LA METHODE DES PROJECTIONS

(Connaissance des Temps ou des Mouvements célestes, à l'usage des Astronomes et des Navigateurs, pour l'an 1819; publiée par le Bureau des Longitudes. — i8j6.

1. Parmi les différentes méthodes que les Astronomes ont imaginées pour faciliter le calcul des éclipses de Soleil, et en général de toutes les éclipses sujettes aux parallaxes, on doit regarder, ce me semble, celle des projections comme une des plus ingénieuses et des plus simples. On en attribue ordinairement l'invention à Kepler; mais il paraît que ce grand Astronome n'est, à proprement parler, que l'auteur de l'idée heureuse de considérer les éclipses de Soleil comme des éclipses de Terre, et de déterminer les phases de l'éclipsé générale, c'est-à-dire les circonstances de l'éclipsé pour la Terre en général par la considération de la route du centre de l'ombre de la Lune sur le plan du disque de la Terre illuminé. [Voir le sixième Livre de son Epitome Astronomiœ, où cette méthode est expliquée et appliquée à quehjues exemples.) Pour déterminer les phases d'une éclipse pour un lieu particulier de la Terre, il ne suffit pas de considérer la trace de l'ombre sur le plan du disque de

(*) Lu à l'Académie de Berlin, le w janvier 1778, et imprimé en allemand dans les Éphcmérides de Berlin de 1781.

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l;i Tofi-f; il l';nil aussi considi'ior celle du lieu ddiit il s'agil, |)ri)jiMé sur le niêuie plau , el e"esl eu ([Uiti consiste |)r(tpreuieiit la uielliode des pnijeelious.

Il paiait (|ue C.assini est le preuiier (|ui ait propi^sé et praliijué cette uu'lliode dans un écrit italien, imprime à i'errare en i()()'i; depuis, elle a été adoptée et mise en usage par la plu|)arl des Astronomes; on la trouve surtout employée et développée avec l)i'aucoup de détails dans les Faldes astronomiques, publiées par La Hire au commencement de ce siècle, el dans celles que Cassini le tils a données en i7'|o: et il n'y a |ires(]ue aucun l'railé d'Astronomie où (die ne soit expruince.

2. A considérer cette métliode d'une manii're iiénérale, (die ne consiste que dans la représentation en perspective de la marche du centre de l'ombre de la Lune et de celle des dill'ércnls lieux de la Terre, en conséquence de la rolalioii diurne.

Comme le lieu de \'iv\\ e>t arbilraiic, ainsi que la |)nsiliiui du |dan du tableau ou de |)rojection, il convient de les prendre en sorte (|n'il en résulte la plus ;,q-ande simplicité, surtout dans la projection de la route di' l'ombre. C'est ce (|ue l'on obtient en plaçant : i" l'œil dans le centre ilii Soleil, moyennant quoi la projeclion du eenire de l'ombre de la Lune se trouve la même (|ue c(dle du centre de la Lune, a cause qwv le centre de l'ombre est nécessairement dans le pi'olongement de la ligne droite (|ui passe par les centres du Soleil et de la [.une; ■?." en prenant |)our le plan de projection un plan |ierpendiculaii'e ii reclipti(]ue et à la ligne menée du centre de la Terre au centre du Soleil ([u'on nomme lommunément la /ii^^ne des centres, leiiuel loiicbe en même temps l'orbite de la Lune; car, comme la portion de l'orbite de la Lune, décrite pendant la durée d'une éclipse de Soleil, peut étie prise sans erreur sensible pour une ligne droite, le centre di' la Lune se trouvera dans le |dan de |)ro)eetion, et v décrir'a une ligne droite dont la position sera facile il déterminer |)ar les éléments de la I.niie. De celte manière, toute la dilliciillé sera réduite à projeter sur le même plan la trace d'un lieu (|Uclcon(|ne de la Terre pendant la durée de l'éclipsé.

3. Si le Soleil était à une distance infinie de la Terre, toutes les droites menées des difFérents points de la surface de la Terre au centre du Soleil seraient parallèles entre elles et a la ligne des centres; elles seraient par conséquent toutes perpendiculaires au plan de projection. On aurait donc le cas de la projection perpendiculaire ou orthographique, qui est de toutes la plus simple et la plus facile à exécuter. Dans ce cas, comme la projection est toujours la même sur tous les plans parallèles, quelle que soit leur distance, il n'y aura qu'à considérer la projection de la surface de la Terre sur le plan du disque terrestre éclairé par le Soleil, c'est-à-dire sur le plan du cercle de latitude qui coupe l'écliptique à 90 degrés de part et d'autre du lieu du Soleil. On décrira donc d'abord un cercle qui représente la projection de l'hémisphère éclairé; on mènera dans ce cercle de projection deux diamètres perpendiculaires entre eux, dont l'un représentera l'écliptique, et l'autre le cercle de latitude qui passe par le Soleil. On mènera ensuite un autre diamètre qui fasse avec ce dernier un angle égal à l'angle de position du Soleil dont la tangente est égale à la tangente de l'obliquité de l'écliptique, multipliée par le cosinus de la longitude du Soleil. Ce nouveau diamètre représentera le cercle de déclinaison du Soleil, et sera ce qu'on nomme le méridien uniKerseL parce que, dans tous les lieux de la Terre qui s'y trouvent situés, on compte midi en même temps; le diamètre sera aussi la projection de l'axe de la Terre, en sorte que les pôles et les centres des différents parallèles terrestres se trouveront nécessairement sur ce même diamètre; pour déterminer la position des pôles, il n'y aura qu'à prendre, depuis le centre de la pi'ojcction, une distance qui soit au rayon de la projection comme le cosinus de l'angle que fait l'axe de la Terre avec le plan de projection, angle qui est évidemment égal à la déclinaison du Soleil, est au sinus total; et, pour déterminer le centre d'un parallèle dont la latitude est donnée, on |)rendra une distance qui soit à celle du pôle comme le sinus de la latitude donnée est au sinus total. Connaissant ainsi la projection du centre d'un parallèle donné, on pourra tracer celle de tout le parallèle, lequel sera projeté par une ellipse dont le grand axe sera perpendiculaire à la

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pitijoi lion ilo l'axf de la Terre, ol sera (-lial au diaini'Irc int'iiH! du paralli'lo |)ar iiiiisi''(|uonl il sera au raynn de la projeclion, eomuie le cosinus de la latitude doniu'c est au sinus total), et dont le petit axe s(>i'a au j,M'an(l. eoninie le eosinus de rani;le (|ue l'ail le plan du parallide avec le plan de projection est au sinus total, c'esl-à-dirc coninu! le sinus de la déclinaison du Soleil est au sinus total, à cause (jue l'auiile dont il s'aj^it est eviileunueut le coin[ileinent de celui de l'axe de la 'i'erre avec le plan de projection.

Celte ellipse ainsi tracée devra ensuite être divisée en beures et en Miinulcs, si W\]\ veut, ce (|tn; l'on fera en divisant en autant de pai'tics ej^ales la circonl'erence d'un ccr(de déciit sur le grand ax(( de l'cdlipse, et abaissant ensuite de clia(|ue point de division des |)erpendiculaires sur l'axe; les points d'intersection de ces per|)endiculaii('S avec la cii'conlérence de l'elliitse doniuM'ont les divisions des heures et minutes; midi et minuit loinlieronl aux extrémités du petit axe, et G heures se tronvei'ont aux extrémités du grand axe.

De celte manière donc on aura la projection d'un lieu qu(deonque de la Terre dont la latitude est donnée, à une heure (|uelcon(|ue eompléo au méridien de ce même lien, et il n'y aura plus, |)our achever la projection de l'édipse, (ju'à déterminer le lieu où le centre de la Lune sera dans un instant (|uelcon([ue dans le même plan de projection.

i. F'our cola, on considérera qu'en pnuiant la distance de la Lune a la Terre pour l'unité, le rayon de la Terre devient égal à la |)arallax<î liori/ontale de la i.nne, qui est l'angh; sous hMiuel ce rayon pai'aît, vu du cenlif de la i.iinc; ce sera donc la valetir du rayon du cercle dt; |)rojection. l'jisuite il e^t (lair (pie, dans cette même hypothèse, les di>laners du lieu de la l.niie dans le plan de projection aux diamètres qui représentent !'(•( liptique et le cercle de latitude seront égales à Iri">-pen près ;i la latitude de la l.une et ;i la diflerence de sa longitude a cidie du Soleil (jui, vu du centie de la Terre, répond au centre de la projecLii)n. 'il faudrait pi'cndre, ii la vérité, à la place de ces angles leur> sinus; mais, la dillérence étant très-petite, il est [ilus simple de

POUR LE CALCUL DES ÉCLIPSES DE SOLEIL, ETC. 397 prendre les angles mêmes.) Ainsi, connaissant par les Tables deux longitudes et deux latitudes correspondantes de la Lune, pour deux instants donnés, on placera ces deux lieux sur le plan de projection; ensuite on mènera par ces deux points une ligne droite, qui représentera l'orbite relative de la Lune, et l'on divisera cette ligne en parties égales qui représentent les heures et les minutes, en sorte que les instants donnés tombent précisément aux points marqués. On aura, par ce moyen, le lieu du centre de la Lune dans un instant quelconque, ce qui est fondé sur ce que le mouvement relatif de la Lune au Soleil peut êtrepris pour rectiligne et uniforme dans un court espace de temps, tel que celui de la durée d'une éclipse de Soleil.

5. Ce que nous venons de démontrer a lieu dans le cas où la dislance du Soleil à la Terre serait réellement infinie. Supposons maintenant que le Soleil soit, ainsi qu'il l'est réellement, à une distance finie, quoique très-grande, de la Terre, et voyons quels sont les changements qui doivent en résulter dans la projection précédente. Et d'abord il est clair que la projection du centre de la Lune doit demeurer la même qu'auparavant, parce que ce centre est supposé placé dans le plan même de projection. Pour ce qui regarde ensuite la projection des lieux de la surface de la Terre, il est facile de concevoir que chaque point projeté devra être placé plus près du centre de la projection, en restant néanmoins sur le môme rayon, et que sa nouvelle distance au centre de la projection devra être à la première dislance, comme la distance du plan de projection au Soleil, c'est-à-dire la distance de la Lune au Soleil, est à la distance du centre de la Terre au Soleil moins la distance du lieu de la Terre dont on cherche la projection au plan passant par le centre de la Terre et parallèle au plan de projection. Or cette dernière distance, étant toujours nécessairement moindre que le rayon de la Terre, est comme infiniment petite par rapport à celle du Soleil, et peut par conséquent être négligée sans erreur sensible vis-à-vis de celle-ci; donc il ne s'agira que de diminuer la distance entre chaciue point projeté, au centre de la projection, dans la raison de la distance du Soleil à la

;t;t8 iiK.Mui(jii:s sru i. v métiiodi: ni:s puojI'Ctions

Ti'rre, ;> ccllo ilii Soleil à la Lune, c'csi-a-diic dans la raison de la parailaxi' de la Lune à la dilléiTiiei' des parallaxes de la Lune et du Soleil. Or nous avons supposé ( n" -ï , le rayon de la [tiojeelion éi;al à la parallaxe de la Lune; donc ce rayon deviendra égal à la parallaxe de la Lune moins celle du Sideil. el toules les autres parties de la projection de la surface de la Terre devront être diminuées dans la même pro|>orlion, en conservant entre elles la même position mnluelle. Ainsi il n'y aura (|u'à faire d'abord le rayon de la projection éij;al a la différence des parallaxes horizontales de la Lune et du Soleil, el piocéder ensuite de la manière (|ue nous avons cxpliciuet' plus liaul.

(i. La pi'ojeclion (|ue nous venons de delailler- repréx'ulera donc le mouvement de la Lune et les mouvements particuliers des différents lieux de la Terre, vus du centre du Soleil sur un plan toujours perpendiculaire a la lii;ne (|ui joint les centres du Soleil et de la Terre, el louchant l'orhile même de la Lune, en sorte que cette planète soit mue réellement dans ce même plan. Or, si l'on imaifine un spectateur placé dans un lieu quelconque de la surface de la Terre, il est visilile (|ue ce spectateur rapportera le centre du Soleil sur le plan de projection au même point où un spectateur placé dans le Soleil aurait rapporté le lieu dont il s'aj^il de la surface de la Teric; el (|uaiit au centre de la Lune, il paraîtra aux mêmes points du plan de projection (|u'auparavant, puisqu'il est sup|)0sé placé réellement dans ce plan. Donc la même projection repi'ésentera aussi les positions respeclives el la marche combinée des centres de la Lune el du Soleil, pour un spectateur placé sur un endroit quelconque de la surface de la Terre, pourvu (|iie l'on rappiiile maintenant au cenire du Soleil la prnjecildii de ce lieu de la Terre, c'est-à-dire qu'on suppose à chaque instant le cenire du Soleil dans la projection de ce même lieu. Or, par l'hypothèse du n" 4, il est clair (jue loutes les |)arlies de la projection sont |)roportionnelles aux angles sous les(juels ces parties paraîtraient, étant vues du cenire de la Terre; donc aussi les distances des centres du Soleil el de la Lune, vues pai' le spectateur dont on vient de parler, et mesurées sur

POUIl LE CALCUL DES ÉCLIPSES DE SOLEIL, ETC. 399

la projection, seront proportionnelles aux angles sous lesquels elles paraîtraient, étant vues ilu centre Je la Terre. Si ces distances étaient proportionnelles aux angles sous lesquels elles sont vues par le spectateur placé sur la surface de la Terre, alors leur valeur, mesurée sur l'échelle de la projection, donnerait les vrais angles des distances apparentes des centres du Soleil et de la Lune pour ce spectateur, et, étant comparées aux diamètres apparents de ces deux astres, serviraient à déterminer immédiatement les dilTérentes phases de l'éclipsé pour le lieu de la Terre où le spectateur est supposé placé. Les Astronomes font tacitement cette supposition dans l'usage de la méthode des projections, en prenant les valeurs des distances mesurées sur la projection pour les vraies distances apparentes; l'erreur qu'ils commettent par là est, à la vérité, assez petite, à cause de la petitesse du rapport du rayon de la Terre à celui de l'orhite de la Lune; mais elle empêche toujours que la méthode dont il s'agit ait'toute la précision qu'on y peut désirer.

7. Le grand avantage de cette méthode consiste principalement en ce qu'on peut exécuter toutes les opérations et déterminer les circonstances de l'éclipsé avec la règle et le compas, ainsi qu'on le voit dans la plupart des Traités d'Astronomie. On peut aussi, pour plus de précision, calculer les différentes lignes de la projection par la Trigonométrie sphérique; on en trouve la méthode dans les Tables de La Hire et de Cassini et dans les Leçons de La Caille; mais alors le calcul devient presque aussi long que par la méthode ordinaire des parallaxes, et il est moins exact que par cette dernière méthode. On doit dire la même chose de la méthode proposée et employée par l'abhé de La Caille, dans les Mémoires de Paris pour 1744. Cette méthode consiste à calculer exactement, par les règles ordinaires de la perspective, la position du centre de la Lune et celle d'un lieu donné de la surface de la Terre sur le plan du disque éclairé de la Terre pour plusieurs instants, et 'a en déduire ensuite, par l'interpolation, les temps oii la projection du lieu donné a été à une dislance donnée de la projection du centre de la Lune; M. de La Caille croit rectifier par là la méthode des projections, et il faut

'tOO REMARQUES SUR LA MÉTHODE DES PROJECTIONS

avouer qui' la projection est plus exacte par ses calculs que par les règles ordinaires; mais l'erreur qu'on commet en prenant les distances mesurées sur la projection pour les vraies distances apparentes a lieu également dans la méthode de cet astronome, et il est étonnant qu'il ne s'en soit pas aperçu. Nous ferons voir ailleurs comment on peut rectifier à cet égard et simplifier même la méthode dont il s'agit.

8. Comme la principale didlculté à laquelle l'usage de la méthode des projections est sujet consiste à décrire les ellipses qui doivent représenter les dilTérents parallèles terrestres; que d'ailleurs ces ellipses doivent être toutes seinhlahles pour une même projection du globe à l'égard du Soleil, c'est-à-dire, pour une ménie déclinaison du Soleil, mais seulement de différentes grandeurs, et placées à différentes distances du centre de la projection, suivant la latitude du parallèle correspondant, M. deLalande a pensé que ce serait rendre un service essentiel à ceux qui voudraient pratiquer la méthode des projections, et contribuer en même temps à la perfection de cette méthode, en donnant des ellipses déjà tracées et divisées pour diflérents degrés de déclinaison du Soleil, avec une Table qui indiquiM-ait la valeur du rayon de la projection, ainsi que la distance du centre de l'ellipse au centre de la projection, en parties du grand axe de l'ellipse, pour chaque latitude à laquelle l'ellipse doit répondre; car, comme le rayon de la projection est arbitraire, rien n'empêche de le prendre tel qu'il puisse cadrer à une ellipse déjà tracée, et qu'on suppose devoir représenter un parallèle donné. {Foir les Mémoires de Paris pour 1763.) Cette idée heureuse de M. de Lalande a été adoptée et poussée plus loin par le P. Hell. Nonseulement il a étendu la Table de M. de Lalande à tous les degrés de latitude et à tous les degrés de déclinaison jusqu'au vingt-huitième, qui est la limite au delà de laquelle aucun astre ne peut être éclipsé parla Lune; mais, ce qui est encore plus important, il a pris la peine de calculer les abscisses et les ordonnées de chaque ellipse pour tous les points qui répondent aux divisions de dix en dix minutes; de sorte qu'on peut, par le moyen de ses Tables, déterminer, avec toute la faci-

lité et rcxactilude possibles, la trace d'un lieu quelconque de la Terre sur le cercle de projection, sans employer les opérations graphiques, toujours sujettes à erreur. Les Tables dont nous venons de parler sont imprimées à la suite des Eplicincrides de l'année 1769, et mériteraient, ce me semble, une place dans les recueils de Tables astronomiques.

9. Feu M. Lambert a proposé un autre moyen de lever les difficultés attachées à la description des ellipses de projection. Comme ces ellipses résultent de la projection orthographique des parallèles terrestres, et que dans la projection stéréographique de la sphère, dans laquelle le plan de projection est un des grands cercles, et l'œil est supposé placé au pôle même de ce grand cercle, tous les cercles de la sphère se trouvent aussi projetés par des cercles, M. Lambert commence par projeter les parallèles terrestres stéréographiquement, en supposant l'œil sur la surface du globe et au nadir du Soleil; ensuite, après avoir divisé les cercles projetés en heures et minutes, ce qui se fait par une construction fort simple, il change la projection stéréographique en orthographique par le moyen de deux échelles, dont l'une est divisée suivant les sinus des angles, et l'autre suivant les tangentes de la moitié de ces angles. En effet, il est visible que, dans la projection orthographique, la distance de la projection d'un point quelconque de la surface de la sphère au centre de la projection est égale au sinus de l'arc compris entre ce point de la sphère et celui qui répond au centre de la projection, et que, dans la projection stéréographique, cette distance est égale à la tangente de la moitié du même arc. Ainsi, en appliquant la distance d'un point quelconque de la projection stéréographique au centre de la projection à l'échelle des tangentes, et prenant ensuite sur l'éclielle des sinus la valeur de la distance (jui répond au même arc, il n'y aura plus qu'à transporter cette dernière dislance sur la projection, en partant du centre, et en la plaçant sur le même rayon sur lequel on avait pris la première distance. (Voir la deuxième Partie des Bei- Irdge, etc., douzième Mémoire.) M. Lambert a encore tiré un autre parti de la projection stéréographique. 11 trace d'abord, sur le plan du disque VII. 5.

i02 HEMAKQUES SUR LA MÉTHODE DES PROJECTIONS

illuininé, la projection orlhographique de la route du centre de la pénombre de la Lune sur la surface du globe, ce qui est facile. Il change ensuite, par des constructions assez simples, cette projection ortbograpliique en sléréograpbique, mais faite sur lo plan de l'équateur. Alors il applique sur celte dernière projection celle de l'hémisphère terrestre projeté de même et dessiné sur un papier transparent, en sorte que les deux projections soient visibles à la fois, et, faisant tourner cet hémisphère pour représenter la rotation do la Terre, il a un tableau continuel des lieux de la Terre qui entrent successivement dans l'ombre ou qui en sortent. Cette idée très-ingénieuse peut être appliquée en général à représenter l'état du ciel pour tous les pays de la Terre dans un instant quelconque, et peut être d'une grande utilité dans plusieurs occasions.

10. Voilà un exposé succinct dos principes et des artifices principaux do la méthode des projections dont l'usage est si étendu dans toute l'Astronomie. Comme elle est détaillée et employée dans la plupart des Traités d'Astronomie, j'aurais pu me dispenser de l'expliquer ici; mais il m'a paru que la manière dont on la présente ordinairement n'en donne pas une idée assez nette; car, d'un côté, on emploie la projection orthographique pour déterminer la trace elliptique d'un lieu quelconque de la surface de la Terre sur le plan de projection, ce qui semble supposer qu'on regarde le Soleil comme infiniment éloigné de la Terre; de l'autre, on prescrit de faire le rayon de la projection égal à la diflerence des parallaxes horizontales de la Lune et du Soleil, par la raison que le disque de la Terre projeté dans l'orbe de la Lune, ol vu du centre du Soleil, c'est-à-dire vu à une distance très-grande, mais finie, doit paraître de cette grandeur, ce qui est évident de soi-même, mais ce qui parait en mémo temps contraire à la première supposition de la projection orthographique. Parmi tant d'autours qui se sont copiés successivement, je n'en ai trouvé aucun qui ait remarqué cette contradiction apparente dans la méthode ordinaire des projections, ni qui ait fait voir directement comment la seconde supposition sert à corriger à très-

peu près ce qu'il y a de défectueux dans la première. Je pense que la démonstration que j'en ai donnée ne doit laisser aucun doute sur ce point.

D'ailleurs il me semble que l'idée que l'on donne communément de la projection dans les éclipses est un peu vague et ambiguë. D'abord on suppose un spectateur au centre du Soleil, et l'on décrit sur un plan passant par le centre de la Lune la trace réelle de ce centre et la trace apparente d'un lieu quelconque de la Terre. Ensuite on regarde celte dernière trace comme celle du lieu apparent du Soleil pour un spectateur placé sur la surface de la Terre, et l'on prend les distances mesurées sur la projection entre le lieu apparent du Soleil et le lieu réel de la Lune pour les distances ou angles apparents de ces astres pour le même spectateur, ce qui n'est pas exact, comme nous l'avons déjà observé plus haut.

11. Pour déterminer la juste valeur de ces distances apparentes, on considérera que, le plan de projection étant supposé perpendiculaire à la droite qui joint les centres du Soleil et de la Terre, ce plan sera, à un infiniment petit près, perpendiculaire à toutes les lignes menées des différents points de la surface de la Terre au centre du Soleil. Donc l'angle formé à un point de la surface de la Terre, par une ligne menée de ce point au centre du Soleil, et par une autre ligne menée de ce même point au centre de la Lune, aura pour tangente la distance des points d'intersection de ces deux lignes et du plan de projection, c'està-dire la distance des lieux du Soleil et de la Lune, mesurée sur la projection, divisée par la distance du plan de projection même au point de la surface de la Terre dont il s'agit. Mais, comme dans les petits angles l'arc se confond avec sa tangente, que d'ailleurs les différentes lignes de la projection sont déjà exprimées en arcs dont le rayon est celui de l'orbite de la Lune, il s'ensuit que la vraie distance apparente des astres sera à la distance mesurée sur la projection, comme le rayon de l'orbite de la Lune ou la distance du centre de la Terre au plan de projection est à la distance du lieu de la surface de la Terre où est le

40V REMARQUES SUR LA MliTIIODE DES PROJECTIONS spectateur, à ce plan. 11 faut donc augmonler, clans la raison de ces dernières distances, celles qu'on aura mesurées sur la projection, pour avoir les distances apparentes cherchées, et cette augmentation est la même qui a lieu dans le diamiitrc apparent de la Lune, à raison de sa hauteur, et dont les astronomes ont déjà construit des Tahles sous le titre (V Augmentation du dinmctre; en sorte que, après avoir mesuré les distances du Soleil et de la Lune sur la projection, il faudra encore y appliquer une correction semhlahle à celle du diamètre apparent do la Lune, et dont la valeur peut aller à -^ du total.

12. Il paraît que celte correction n'avait pas échappé ii MM. Cassini et LaHire; car, dans les préceptes de leurs Tables astronomiques, ils prescrivirent de diminuer la somme des demi-diamètres du Soleil et de la Lune de la quantité dont le demi-diamètre de la Lune parait augmenté par son élévation sur l'horizon, pour pouvoir déterminer exactement sur la projection le commencement et la fin de l'éclipsé. Or il est visible que c'est la même chose de diminuer la distance qu'on doit observer entre ces astres, avant de l'appliquer à la projection, que d'augmenter dans la mémo proportion la distance mesurée sur. la projection, et delà comparer ensuite à la première distance non altérée. Cependant la plupart des astronomes qui sont venus depuis n'ont eu aucun égard à celte correction, et l'abbé de La Caille, dans le Mémoire déjà cité de 1744. d^ns lequel il a pris la peine de calculer la projection avec la plus grande rigueur, dit expressément (page 2i5) (|u'// n'est pas nécessaire de diminuer la somme des demi-diamètres du Soleil et de la Lune de la quantité dont le demi-diamètre de la Lune parait augmenté par son cléçalion sur l'horizon, ainsi que l'ont pratiqué MM. Cassini et La Ilire, puisqu'il ne s'agit pas ici de ce qui se passe sur une superficie sphérique, mais sur un plan. Ces dernières paroles font voir, ce me semble, que cet astronome n'avait pas une idée bien nette de la méthode des projections en tant qu'elle s'applique à la théorie des éclipses.

M. de Lalande en parle seulement dans la deuxième édition de son Astronomie, et il prétend qu'il faut appliquer au diamètre du Soleil

l'augmentation de celui de la Lune à diverses hauteurs, par la raison, dit-il, que si le demi-diiunclre de la Lune paraît plus grand, V arc total de la projection HL parait plus grand aussi dans la même proportion; et, si le diamètre du Soleil était augmenté de même, il ne serait plus nécessaire d'avoir égard à l'augmentation de IIL; tout resterait proportionnel, la projection, les diamètres, le mouvement horaire (n° 1867). J'avoue que je n'entends pas bien ce raisonnement. Il est vrai que, si le diamètre apparent du Soleil augmentait comme celui de la Lune, la projection n'aurait besoin d'aucune correction; mais, de ce que le diamètre demeure invariable, il ne s'ensuit pas qu'il faille l'augmenter lorsqu'on veut l'appliquer à la projection; on doit au contraire plutôt le diminuer dans la même proportion, car nbus avons vu plus haut que la somme des demi-diamètres observés de la Lune et du Soleil doit être diminuée dans la même proportion que le diamètre de la Lune parait augmenté; donc le diamètre de la Lune demeurera le même que s'il était vu du centre de la Terre, et le diamètre du Soleil sera seul diminué dans la proportion dont il s'agit.

M. de Lalande remarque ensuite avec raison (n° 1874) que la méthode des projections suppose que la parallaxe de la Lune est proportionnelle au cosinus de la vraie hauteur du Soleil sur l'horizon, au lieu qu'elle est véritablement proportionnelle au cosinus de la hauteur apparente de la Lune, et il montre, par la considération des parallaxes, que l'on peut remédier à ce défaut dans le cas où les deux centres seraient dans le même vertical, en augmentant la distance apparenle des centres, donnée par la projection, à raison de la hauteur de la Lune sur l'horizon. Or nous avons fait voir, en général, que cette correction a lieu également pour toutes les distances des centres, mais à raison de la hauteur du Soleil sur l'horizon.

Feu M. Lambert est celui qui parait avoir le mieux reconnu celte aberration de la méthode ordinaire des projections, et fait sentir la nécessité d'y remédier en appliquant à toutes les distances observées des centres du Soleil et de la Lune, avant de les comparer aux dislances mesurées sur la projection, une correction semblable à celle que