tlonime, dans le cas présent, l'équation

A.r'-(- Bx- -+- C = o

a deux racines réelles irrationnelles, il faudra les réduire l'une et l'autre en fractions continues. Cette opération peut se faire avec la plus grande facilité par une méthode particulière que nous avons exposée ailleurs, et que nous croyons devoir rappeler ici, d'autant qu'elle se déduit nalurellement des formules du n" 25, et qu'elle renferme d'ailleurs tous les principes nécessaires pour la solution complète el générale du Prublèuic proposé.

Dénotons donc par a la racine qu'on a dessein de convertir en fraction continue, el que nous supposerons toujours positive, et soit en même temps h l'antre racine; on aura, comme l'on sait,

rt-t-o= — -7-' fit' ^ -r't A A

OU l)ien, en faisant, pour abréger, B- — /jAC = E, a — b= —-,

OÙ le radical \ E peut être positif ou négatif: il sera positif lorsipic la racine a sera la plus grande des deux, et négatif lorsque celte racine sera la plus petite; donc

-B+yl ^^ B-^E

(i'. ADDITIONS AUX ÉLÉMENTS DALGÉBRE DEULEH.

.Miiintenant, si l'on conserve les mêmes dénominations dn n" 25, il n'y anra qu'il substituer à la place de a la valeur précédente, et la dilfi- ( iilté ne consistera qu'à pouvoir déterminer facilement les valeurs enlii'res approchées /j.,, fx^, fij,....

Pour faciliter ces déterminations, je mulliplie le haut et le has des

fractions -^^! i-% ^ — ^, — il,-- respectivement par A (/>7, —/>,),

aqi — px pi — aq, aq, — p^ ^ ' \ i i '

A ' p-i — h(/^), A (bçj — p^),..., et, comme on a

A /;„ — aq^ )'• Po — f'qo ) ^= A,

Afyrt, — p,) {bq, — p,) = Ap] — A « -+- b p,q, + \(tbq\ = Ap] ■+- Wp^q, -+- Cq'.

A'P: — aq, [p, — bq2]=^Apl — Airt + b)p,q,-h Aahq\ — Apl+ Bp.q-, -i- Cqi,

Ai p, — fiq,}(bq,—p,}=— [j. A— jK — \\j'E,

A aq, —p,'' p.— bq^)=: — Ap, p2 + Aap^q, + Abp,q,— Aaliq^q,

= — A^,/>, — C5,Çî—7B(/?, 7, + (;,/>,)+ ; \/Elp2q,--qipi), A , p~ — aq,){bq3 — p3)— — Ap^p^ -i-Aap, q^ + A bp^q^ — A abq.q^

=^~Ap:p, — Cq,q3 — iB{p,q,-i-q2p,)-h^\jE{p,q,—q,p,),

et ainsi de suite, je fais, pour abréger,

P, — Xp\ -t- Bp,q, -hCq' Pi=zApl+Bp2q,-hCql Pj = Api + Bp,qi + c^;

Q, = A,^.-i--îB,

Q, = A/7, /;, + iB{/7, q, -+- </, p,) H- C</, q,

0, = Ap,p, + ^hip.qi-hq^pi)-^- Cq,q,

J'aurai, à cause de

les formules suivantes

WË

Or, si dans l'expression de Q2 on met pour p., et y. leurs valeurs ix,p, -+- 1 et rj.,, elle deviendra |x, P, +0,; de même, si l'on substitue dans l'expression de Q3 pour /Jj et q^ leurs valeurs u-j/Ja -\-p, et P-s^^ -+- ^1. elle se chanjiçera en /Xo Po + Q^, el ainsi du reste; de sorte

que l'on aura

Q3 = fx,P, + Q,.