C UKMAIIQUES SUR LA MÉTHODE DES PROJECTIONS

MM. Cassini ol La Hire avaient proposée seulcmcnl pour lo deini-dianiètre (le la pénombre.

M. Lambert en a donné un exemple en calculant quelques observalions des distances d'Aldébaran à différentes taches de la Lune dans les Éphèmèrides de 1777. et M. Schulze l'a employée dcjiuis avec succès pour éclaircir quelques diUlcultés relatives à une éclipse de Soleil ob- .servée à la Cbine par le P. Hellerstein. {Voir les Ephèmèrides de 1776 et 1778.)

13. Quoique la réduction que nous avons proposé ci-dessus de faire aux distances des centres mesurés sur la projection (11) suffise pour donner h la méthode des projections toute la rigueur qu'on peut désirer, et une rigueur égale à celle qui résulte de la mé'lhode des parallaxes, à une seule circonstance près dont nous parlerons plus bas (n° 18), il faut cependant convenir que, si l'on était obligé d'employer le calcul pour celle réduction, on perdrait un des avantages les plus précieux de la méthode dont il s'agit, celui de pouvoir déterminer toutes les circonstances d'une éclipse par de simples opérations graphiques et par le moyen de la règle et du compas. Cette considération m'a engagé à examiner s'il n'y aurait pas moyen de déduire la correction proposée de la projection même, ou plutôt de la faire entrer dans la construction de la projection, et je vais présenter aux astronomes les résultats de mes recherches sur ce sujet.

14. Je considérerai d'abord la projection telle qu'on l'emploie communément, et, pour n'y rien laisser à désirer du côté de l'exactitude, j'y aurai aussi égard à l'aplatissement de la Terre, ce que personne, ce me semble, n'avait encore fait.

Soit donc ABD le demi-cercle de projection, dans lequel le rayon DC, perpendiculaire au diamètre AB, représente le méridien universel. On prendra d'abord l'arc DP égal à la déclinaison du Soleil au temps de la conjonction; ensuite, étant donnée la latitude du lieu dont on veut décrire le parallèle, on ajoutera à cette latitude la valeur correspondante

POUR LE CALCUL DES ÉCLIPSES DE SOLEIL, ETC. i07 de l'angle de la verticale avec le rayon du sphéroïde, angle dont il y a une Table à la page 1G4 de la troisième Partie du Recueil des Tables astronomiques de l' Académie de Berlin, pour avoir l'angle du rayon du sphéroïde de la Terre passant par le lieu donné, avec le plan de l'équateur. On prendra sur la circonférence de la projection, de part et d'autre du point P, des arcs PE, PF, chacun égaux à ce dernier angle, et l'on tirera la corde EF et les perpendiculaires EG, FH au rayon CD. Ces perpendiculaires intercepteront la partie GH qui sera le petit axe

de l'ellipse, et le grand axe sera égal à la corde EF; ainsi, ayant divisé la ligne GH en deux parties égales au point 1, on y mènera par I une perpendiculaire KIM, qu'on fera égale à la corde EF, en sorte que le point 1 se trouve au milieu de la droite KLM. On aura ainsi les deux axes GH et KM de l'ellipse qui sera la projection orthographique du parallèle du lieu proposé. On décrira cette ellipse par les méthodes ordinaires, et on la divisera en heures et minutes suivant les règles connues, en plaçant midi au sommet du petit axe, et comptant les heures de la droite à*la gauche. Lorsque la déclinaison du Soleil est seplenlrionale, c'est la partie inférieure de l'ellipse qui doit servir; au

i08 REMARQUES SUR LA MÉTHODE DES PROJECTIONS

contraire, ve sera la partie supérieure si la déclinaison iln Soleil est méridionale. Nous avons supposé ce dernier cas dans la figure, et en conséquence nous n'avons tracé que la demi-ellipse supérieure Kr/HM. On tirera maintenant le rayon CL (jui doit représenter le cercle de latitude, et qui doit faire avec DC l'angle LCD égal à l'angle de position du Soleil. On prendia donc sur la circonférence de la projection l'arc DL égal à l'angle dont il s'agit, et l'on placera le point L à la gauclie ou à l'orient de D lorsque le Soleil sera dans les signes descendants, et à la droite ou à l'occident lorsqu'il sera dans les signes ascendants. Ensuite, supposant le rayon de la projection CB égal à la parallaxe horizontale de la Lune pour la latitude proposée moins celle du Soleil (dans l'endroit cité des Tables astronomiques il y a aussi une Table de réduction pour les parallaxes horizontales de la Lune à différentes latitudes), on prendra sur ce rayon une partie égale à la latitude de la Lune, qu'on portera sur le rayon CL en Cl; on tirera par / une perpendiculaire à C/, sur la(|uelle on prendra à la gauche de Cl une partie égale au mouvement horaire de la Lune sur l'écliplique moins celui du Soleil, et au bout de cette partie on élèvera une perpendiculaire parallèle à Cl, sur laquelle on prendra une partie égale au mouvement horaire de la Lune en latitude, en plaçant cette partie au-dessus ou au-dessous de la ligne du mouvement horaire en longitude, suivant que la Lune s'approchera du nord ou du midi; on mènera enfin par l'extrémité de cette ligne du mouvement en latitude, (jue je suppose aboutir en a, et par le point / la droite aie (|ui représentera l'orbite de la Lune, et la partie «/sera l'espace parcouru par la Lune pendant une heure, en sorte que, marquant au point / l'heure et la minute de la conjonction au méridien donné, on pourra diviser toute la partie de l'orbite (jui est comprise dans la projection en heures et minutes de temps.

1.5. Jusqu'ici c'est la projection ordinaire dans hujuelle, pour avoir égard à l'aplatissement de la Terre, nous avons supposé que la Terre est un globe dont le rayon est égal à la distance du lieu proposé, pour lequel on fait la projection, au centre de la Terre, mesurée sur le sphéroïde

POUR LE CALCUL DES ÉCLIPSES DE SOLEIL, ETC. i09

aplati; car il est évident que le parallèle de ce lieu est alors le même sur ce globe que sur le sphéroïde, et qu'ainsi la projection de ce parallèle doit se faire de la même manière que si la Terre était etrectivenient sphérique.

Si l'on veut maintenant avoir la distance apparente des centres du Soleil et de la Lune dans un temps quelconque, comme à 2 heures après midi, on tirera par les points detbdn parallèle et de l'orbite, qui répondent à 2 heures, la ligne db, et l'on portera la longueur de cette ligne sur les divisions du rayon de la projection CB; on aura ainsi la distance cherchée exprimée en minutes et même en secondes de degré, si le rayon de la projection est assez grand pour cela. Mais cette distance, pour être exacte, demande encore à être corrigée par la règle du n*^ 11, laquelle consiste en ce qu'il faut augmenter la distance dont il s'agit, dans la raison de la distance du centre de la Terre au plan de projection à la distance du lieu donné sur la surface de la Terre à ce même plan. Si donc on tire par les points d et b au centre C les rayons Ce?, Cb, et que sur le rayon Cd prolongé on prenne la partie C/qui soit à Ce? dans la raison des distances dont il s'agit; qu'ensuite on mène par/ la ligne yè parallèle a db : ï\ est clair que la partie yè, interceptée entre les rayons /C et eC, sera la distance apparente corrigée, qui, étant ensuite portée sur les divisions du rayon CB, donnera la vraie distance apparente cherchée des centres du Soleil et de la Lune.

16. Tout se réduit donc à déterminer sur chaque rayon Ce/ de l'ellipse K6?HM le point/, en sorte que les parties /C et c?C soient dans la proportion de la distance du centre de la Terre au plan de projection à la distance du lieu de la surface de la Terre, dont d est la projection orthographique, au même plan. Or je dis que tous ces points/, ainsi déterminés, sont aussi sur une ellipse telle que R/i\S, laquelle est la projection du même parallèle dont KH.M est la projection orlhograplii(|ue, mais pour un spectateur placé au point C du plan «le projection, et (jui rapporterait les points de la suri'ace de la Terre à un |dan passant par son centre, et parallèle au même plan de projection. En etl'et, il est clair VIL 52

iiO REMAUQUES SUR LA MÉTHODE DES PROJECTIONS

que la projection orthographique de la surface de la Terre sur ce nouveau plan de projection passant par s'on centre sera la même que sur le plan ADIÎ qin est censé toucher l'orhe de la Lune; de sorte qu'on peut imaginer que le plan ADB soit celui du disque éclairé de la Terre, et (juc le lieu de l'œil réponde perpendiculairement au centre C, à une distance de ce centre qui soit au rayon CB comme le rayon de l'orhite de la Lune, ou la distance du plan de projection dans l'orhe de la Lune au centre de la Terre est au rayon même de la Terre. Si donc on cherche par rapport à ce lieu de l'œil la projection d'un point quelconque de la surface de la Terre qui réponde perpendiculairement au point d, c'estiwlire qui ait d pour sa projection orthographique, il est d'abord visible (jue la projection dont il s'agit sera sur le même rayon Ce? qui passe par la projection orthographique; ensuite on aura, par les règles ordinaires de la perspective, cette proportion : comme la dislance de l'œil moins celle de l'objet au plan, ainsi la distance Cd à la distance Cf, et le point/ sera la projection cherchée. Or cette proportion est la même que celle par laquelle nous avons déjà déterminé ci-dessus le point /; donc, etc. Ainsi, pour déterminer tous les points/ qui doivent répondre à tous les points du parallèle terrestre dont l'ellipse KHM est la projection orthographique, il n'y aura qu'à chercher la projection du même parallèle par rapport à un œil placé perpendiculairement au-dessus du centre C et à une distance de ce centre qui soit au rayon CB comme la distance de la Lune à la Terre est au rayon de la Terre, et l'on doit voir d'abord par là que la projection cherchée sera aussi une ellipse dont le petit axe sera placé sur le même rayon CD; car cette projection n'est autre chose que la section d'un cône oblique dont la base est le parallèle terrestre et le sommet est le lieu de l'œil, tandis que la projection orthographique est la section faite par le même plan d'un cylindre oblitiue ayant la même base et le même axe que le cône.

17. Voyons maintenant comment on doit décrire la nouvelle ellipse dont il s'agit.

Je prends sur la circonférence de la projection, et du mêine coté du

point P, lorsque la déclinaison du Soleil est méridionale, ainsi qu'on le suppose dans la figure, l'arc AT égal au double de la parallaxe horizontale de la Lune (il faudrait prendre cet arc de l'autre côté du point P, c'est-à-dire de B en D, si la déclinaison du Soleil était septentrionale), et je tire la corde TB : cette corde coupera le rayon CD en V, en sorte que CB à CV aura la même proportion que la distance de la Lune à la Terre au rayon de la Terre, à cause que l'angle CBV est égal à la parallaxe horizontale de la Lune. Ayant tiré maintenant aux points E et F de la corde EF les rayons CE et CF, on prendra sur ces rayons les parlies CY et ex égales chacune à CV, et l'on mènera par B les lignes BYZ, BX; ensuite de quoi on mènera par E la ligne EQ parallèle à ZB, et par F la ligne FN parallèle à XB. Ces deux lignes intercepteront sur le rayon CD la partie QX, qui sera le petit axe de la nouvelle ellipse, et qu'on divisera en deux parties égales au point 0, pour avoir le centre de l'ellipse. Pour avoir ensuite le grand axe de l'ellipse, on mènera par 0 la ligne mn parallèle à la corde EF, et sur la partie nin de cette ligne interceptée entre les lignes EQ et FN, on décrira le demi-cercle mpn; l'ordonnée rectangle Qp, correspondante au point 0 du diamètre de ce cercle, sera le demi-grand axe cherché, qu'on portera donc en OR et OS, sur la perpendiculaire ROS au rayon CD. Ayant ainsi le petit axe QN et le grand axe RS, on décrira l'ellipse R/NS, qui sera le lieu de tous les points/, et qui servira, par conséquent, à corriger les distances apparentes des deux astres pour tous les lieux de la Terre situés sur le parallèle dont KHM est la projection orthographique, ainsi que nous l'avons montré plus haut.

Pour démontrer cette construction, il suffira de considérer que les deux lignes EQ et NF, étant prolongées à la droite, concourent nécessairement à un point du diamètre ACB prolongé vers B, et que la distance de ce point de concours au centre C sera au rayon CB comme la distance de la Lune à la Terre est au rayon de la Terre; en sorte que ce point de concours sera le lieu de l'œil pour la projection ADB. Le reste est analogue aux procédés de la consli'uclion orthographique, et dépend de raisonnements semblables.