il y uit un des nombres g ±i, 2q ±: i, 2>q±\ , . . . . pq± \ (jui soil divisible par/?; or il est clair que ce ne peut être le dernier; ainsi il y aura sûrement une valeur de r moindre que p, laquelle rendra rq ± i divisible par p; et il est clair en même temps que le quotient sera moindre que q\ donc il y aura toujours une valeur entière et positive de r moindre que/», et une autre valeur pareille de s et moindre que q, lesquelles satisferont à l'équation
qr±i
s =^ 5 ou ps — Qr= ± i.
24. On voit par là que les nombres r et * sont, parmi les nombres moindres que p et q, ceux qui rendent la formule y — az le plus petite.
Nous dénoterons, pour plus de simplicité, les nombres r et * par p, et y,; on aura ainsi la condition /;y, — <jr/?i = ih i, et les quantités p — aq, p, — aq, seront les deux niinima consécutifs dans la série des valeurs ôe y — az, en prenant pour j et z tous les nombres qui ne surpassent pas/i et q : ces minima seront de signes contraires, et le second immédiatement plus grand que le premier.
11 est clair qu'on peut trouver de même deux autres nombres /;., et q..
moindres que p, et q,, et qui aient avec ceux-ci la même relation que
p, et y, ont avec p et q. Ainsi, comme p, — aq, est de signe contraire à
p — aq, il faudra faire
et la quantité pi—aq, sera de signe contraire Ap, — aq, et plus grande que celle-ci; mais en même temps elle sera plus petite que toute autre valeur de y— az, tant que jet z seront moindres que/?, et q,. En continuant le même raisonnement, on trouvera encore des nombres /j,, q^ moindres «jue/Jo» ^i^ tels que
et qui rendront la quantité /Jj — ai/j du signe contraire a p^— aq^ et plus grande que p, — aq,, mais moindre que si l'on prenait pour/?., et qi d'autres nombres moindres que ^2 et q^, et ainsi de suite.
On aura de cette manière deux suites de nombres entiers déeroissants P< Pi' Pi' Pi y. ?M q-., (Ji,..., tels que
pq,-q p,=±i, p.q,-q,p,=.ztx, p,q,-q.p. = ±i.
et qui donneront la suite des minima
p — aq, p, — aq,, pi — aq., p^ — aq,, ...
de la formule y — az; ces minima seront successivement de sicnes différents, et formeront une suite croissante, telle que chaque terme, comme /Jo — aq.,, sera un minimum relativement aux valeurs de y et z moindres que p^ et q.
D'où il s'ensuit que les termes correspondants des deux séries p, p,, p.^,.., q, q,, q.,,.-- ont des propriétés analogues, et résolvent tout le Problème proposé.
Il ne s'agit donc plus que de trouver les deux séries.
Pour cela, je remarque : i" qu'en ajoutant ensemble les équations
pq,-qp, = ±i, p,q,~q,p: = zizi, on a
{p — p-.)qi — {q — qiPi—o, savoir q,{p — p,)=Pi{q — q,);
donc, puisque cette équation doit subsister en nombres entiers, et que p, , q, sont premiers entre eux. en vertu de l'équation pq, — qp, = ± i , il faudra que p — P2 soit divisible par/?,; ainsi, nommant [s. le quotient de cette division, on aura
p-p, = ixp„ et p = [j.p,^o,:
alors l'équation deviendra
[j.qi^=^ q — q,, ce qui donne de nièinc q = ^.q^ -i- q~.. VII. 7
On frouvoia de la même manière, on ajoutant ensemble les dou\ équations
et taisant des raisonnements semblables,
p,=[M,p,+p„ 7, = fX, ç, -4- 7„
,a, étant un nombre entier, et ainsi de suite. Donc la loi des deux séries dont il s'agit sera
p =fj. p,-hp,, 9 = ,u. q, + q„
p,= IJ,P:,+ Pi, 7, = a, (/,-+- ^3,
p,z=[j.,p,-hp„ q,= v.,qi-\- q„ p, — «a/». + p„ ?3 = ,"3 q,-^ q^,
les nombres ij., a,, a^,... étant tous entiers positifs, et les nombres /y, !>,, p^, p.,,--, q, q,< q<, q.^,--- formant deux séries continuellement décroissantes.
On voit par cette loi qu'il suffira de connaître les nombres ij., ii.,, ij.^,... pour pouvoir trouver tous les termes des deux séries, lorsqu'on en connaîtra les deux derniers.
La substitution des valeurs précédentes donne
p —aq= ij.(p, — aq,)-i-p,~ aq„ p, — aq, = ^,{p, — aq,)-hp, — aq„ p, — aq,= ix,{p, — aq,)-i-p, — ftq„ Pi — a?3 = ,"3 (/>( — «?. ) + Pi — aq..
d'oii l'on lire
ANALYSE IXDÉTEKMINÉE. 51
Un a vu plus haut que les quantités p — aq, /?, — aq^, ju — a(j^, . . . forment une suite de termes qui vont en augmentant, et (jui sont alternativement positifs et négatifs; d'où il suit nue les fractions " ~ '"' ,
' pi — ug,
p< — «a. p — fin, . ■ . 1 1 . • 1
' L,... ont toutes des valeurs nesratives et moindres (lue
P'. — ttq-. Pi — rt'/j " '
l'unité, et qu'au contraire les fractions 91'~ t'j IHlIZfl,... sont toutes
p, — aq, p-. — aq^
positives et plus grandes que l'unité. Ainsi, comme les valeurs des premières sont renfermées entre les limites zéro et — r, on pouri a substituer ces limites à leur place, ce qui donnera
h~aq. p.-uq,
p, — aq^ p2 — uq-,
^ aq, — Pi^ aq, — p, Pi — aq. Pi — aqi
Il est clair que ces limites suffiront pour déterminer les nombres a.
o.,, [J.2 puisqu'on sait que ces nombres doivent être tous entiers. Par
ce moyen, la détermination de u. ne dépendra que des quatre termes /*!» Pz> 9i. ^2' celle de fj., ne dépendra que de/?2,/?3, y.,, q^, et ainsi de suite; par conséquent, en connaissant les valeurs de p^, p^ et qy, q.,, on trouvera d'abord ,a, ensuite on aura/? et q par les formules/> = a/>,H-/>2. q = txq^ -+- q.,, données ci-dessus.
De même, en connaissant seulement les termes />o, 773 , q., q^, on trouvera d'abord jj., par la condition de
p:-iiq, p,— aq,
ensuite on aura p,, q, par les formules/;, =: u-ip-. -i- pi, q, = (Jt-i^s + </.i: de là on trouvera (i, et enfin p et q, et ainsi de suite.
D'où l'on peut conclure qu'il suffira de conuaitre les deu.x. derniers termes de chacune des deux séries correspondantes /;, /;,, p^, p,
'h !/i' </:!' ^3'--- pour pouvoir remonter de là successivement h tous les autres termes, et connaître les deux séries entières.
Ce Problème est donc réduit maintenant à trouver les deux derniers termes de ces séries.
Pour cela je remarque que, par leur nature, elles doivent se terminer l'une et l'autre à zéro; car les formules /> = p./J,+7^2. p, = [JiP--^P3>--font voir que /jl est le quotient et/>2 1<! reste de la division de p par/?,, que p., est le quotient etp^ le reste de la division de p^ par/),, et ainsi (le suite, de manière que p., ps, . . . sont les restes que l'on trouve en chercliant le plus grand commun diviseur des deux nombres/? elp, qui sont supposés premiers entre eux; par conséquent on doit nécessairement parvenir à un reste nul. On doit dire la même chose des nombres •/s. Çsf-i qui ne sont que les différents restes qui résulteraient de la recherche du commun diviseur de q ei q,.
Supposons que la série q, q,, q^,... se termine avant sa correspondante/>,/?,, /^a,-.., et soit, par exemple, </, = o; donc l'équation
|hq^ — q^p*
— ZTZÏ
se réduira à
d'où, à cause que q^ et /j, ne peuvent être que des nombres entiers positifs, il suit que 93 = i et pi = i; ainsi les deux quantités />j — aq^, /); — aq,, deviendront p^ — a cl i . Mais nous avons vu que ces quantités doivent être des signes différents, et ([ue, abstraction faite des signes, la seconde doit être plus grande que la première, ces quantités étant deux termes consécutifs de la série des minima; donc il faudra que a— /»3><) et <f; par conséquent
Ainsi />3 sera connu, parce que, devant être un nombre entier, il ne pourra être que le nombre entier (jiii (onii)era entre a et a — i.
Oonc, en général, dans le cas dont il s'agit, les deux derniers termes de la série q, q,, q.^,--. seront i, o; et les correspondants de la série/).
p,, p.^,... seront «, i, en dénotant par a le nombre entier qui tombe entre a et a — i.
Supposons maintenant que ee soit la sov'ie p, p,, p.y,... qui se termine la première, et soit/>, = o, par exemple; alors l'équation
devenant
donnera, par la raison que /»3 et q^ doivent être entiers positifs, p^=^i , ^4 = I ; de sorte que les deux quantités p.^ — aq^ , p^ — acj^ , qui doivent être de signe contraire, et la seconde plus grande que la première, deviendront I — G^;, — a; d'où il suit qu'il faudra que i — aq^ > o et <a;
ce qui donne y, < - et y, + i > -, et par conséquent
^ a a c'est-à-dire que q, devra être le nombre entier qui tombera entre -
et - — I.
Donc, en général, dans ce second cas, les deux derniers termes de la sév\ep, p,,p.;.,... seront i, o; et les correspondants dans la série ^, q,, q,,--. seront /3, i, en dénotant par /3 le nombre entier qui tombera
entre - et i.
On voit par là que le premier cas aura lieu lorsque a est un nombre plus grand que l'unité, et que le second aura lieu lorsque a sera moiiulre que l'unité.
Connaissant ainsi les deux derniers termes correspondants des séries P^Ptj Jh,--, q, qi, q>,---, on pourra, par les formules données jjIus haul, trouver successivement, en remontant, tous les termes de ces séries (|ui résolvent le Problème proposé.
25. Il est plus commode de considérer ces séries à rebours, en commençant par les derniers termes. Ainsi nous avons deux séries croissantes.
5i ADDITIONS AUX ÉLÉMENTS D'ALdÉBRE DEULEU.
(|iK' nous représenterons, pour plus do couiniodité, de cette manière
^, p,, p., p.,- -, q., <]., qu ?.,....,
et pour lesquelles nous avons les déterminations suivantes : Si rt >^ I ,
^, = 1, />,<;«>« — I, jy„ = o, (/, = i;
si « < I ,
ensuite
p, = [j.,p,-h p„ q, = iJ.,q, + q„ p,^lJ.,p, + p„ q^ = ii.,q, + q„ p, = ,u,;>, -^ p,, q, = ^3 73 -t- 7.,
et pour la détermination de p.,, a,, /^.j,..., les conditions
p. — aq, ^ /^ — ^<7»
aq,—pt aq,—p,
aq, — /?3 «73 — />3
Il est hon de remarquer encore que le second cas rentre dans le premier; car, en supposant dans les formules du premier cas a<i, on aura
nécessairement
donc
et de là
au ^ ^ '^
de sorte qu'ici p,, />, et y,, «jr, seront ce ([ue seraient />„, /;,, </„, y, dans
ANALYSE INDETERMINEE. 35
les formules du second cas; et les termes suivants seront par conséquent les mêmes dans les deux cas.
On peut donc établir, en général, quel que soit le nombre a, les déterminations suivantes :
Ensuite
p,=^ lj.,p, -H I,
-aq , ^ — pt a — UL
-P' aq.
aq.
aq.
OÙ le signe < dénote le nombre entier qui est immédiatement moindre que la valeur de la quantité placée après ce signe.
On trouvera ainsi successivement toutes les valeurs de p et </ (|ui pourront satisfaire au Problème, ces valeurs ne pouvant être que les termes correspondants des deux séries pa, p,, p^, pz,-- et y,,. </i.
Corollaire 1.
