C ~ AT ^ A,C
el dans la seconde on aura
Bi
Si les nombres 7, 5, i,... étaient tous égaux à l'unité, on pourrait prouver, comme dans le n" 12, qu'entre deux fractions consécutives quelconques de l'une ou de l'autre des séries précédentes il ne pourrait jamais se trouver aucune autre fraction dont le dénominateur serait moindre que ceux de ces deux fractions; mais il n'eu sera pas de même lorsque les nombres y, 0, s,... seront différents de l'unité; car dans ce cas on pourra insérer entre les fractions dont il s'agit autant de fractions intermédiaires qu'il y aura d'unités dans les nombres 7 — i , à — \ , 3 —
et pour cela il n'y aura qu'à mettre successivement dans les valeurs de C et C, [x\° lOj les nombres i, 2, 3, . . . , 7 à la place de 7; et de même, dans les valeurs de D et D,, les nombres i, 2, 3, . . ., § à la place de §, et ainsi de suite.
17. Supposons, par exemple, que 7 - 4. on aura Crr:4B-:- A, C, =^ 4B, -^A„
et l'on pourra insérer entre les fractions - et -,- trois fractions intermé- «liaires. qui seront
B. -4- A,' 2B, -h A,' 3B, -hA,'
:{() ADDITIONS AUX ELEMENTS n'AI.GEHHE D EULEU.
Il est clair (iiie les dénominateurs de ces fractions forment une suite
croissante aritlimétiquement depuis A, jusqu'à C,, et nous allons voir
que les fractions elles-mêmes croissent aussi continuellement depuis
— jusqu'à p-) en sorte (ju'il serait maintenant impossible d'insérer dans
la série
aucune fraction dont la valeur tombât entre celles de deux fractions consécutives, et dont le dénominateur se trouvât aussi entre ceux des mêmes fractions. Car, si l'on prend les différences entre les fractions précédentes, on aura, à cause de BA, — AB, — i,
d'où l'on voit d'abord que les fractions -r-' t, r '••• vont en anurinen-
' A, Bi-hA, ^
lant, puis(|ne leurs différences sont toutes positives; ensuite, comme ces différences sont égales à l'unité divisée par le produit des deux dénominateurs, on pourra prouver, par un raisonnement analoii;ue à celui que nous avons fait dans le n" 12, qu'il est impossible qu'entre deux fractions consécutives de la série précédente il puisse tomber une fraclion (luelconque — . si le dénominateur n tombe entre les dénomina-
teurs de ces fractions, ou, en général, s'il est plus petit (|iic le plus grand des deux dénominateurs.
De plus, comme les fractions dont nous [)arloiis soni loiites plus
grandes que la vraie valeur de a, el que la fraction tt- en est plus petite,
il est évident ([ue chacune de ces fractions approchera de la quantité a, en sorte que la différence en sera plus j)etite que celle de la même frac-
tion et de la fraction î^--, or on trouve
aB-f-A
aB, -1-A,
B, ~ (aB, + A,)B,
Donc, puisque ces différences sont aussi égales à l'unité divisée par le produit des dénominateurs, on y pourra appliquer le même raisonnement du n" 12, pour prouver (ju'aucune fraction — ne saurait
, ,, . A B-f-A aB+A
tomber entre une quelconque des tractions —, ^ ^ ^ ^^ -hX ' ' ' '
et la fraction ^r-, si le dénominateur n est plus petit que celui de la
même fraction; d'où il suit que chacune de ces fractions approche plus de la quantité a que ne pourrait faire toute autre fraction plus petite que a, et qui aurait un dénominateur plus petit, c'est-à-dire, qui serait conçue en termes plus simples.
18. Nous n'avons considéré dans le numéro précédent que les fractions intermédiaires entre -r- el t^; il en sera de même des fractions intermé-
diaires entre -^ et jt' entre î?- et t^vî si s, y;,... sont des nom lires >i, L, E, E, G,
On peut aussi appluiuer à l'autre série
tout ce que nous venons de dire relativement à la première série
(le sorte que, si les nombres o, Ç, . . . sont \ i, on pourra insérer entre
les l'raetions tt^ et ,. : entre ,,~ t^l î^--- différentes fraetions internié- B, l'i 1), r I
diaires toutes plus grandes que a, mais qui iront continuellement en
diminuant, et qui seront telles, qu'elles exprimeront la (|uanlilé a plus
exactement ([ue ne pourrait faire aucune autre fraction plus grande
que a, et qui serait eonc^'ue en ternies plus simples.
De plus, si |3 est aussi un nombre i, on pourra pareillement placer
avant la traction t^- les tractions ? — ^ — t; — >••• lusqu a
(3A-hi ■ R . i- .- . , •-.•1
!-— ô — ' savoir TT-i et ces tractions auront les mêmes propriétés que les
autres fractions intermédiaires.
De cette manière, on aura donc ces deux suites complètes de fraetions convergentes vers la quantité a.
Fractions croissantes et plus petites que a.
A B-i-A aB + A 3B-f-A
yh + K G D + G aD-f C 3D-»-C yB,-^A,' G,' Br-TG,' aD, -4-C;' 3D,h-G,' "■'
jP -4- G E F -t- E
£D,"HrG;' Ei' F, -4-E,' ■"'
Fractions décroissantes et plus grandes que a.
