VII

(le lanl ili' roclicrclies diirércntes, qu'il est très-dilficile d'assigner l'auteur de ciiacune des découvertes qui la composent.

J'ai promis de revenir sur le cas irréductible. Pour cela, il est nécessaire de rappeler la méthode (]ui parait avoir servi ii la première résolution des équations du troisième degré, et (|ui est encore employée dans la plupart des Éléments d'Algi'hre. Considérons l'équation générale du troisième degré, privée du second terme, qu'on peut toujours faire disparaître, savoir

x' -+- px -i- q = o;

(|u'on suppose

x = y-hz,

y et z étant deux nouvelles inconnues, dont une, par conséquent, sera il volonté, et pourra être déterminée de la manière qu'on jugera la plus convenable ; on aura, en substituant cette valeur, la transformée

Or les deux termes 'iy''z 4- 3v-- se réduisent à cette forme

de sorte qu'on peut écrire la transformée ainsi

)'-h2'-h{3xz-^-p){y-hz) + <]=o.

Si maintenant on suppose égale à zéro la quantité qui nuilliplie y -1- :;, ce qui est permis à cause des deux indéterminées, on aura, d'un coté, l'équation

et de l'autre l'équation restante

par les(|uelles on pourra déterminer j et z. Le moyen (|iii se présente le plus naturellement pour cela est de tirer de la première la valeur de

sua LES MATHÉMATIQUES. 227

(le la substituer dans la seconde, et de faire évanouir par la multiplication les fractions, ce qui donne cette équation en y du sixième degré, (|u'on appelle la réduite,

r + qy'- — =o.

laquelle, ne contenanlque deux puissances de l'inconnue, dont l'une est le carré de l'autre, est résoluble à la manière de celles du second degré, et donne sur-le-champ

d'où, en extrayant la racine cubique, on a

et de là

'=v/-'-vFI'

On rend cette expression de j plus simple, en remarquant que le produit de y par le radical

V 2 V 4 27 est, en multipliant ensemble les quantités sous le signe,

d'où il suit que le terme ~ devient

et que, par conséquent, on a

228 LEÇONS ELEMENTAIRES

expression où l'on voit que le radical carré qui est sous le signe cubique se trouve également en plus et en moins, de sorte qu'il ne peut y avoir de ce coté-là aucune ambiguïté. C'est l'expression connue sous le nom àe formule de Cardan, et à laquelle toutes les métliodes qu'on a pu imaginer jusqu'ici pour les équations du troisième degré ont toujours conduit. (>omme les radicaux cubes ne. présentent naturellement qu'une seule valeur, on a été longtemps dans l'idée que cette formule ne pouvait donner qu'une des racines de l'équation, et, pour trouver les deux autres, on revenait à l'équation primitive qu'on divisait para;— a, en supposant a la racine trouvée; cl, le quotient étant une; équation du second degré, on la résolvait à la manière ordinaire. En edet, celte division est non-seulement toujours possible, mais même très-facile; car, dans le cas proposé, l'équation étant

a-'-i- px -H Ç := o, si a est une des l'acines, on aura

rt" -+-/;« + ^ = o ; cette écjuation, soustraite de la précédente, donnera

x^ — a' + p [x — a) ^= o, quanlilé divisible par x — a, et (|ui donnera pour (juolienl jc' -i- rtjr + a- 4- /> =: o ;

de sorte (|uc la nouvelle éfjualion à résoudre pour avoir les deux autres

racines sera

x''-\- ax -f- «' -t- yj = o,

d'où il est aisé de tirer

Je vois par VAls^cbre de Clairaul, imprimée en 17/1G, et par l'article Cas irrèditctible de d'Alembert dans la [»remièrc Encyclopédie, que cette idée subsistait encore à celte époque-là; mais c'est faire tort à l'Algèbre

que de raccuscr de ne pas donner des résiiUats aussi généraux que la question en est susceptihle. Il ne s'agit que de savoir bien lire ce genre d'écriture et d'y voir tout ce qu'elle peut renfermer. En efTet, dans le cas dont il s'agit, on ne faisait pas attention que toute racine cubique doit avoir une triple valeur, comme toute racine carrée en a une double, par la raison qu'extraire, par exemple, la racine cubique de a n'est autre chose que résoudre l'équation du troisième degré x^ — a = o. Cette équation, en faisant x^=y\ia, se ramène à cette forme plus simple y' — r = o, qui a d'abord la racine j= i; ensuite, en la divisant par )' — I , on a

d'où l'on tire les deux autres racines

ces trois racines sont donc les trois racines cubiques de l'unité, comme vous l'avez déjà vu, et donnent les trois racines cubiques de toute autre quantité comme a, en les multipliant par la racine cubique ordinaire de cette quantité. Il en est de même des racines quatrièmes, cinquièmes, etc.

Nommons, pour abréger, m et n les deux racines

qu'on voit bien être imaginaires, quoique leur cube soit réel et égal à i , comme on peut s'en convaincre par le calcul; on aura donc, pour les trois racines cubiques de a,

\ a, in\ a, n\ a.

Or, lorsque nous sommes parvenus ci-dessus, dans la résolution de l'équation du troisième degré, à la réduite .>-^ = A, en faisant pour abréger

230 LEÇONS ÉLEMENTAIKES

nous en avons déduil de suite

mais, par ce que nous venons de démontrer, il est clair ([u'on aura noi^seuloment

mais encore

■)• = m V' A el j = n v^A ;

dune la racine x de l'équation du troisième degré, que nous avons trouvée égale à

aura aussi ces trois valeurs

(/Â__Z^, ,„^A---^3^, nVÂ ^7-'

()ui seront par conséquent les trois racines de l'équation proposée. Mais en faisant

2 y 4 27 il est clair que