IX, P3 + Q

Pareillement, si l'on substitue dans l'expression de P^ les valeurs de P2 et q.,* elle deviendra

et, si l'on substitue les valeurs de p, et 73 dans l'exprossiuii de P3, elle deviendra

vil. • f)

cl ainsi de suite; de sorte que l'on aura

P, = ,a^,P,-4-2fi,Q, + P„ P, = al P, + 2(Ji,Q, 4- P„

Ainsi l'on pourra, à l'aide de ces l'ormulcs, continuer aussi loin (|u'on

voudra les suites des nombres /jl, p.,, /j-j Qn, Q,. Q2, • • • l't P», Pi.

P.,..., qui dépendent, comme l'on voit, mutuellement les uns des autres, sans qu'il soit nécessaire de calculer en même temps les nombres

/'o./'i. /»?-••• '-t^o. Ci' q-i

On peut encore trouver les valeurs de P,, Po, P;,,... par des tormules plus simples que les précédentes, en remarquant que l'on a

Q; - P, = (ft, A -h |B? - A(^î A + 1^, B -I- C) = -J-B' - AC, Q^ P, P, = (f/, P, + Q,y - P,fp.^ P, 4- 2f/., Q, -f- A 1 = 0' - AP, ,

et ainsi de suite, c'est-à-dire

d'où l'on lire

Qî

-P,P. = iE,

Qî

-P,Pa = ^E,

0' -tE

Les nombres/;., y.,, a^,... étant donc trouvés ainsi, on aura ( n" 26 j la

ANALYSE INDETERMINEE. 07

fraction continue

a = fxH '-

et, pour trouver le minimum de la formule

Ap- -+- lipq -4- Cq-,

il n'y aura qu'à calculer les nombres p^,, p,, p.,, p^, ... et ^„, y,, y^, ^3,... (n° 25), et les essayer ensuite à la place àe p ei q; mais on peut encore se dispenser de cette opération, en remarquant que les (|uanlilés Po, P,, p...... ne sont autre chose que les valeurs de la l'ormule

dont il s'agit, lorsqu'on y fait successivement /j =/?„, /j,, p.,,... et

q = ^0' Çi< (72, Ainsi il n'y aura qu'à voir quel est le plus petit terme

de la suite Po, P,, P,,. ... qu'on aura calculée en même temps (|ue la suite fx, a,, u-j,..., et ce sera le minimum cherché; on trouvera ensuite les valeurs correspondantes de p et q par les formules citées.

34. Maintenant je dis qu'en continuant la série P„, P,, P.j on doit

nécessairement parvenir à deux termes consécutifs de signes différents, et qu'alors tous les termes suivants seront aussi deux h deux de différents signes. Car on a (numéro précédent;

?„ = A{p„ — aq»){po — bqo), 9,^^ Aip^ — aq,)[p, — bq,), ....

Or, de ce qu'on a démontré dans le Problème 1, il s'ensuit que les quantités/»„ — aqa, p, — fiq,, p> — aq^,--. doivent être de signes alternatifs et aller toujours en diminuant; donc : i" si 6 est une quantité négative, les quantités /;„ — hq„, />, — bq seront toutes positives; par conséquent les nombres P„, P,, Pn,... seront tous de signes alternatifs; 2° si h est une quantité positive, comme les quantités/?, — «(7,, p.,— aq., cl

à plus forte raison les quantités-- —a, — —a i'orn)ent unesuitc de-

croissante à l'intini, on arrivera nécessairement à une de ces dernières

luianlitt's, comme ^' — a, qui sera <'a — h, abslradion faite du signe,

et alors toutes les suivantes f^ — a, ^ — a le seront aussi; tle sorte

que toutes les quantités a — b-h — — a, a — b-^^ —a,... seront né-

eessairenienl de même signe que la quantité a — b; par conséquent les

quantités f^ — b,^ — b,... et celles-ci />., — hq^, n^ — bq„... à Tintini

seront toutes de même signe; donc les nombres /j,,/^,... seront tous de signes alternatifs.

Supposons donc, en général, que l'on soit parvenu à des termes de signes alternatifs dans la série P,, P., Pj,. .. et que Py soit le premier de ces termes, en sorte que tous les termes P)., Px+i, P)+2,..., a l'infini, soient alternativement positifs et négatifs; j(! dis qu'aucun de c(!S termes ne pourra être > E. Car si, par exemple, P», Pi, Pj.... sont tous de signes alternatifs, il est clair que les produiLs d(!ux à deux, PsPj. Pj P5.... seront nécessairement tous négatifs; mais on a (numéro précédent)

Q;-P,p, = iE, 0:-P.Ps = tE, •• ;

donc les nombres positifs — P3 Pj, —P., P5,... seront tous moindres que |E ou au moins pas plus grands que |K; de soric que, comme les nombres P,, V ,, P3,... sont d'ailleurs tous ('uliers par leur nalure, les

nombres P3, Pi,... et, en général, les nombres P), P)+ , abstraction

l'ail<' de leurs signes, ne pourront jamais surpasser le nombre E.

Il s'ensuit aussi de là que les termes Q,, Q5, ... et, en général, Q>+|, Q)+.o,... ne pourront jamais être plus grand que {sjV..

D'oii il est facile de conclure (|ue les deux séries P), P>^.,, P>^.2,... et Q)*i< Q)+><--', quoique poussées à rinl'uii, ne pourront être composées que d'un certain nombre de termes dilléreiits, ces ternu's ne pouvant être pour la première que les nombres naturels jusqu'à M, pris |)ositivement ou négativement, et, pour la seconde, les nombres naturels jus- (]u'à 7, \ E avec les fractions intermédiaires -j, \, \,..., pris aussi p((sitivemenl ou négativement; car il est visible, par les formules du numéro

ANALYSE INDETERMINEE. C9

précédent, que les nombres Q,, Q.,, Q,,... seront toujours entiers lorsque B sera pair, mais qu'ils contiendront chacun la fraction ^ lorsque B sera impair.

Donc, en continuant les deux séries P,, P^, P,,... et Q,, Qo, Q3

il arrivera nécessairement que deux termes correspondants, comme Prr et Q„, reviendront après un certain intervalle de termes, dont le nombre pourra toujours être supposé pair; car, comme il faut que les mêmes termes P^ et Q^ reviennent en même temps une infinité de fois, î» cause que le nombre des termes différents dans l'une et l'autre série est limité, et par conséquent aussi le nombre de leurs combinaisons différentes, il est clair que, si ces deux termes revenaient toujours après un intervalle d'un nombre impair de termes, il n'y aurait qu'à considérer leurs retours alternativement, et alors les intervalles seraient tous composés d'un nombre pair de termes.

On aura donc, en dénotant par sp le nombre des termes intermédiaires,

P„^„=P„, Cl Q„+,.=.Q„,

et alors tous les termes P„, P^^,, P„+.. Q^^, 0^+,, Q^+o,..., et fjL„,

F-m-t-i' [J-uT+2<--- reviendront aussi au bout de chaque intervalle de ap termes; car il est facile de voir, par les formules données dans le numéro précédent pour la détermination des nombres a,, fXj, /JI3,..., Q,, Q..., Q3,..., et P,, Pj, P3 que, dès qu'on aura

on aura aussi ensuite donc aussi

Q=.,e.., = Q.., el P„+,,^, = I>„

et ainsi de suite.

Donc, si 11 est un nombre quelconijuc, égal ou plus grand (|ue w, cl (|ue m dénote un nombre (juelconque entier positif, on aura, en général.

(If sorte qu'en coniiiùssant les ct -h 2|5 picmieis lermes de chacune de

ces trois suites, on connaîtra aussi tous les suivants, qui ne seront autre

chose que les 2p derniers lermes répétés à l'inlini dans le même ordre.

De/tout cela il s'ensuit que, pour trouver la plus petite valeur de

il suffit de pousser les séries P„, P,, ?.,... et Q„, Q,, Qo, . . . jusqu'à ce (jue deux termes correspondants, comme P^ et Q^. reparaissent ensemble après un nombre pair de termes intermédiaires, en sorte que l'on ait

alors le |)lus petit terme de la série ?„, P,, P^,-.-, Po+2p sera le minimum cherclié.

Corollaire 1.

35. Si le plus petit terme de la série P^, P,, Po,..., Po+j^,... ne se trouve pas avant le terme P^, alors ce terme reparaîtra une infinité de fois dans la même suite prolongée à l'infini; ainsi il y aura alors une infinité de valeurs de p et de <y qui répondront au minimum, et (ju'on pourra trouver toutes par les formules du n" 25, en continuant la série des nombres tj.t, fjio, p.3,... au delà du terme p-i^^a P'"" bi répétition des mêmes termes ;j.o+i. pi-cn-a.---. comme on l'a dit jdus liant.

On peut aussi, dans ce cas, avoir des formules générales i\u\ représentent toutes les valeurs dep et de q dont il s'agit; mais le détail de la méthode qu'il faut employer pour y parvenir nous mènerait trop loin; quant à présent, nous nous contenterons de renvoyer pour cet objet aux Mémoires de Berlin déjà cités, année 1 768, pages laS et suivantes (*), où l'on trouvera une Théorie générale et nouvelle des fractions continues périodiques.

Corollaire 11.

3fi. Nous avons démontré, dans le n" 34, qu'en continuant la série P,, Po, P.,,..., on doit trouver des termes consécutifs de signes dille-

(*) OEuvres de Lagrange, t. II, p. 538 el 58i.

l'fMits. Supposons donc, par exemple, que P^ et ?< soient les deux premiers termes de cette qualité; on aura nécessairement les deux quantités p3 — bq, et Pi — bq, de mêmes signes, à cause que les quantités p, — aq-i et p^ — aq, sont de leur nature de différents signes. Or, en

mettant dans les quantités /Jj — 6175. /j^ — bq^,... les valeurs dcp^, p,.

(75, q^ (n° 25j, on aura

p^ — bqi = y.i ipi — içi I -r- ps — ^^1. p, — bq,= u,(p, — bq,)^p,-hq..

d'où, à cause que fi.,, y.5 sont des nombres positifs, il est clair que

toutes les quantités p^ — bq^, p^ — bq^,..., à l'infini, seront de mêmes signes que les quantités /?3 — bq;^ et p^ — bq^\ par conséquent tous les termes P3, P^, P.^,..., à l'infini, auront alternativement les signes -iet — .

Maintenant on aura par les équations précédente.s

p, - bq, /?, - bq.

/>. - bq,

p,-bq/

p,- bq.

p> - bq, p.-bq:

^ p,-bq- '" p.- bq..

p, - bq, pc-bq..

où les quantités ^ t-^-? ^ /''••• seront toutes positives. ^ Pi — bq, Pi — bq, '

Donc, puisque les nombres ,a., ^a,, jx^ doivent être tous entier^

positifs (hypothèse;, la quantité ^'~ ^' devra être positive et >i, de

même que les quantités ^'~^^% ^^'~^^:- •: donc les quantités ^'^^S

oq..

nombres 1^.5, /Xg,... ne pourront être (jue les nombres entiers qui sont

P- — ^.••- seront positives et moindres que l'unité; de sorte que les

-■2 ADDITIONS AUX ÉLÉMENTS DALGÈBHE DEILEU.

iiuinédiatement moindres que les valeurs de ^''~ /-% P'~~ /^\ . . . • (manl

au nombre /JL,, il sera aussi égal au nombre entier, qui est immédiatement

moindre que la valeur de ^ — —■■> toutes les fois (lu'on aura ^'' ~ , ^- < i . l>i — l>(]i ' Pi — oq>

Ainsi l'on aura

F<< r^' SI i- ^ <i,

/'4 — '"/( Pi — oq,

p. - bq, Pi-hq,

'^ /'e — bq^

le signe < placé après les nombres [h^, ^^, p.^,... dénotant, comme plus haut, les nombres entiers qui sont imniédialoment au-dessous des (jiianlités qui suivent ce même signe.

Or il est facile de transformer, par des réductions semblables à celles

du n" 33, les quantités j-!-, ^ r^)-- en celles-ci -=^ — ît-'^— '

^^^^^ — ^ — ',---\ de plus, la condition de ~ — r^ <r i peut se réduire à Ps * pt — bq,^^

celle-ci „ ' < — — ~f laquelle, à cause de **' ^' >i, aura sùre- Pi pt — aq, ' pi—aqi

ment lieu lorsqu'on aura —r^ — ou < i; donc on aura

si

= ou <I,

En combinant ces formules avec celles du n° 33, qui renferment la loi des séries P,, Pj, P3,... et Q,, Qa, Qa,..., on verra aisément que, si

l'on suppose donnés doux termes eonespondanis de ces deux séries, dont le numéro soit plus grand que 3, on pourra remonter ;iu\ ternies

précédents jusqu'à P., et Q^, et même jusqu'aux termes l'j et Q,, si la

eondition de — p— ' = ou < i a lieu; en sorte que tous ces termes seront

absolument déterminés {)ar ceux qu'on a supposés donnés.

En elFet, connaissant, par exemple, Po et Qo, on connaîtra d'abord P.,

par l'équation

ensuite, ayant Q„ et P^, on trouvera la valeur de «.5, à l'aide de huiuidle on trouvera ensuite la valeur de Q5 par l'équation

or l'équation

donnera P^; et, si l'on sait d'avance que -p-^ doit être = ou < 1 , on

trouvera a,, après quoi on aura Q., par l'équation et ensuite P3 par celle-ci

De là il est facile de tirer cette conclusion générale, que, si Px et P).+, sont les premiers termes de la série P,, P.,, P3,..., qui se trouvent consécutivement de diil'érents signes, le terme P)+, et les suivants reviendront toujours après un certain nombre de termes intermédiaires, et

± P, qu'il en sera de même du terme P), si l'on a -.y — ^ = ou < 1 .

Car imaginons, comme dans le n" 34, (jue l'on ait trouvé P„^.,^=^ V„

et QrT+2o = QcT' t't supposons ([ue zô soit > X, c'esl-;i-dire - — l + v;

donc on pourra, d'un côté, renu)nter du terme P^ au terme P)^, ou l\, cl

de l'autre, du terme Pn+jp au terme P).+2p+i ou Py+ap*. t.'t, comme les

Ml. 'o

7i ADDITIONS AUX ÉLÉMENTS DALGÈBHE D'EULEU.

liM'mcs d'od l'on pail, de pari et (raiilro, sont égaux, lous les dérivés seront aussi irspoctivement égaux, de sorte ([u'on aura

P),^,j^, = P-,,+,, ou même l\+,f=l\,

■ ±Px SI -p — = ou <I.

Par là on pourra donc juger d'avance du commencement des périodes dans la série P„, P,, Po, P:,,..., et par consé(juent aussi dans les deux

autres séries Q„, Q,, Qo, Q;,...., et [x, p.,, /j... (j.-, ; mais, quant à la

longueur des périodes, cela dépend de la nature du nombre K, et mênui uni(|uement de la valeur de ce nombre, comme je pourrais le démontrer, si je ne craignais que ce déta'l ne me menât trop loin.

Coiu)Li,viiu; m.

.'Î7. Ce (ju'on vient de démontrer dans le corollaire précédent peut servir encore à prouver ce beau Tliéori-me :

l'otite ('f/iialiori de la forme p- — Kq- =. i , où K est un iiomhrc entier positif non carre, et p et q deux indéterminées, est toujours résoluble en nombres entiers.

Car, en comparant la formule p-^Kq- avec la iormule générale A//- -r- Bpq -t- Cq-, on a A = i , B = o, (] = — K; donc fn" 33)

E = B'— 4AC=:4K, Cl ;v/Ë=:VK.

Donc P„ = 1 , Q„ r= o; donc ^

y. <v/K, Q, = p-, et P, = ;/' — K;

d'où l'on voit : i"que P, est négatif, et par c()nsé(|uent de signe (Tilférent de P„; 2" (|uc P, est = ou >i, parce (|ne K cl p. sont des nombres

entiers; de soile (ju'on aura -— ^ = ou < 1; donc on aura numéro

précédent;

l — o, et P,; = P. = I ;

(le sorte qu'en continuant la série Po, P,, Po,..., le terme P„ = i reviendra nécessairement après un certain intervalle de termes; par conséquent on pourra toujours trouver une infinité de valeurs de p et de q qui rendent la formule/»- — Kq- égale à l'unité.

Corollaire IV.