C0Si
iang7= — ^ ; et, par les mêmes substitutions, on trouvera
cos'i+ -r
1 + ^^ — h V 1 -i-/'sin'*
SUJETTES AUX PARALLAXES. Ul
Or il est visible que la plus grande valeur de K a lieu lorsque s = o, ce qui donne
d'où Ton peut conclure que K est toujours nécessairement moindre que -• Or
c'est-à-dire, à cause de X-
■' I— UÀ
Cette quantité est nulle lorsque >. = i ou -i, qui sont les deux valeurs extrêmes de ),, et son maximum a lieu lorsque ). = n, auquel
'^'''^J= '^T^^' '^' ^^'"'"^ n = sinH-, «F étant la parallaxe horizontale du Soleil, on aura, pour la plus grande valeur de/, tang^U; d'où je conclus enfin que K est toujours < ^""^'^ .
Comme l'on a W= 8"i, on voit que K est une fraction exeessivemenl petite; de sorte que la série qui exprime la différence entre les angles 1' et 7 est nécessairement très-convergente. Le premier terme de cette série, étant 2K sin? cos(7 + 7), sera toujours <2Ksin7, et par conséquent < 8"Asin 7.
Donc, tant que sincr ne sera pas > -ji^, ce terme donnera toujours un angle <i". Ainsi, lorsqu'on voudra négliger les tierces dans la valeur de V-, on pourra négliger le terme dont il s'agit et tous les suivants, et prendre simplement 2 = 7, du moins tant que 7 ne sera guère > 5".
26. Dans les éclipses de Soleil, la plus grande distance apparente des centres ne surpasse pas 34 minutes, somme des plus grands denii-dia- VH.
iiièlros (lu Soleil et de la Lune, cl ct'Ue dislaiicc osl encore plus pelile dans les passages des planètes; donc 1' et (7 ne seront pas >, 34'; donc sin7 <<-—;. Par conséquent le premier terme de la série ijui exprime la ilill'érence entre 1' et (7 sera ■< o", r .
D'où il s'ensuit que dans les éclipses de Soleil, et à plus forte raison dans les pa?saii;es de Vénus et de Mercure sur l(> dis(|ue du Soleil, on peut piendre 1' = '7 sans commettre une erreur d'un dixième de seconde. On aura donc sim[)l('ment, pour la dislance apparente 1' dans ces sortes de phénomènes, la formule
tang2i'= v'i/''— f r' + iq'— Q' !"■
27. (ielte expression de tang^', quoicjue déjà fort réduite, est néanmoins susceptible de l'être encore davantage.
Et d'abord, comme les quantités P' et Q' sont extrêmement petites, on pourrait les négliger tout à fait vis-à-vis de// et q'; mais il est bon d'apprécier l'erreur qui en résulterait.
Pour cela, je remarque, en général, que toute quantité de la forme \/(a + aj--f- {b-\- ^y^ est nécessairement comprise entre ces deux limites v'a- + 6^ -f- v'a' -t- [i' et \'n^ + b- — ya" H- /3^ , de sorte qu'en négligeant les (juiintilés a et [t, on ne commet, sur la valeur de \{a ■+- aj' -t- (A-)- /S)'-", (|u'une erreur moindre (juc \v.^ -+- [j- .
En efTet, on a
( a -I- a )' -t- ( 6 -f- (3 )' = rt' + 6= + «' -f- ;3= + 2 [ rt a + i (3 ) ; mais
donc ax -+- bfi sera toujours nécessairement comprise entre ces limites
± \n^ -hb'^\/y.--h f^; donc les limites de (a + a)- + (i + /3)- seront
donc les limites de \J{a -+- af- -h (b ■+- p/-' sont \a- + //- ± \v.^ -+- ^■^ FI s'ensuit de là que la valeur de lang2' sera toujours comprise entre
CCS limiles \/?- + 5r'-' rt yP --)- Q'-; de sorte ([u'en prenant simpleinont
l'erreur ne surpassera jamais yP'- h- Q^.
Or on a trouvé plus haut (25) que la plus grande valeur de y P- -+- Q" est tangM'; donc, si l'on fait \p- -+- q'-= tang?', on aura, dans les cas extrêmes,
langl'— langer' ± langT.
Or
tango-' ±tang^' = {izptang(7' langM tangua-' zt^);
de sorte que
tangcr'-l- langT < tang a' -(- M' :, et tango-'— tangH> tangi o-'— ^'j;
par conséquent on aura, dans les cas extrêmes,
lang2î'< langue-' + ^F), ou lang2L'> tang a' — ^F ; donc
l'<<7'-i-W el >!7'-4".
D'où il est aisé de conclure qu'en prenant 1' = 7', c'est-à-dire lang2'= \p'- -t- q'- > l'erreur qu'on pourra commettre sur l'angle 1' ne pourra jamais surpasser l'angle f ', qui est égal à la parallaxe horizontale du Soleil. Mais aussi cette erreur ne sera pas tout à fait à négliger, lorsqu'on voudra porter la précision jusqu'aux secondes inclusivement.
28. En général, il est facile de déduire de l'analyse précédente qiw si, au lieu de la véritable équation
on prend celle-ci
tangZ'=: v^i^'— P'-+- jt'-f- ((/■— Q -)-(3)',
a et ^ étant des quantités (juelcuniiues, l'erreur (|ui en résultera dans
la valciif lie l'angle 1' sera toujours nioiiulre (jne l'augk' (iiii aiirail pour laiigciUc v^" -+- f^^ • Lommo /) = . , et q = -. . (19), si 1 on suppose a— P = J~^^
5 on aura
langj.
x/[m— (PT — n/)u|' + [/t — (ro— n/)v]'
et la valeur de 2i', déduite de cette équation, ne pourra jamais dill'érer de la véritable, d'un angle plus grand que celui dont la tangente sera 4'^^~+jK Or
donc
--1 — ^, n ^ — ;/ l ' \ n(^-n/)Xv/i-X'
v«' + H' = nvy.' + i''(^73^-— -iîxj= (/^x)(.-ia)-'
à cause de /j.^ + v- = i — X".
La plus grande valeur de X \/i — À- a'iicu lorsque )v = y ^ , ce (|ui tldiuic /. y/i — X- =^; de plus
(/ — ro/.) (i — nx) = / - (cT -h II j X + mH};^ > / — ( ro + n ) X > / - m - n,
à cause que X est toujours rent'ernié entre 4-1 et —1. Don(^ on aura nécessairement
^^ niro-n/)
Donc, comme II =sin8"{, l'angle dont la tangente; est y'a'' -^ [^' •'^e'"» < 8"! X .'^~ y. . • Mais pour la Lune on a environ ro = sin 1" = ^, et celle quantité est encore beaucoup moindre pour Vénus et Mercure:
Qlfl
donc l'anL'Ic dont il s'agit sera < — ; rrr", et, comme /= cos^cos/y
(20) = à peu près i, à cause (jue / et b sont toujours des angles fort
SUJETTES k\]\ PARALLAXES. 443
pelils dans les éclipses et dans les passages, il s'ensuit que l'angle en question ne sera jamais que de quelques tierces, dans les cas extrêmes. Enfin, au lieu du terme 11/ qui entre dans la dernière expression de tangl', on pourra, pour plus de simplicité, mettre simplement n, et la plus grande erreur qui en pourra résulter dans la valeur de 1' sera, par la théorie précédente, égale à l'angle dont la tangente serait
n^l— /i >/a^ -H >" IIll— /'l
La plus grande valeur de . ^ a lieu lorsque À = ' > et elle est par
conséquent
Donc, à cause de II = sin8"|, l'angle dont il s'agit sera <8"|x —
v7' - uf
Cette quantité est, comme l'on voit, encore plus petite que celle que nous avons négligée ci-dessus; par conséquent la substitution de II à la place do Ul n'augmentera pas l'erreur sur la distance apparente.
29. Nous venons donc de démontrer rigoureusement que, dans les éclipses de Soleil et dans les passages des planètes par son disque, la dislance apparente 1' des centres peut être déterminée par la formule
tang2 = VL ^ ^A i ^ L,
sans que la plus grande erreur puisse aller au delà de quelques tierces. Cette formule se réduit, par ce qu'on a démontré dans l'Article 11, à celle-ci
^-, \ [siii/ cosh— sin\u^ — .u'-^I 1]^ -+- [sinfr — sin(vi}/ — v4'')]'
' °^ . ces < ces 6 — sinXij/
dans laquelle h est la latitude de la Lune ou de la planète dont on observe le passage, t l'excès de la longitude de la Lune ou de la planète sur celle du Soleil, i la plus grande parallaxe de hauteur de la Lune ou
(lo la plaiièlc, cl H la itliis i^randc [tarallaxc île hauteur du SuK'il. Les cocllicicnts À, ix, v sont des quantités d(''[»i'ndaiit(.'s uu'ujucnu'ut de la loni^itude A du Soleil, de la latitude réduite '^ du lieu de l'obseivatour. et de l'ascension di'oile 0 du milieu du eiel, et {|u'on trouvera aisément par les Tables que nous avons proposées.
30. Comme tous les angles qui entrent dans cette formule sont toujours Irès-pciils, n'y en ayant aucun qui puisse surpasser i degré dans les éclipses de Soleil et dans les passages des plancles sur son disque, on peut, sans ei'reur sensible, la réduire à
v'T ' - F 1 ^-4-)]' + [<.-v(t-VF)]'
et celle formule sera suffisamment exacte lorsqu'on ne voudra pas pousser la précision jusqu'aux secondes de degré; mais, pour être sur des secondes, il faudia toujours avoir recours à la précédente.
Au reste, si l'on néglige dans le dénominateur de cette formule le terme sin).i}i, on a, pour la distance apparente 1', la même valeur (ju'on trouve pai' la mélliode or(linair(! des projections; d'où l'on voit (|ue, pour avoir une exactitude suilisante, il faut augmenler celte valeur dans la raison de i — sin>.ij> : i; c'est ce que j'ai démontré ailleurs, d'après les principes mêmes de la projection, en donnant de plus un moyen de faire entrer cette correction dans la construction uu'uie de la projection.
lit. On peut donc, par les formules précédentes, déterminer avec plus ou moins d'exactitude la distance apparente des centres dans un instant (|uelconque; par conséquent on peut juger des circonstances de j'éclipse ou du passage, et il est clair que le commencement et la fin du phénomène auront lieu lorsque la distance apparente 1' sera égale à la somme des demi-diamèlres apparents des deux astres.
l'our le Soleil el pour les planètes principales, le diamètre apparent est toujours le même, quelle que soit la hauteur de ces astres sur l'ho-
rizon; du moins la variation est trop insensible pour ([u'il soit néeessairc d'en tenir compte, a cause de l'excessive petitesse de la parallaxe de CCS astres. Ainsi il suffît de prendre leurs diamètres apparents, tels »]ue les Tables astronomi([ues les donnent pour le temps dont il s'agit. Il n'en est pas de môme pour la Lune; car, cette planète ayant une parallaxe considérable, son diamètre apparent augmente d'une manière sensible, à mesure que la liauleur sur riiorizon est plus grande: c'est ce qu'on appelle en Astronomie Y augmentation du diamctre de la Lune. et l'on a des Tables qui donnent cette augmentation pour tous les degrés de Iiauteur de la Lune. Voici comment on pourra tenir compte de cette variation par nos formules.
32. Soit d le demi-diamètre horizontal de la Lune donné par les Tables, et d' son demi-diamètre apparent dans un instant quelconque; il est visible que, r étant la distance du centre de la Lune au centre de la Terre, et /' la distance du centre de la Lune au lieu de l'observateur, on aura également rsinrf et r'sinrf' pour le demi-diamètre réel de la Lune dans son orbite. Donc r&ix\d=r'ûnd'; par conséquent
,, rs\nd sma = — ; — • r
Or, par le n'' 10, on a
= 1/ I / — ctA I' H- i //t — TSIJ. '' -\- [Il ■
ainsi il n'y aura qu'à diviser la valeur de ûnd \ym- cette quantité pour avoir celle de sin^'.
Par la formule du n° 29 on a
V [m — I 57 — 11 I a]' + [h — . 5T — n v]' = 'J — ml] Ungl' ;
si l'on néglige les termes n/n et IIv, et qu'on prenne (7— î;t),) tangl pour la valeur de \ (m — 7;7u,/- -4- (n — ?rvy-, on ne commettra dans cette valeur ({u'une erreur moindre que \ ,u.- -f- v'- par le n" 27, c'està-dire (à cause de l'I-h '/- -f- v- = i) moindre que 17, ou sin<S".J,, (|uantité presque inappréciable.
4i8 SUR LE CALCUL DES ÉCLIPSES
(jiiV)ii subslituc donc la valeur dont il s'agit dans l'expression de — • on aura
Donc on aura enfin
. „ sinr/rosw' sin</ :
/ — roX
33. Cela posé, soit D le demi-diamètre horizontal du Soleil donné par les Tables; il est clair que l'éclipsé commencera ou finira lorsque :i'= D -!- d'; de sorte qu'on aura pour le commencement ou pour la fin (i = 2 — D, par conséquent
sinrf'=sin2'cosD — cosi!'sinD; subsliluanl donc la valeur précédente de m\d', on aura
sinf/cosi' . ,., .,, . ,.
— ; : — = sinz cosD — cos2 siii 1);
/ — ro/.
d'dii l'on lire
„, ,, s'md
tang2, = tanglJ
(/ — roX) cosD
Donc pour le conimencemcnt et pour la tin de l'éclipsé on aura, en substituant la valeur de tan" 2' du n"29.
' sin(/ cosJ)
-f (/— ml.) tangt) = [m — {nr — H ) ;/ J' H- [/( — (ro — II) v]',
équation d'où l'on pourra conclure l'instant précis de ces phases; mais la solution directe de cette équation est impossible, à cause qu'elle renferme les sinus et les cosinus des angles t, b, A et 0, {\m varient avec des vitesses différentes; c'est pourquoi il faut se contenter d'une snlufioii approchée, qu'on peut d'ailleurs rendre aussi exacte (ju'on voudra.
Au reste, comme l'usage de cette solution ne consisterait qu'à délerminoi l'instant précis du commencement ou de la lin de l'éclipsé, ce
qui est de peu d'importance dans l'Astronomie, nous ne nous y arrêterons pas.
34. Le but principal des observations des éclipses de Soleil étant de déterminer les différences de longitude des différents lieux de la Terre, et de corriger en même temps les éléments de la théorie lunaire, et les meilleures observations pour cet objet étant celles du commencement et de la fin de l'éclipsc, nous allons voir comment on y peut employer la formule précédente. Je la mets d'abord sous la forme suivante
+ Icost cosb— sin>.'J>) lancD
Lcosi> ^ J
= [sin^cosè — sin(y4 — P-^ 'P"*" [sine — sin(v4' — -jW,]-,
et j'observe que, l'instant de l'observation étant connu, ainsi que la latitude du lieu de l'observateur, on aura facilement, par les Tables proposées dans le n° 22, les valeurs des angles >.|, ;j.((J> — ^0 et v{'\i —*!']• pourvu qu'on connaisse seulement à peu près la longitude de ce lieu; car cette longitude n'entre dans les valeurs de X, fJL, v qu'autant (jue la longitude du Soleil A en dépend (22); et l'on sait qu'une différence de i8o degrés dans la longitude des lieux ne peut produire qu'environ 3o minutes de différence dans le lieu du Soleil, en sorte qu'une erreur de I degré sur la longitude n'en produira qu'une de lo secondes sur le lieu du Soleil, quantité de nulle considération, surtout dans l'évaluation des valeurs de )., p., v.
Si donc on regarde aussi comme connus par les Tables les demi-diamètres cl et D de la Lune et du Soleil, on aura une équation entre les angles t et h, ou plutôt entre leurs sinus et cosinus, t étant = longit.® — longit. ©, et Z» = latit. C à l'instant de l'observation; de sorte qu'en supposant connue par les Tables la latitude b, on trouvera la différence de longitude t, et de là, par les mouvements horaires, on aura l'instant de la conjonction.
Lorsqu'on a observé dans un même lieu le commencement et la tin de l'éclipsé, on a pour ces deux instants deux équations semblables à la VIL 57
précédente, clans lesquelles les angles Y) el d sont les mêmes. De là, en ailmottanl les mouvements lioraires des Tables, on pourra déduire les valeurs de t et de b pour l'une des observations.
Car soient a la diiïérence des mouvements horaires en longitude du Soleil et de la Lune, ^ le mouvement horaire en latitude de la Lune, ce mouvement étant supposé dirigé vers le pôle boréal, T la durée totale de l'éclipsé exprimée en heures et en décimales d'heure; il est visible que, si / et b sont les valeurs qui ont lieu pour le commencement de l'éclipsé, ces valeurs deviendront pour la fin ^ 4- aT et 6 -+- /3T. On fera donc ces substitutions dans l'équation qui se rapporte à la fin de l'éclipsé, et l'on aura ainsi deux équations entre / et h, par lesquelles on déterminera ces angles. De là on conclura que la conjonction sera
arrivée heures après l'instant du commencement de l'éclinse, et la
lalitude de la Lune, a l'instant de la conjonction, aura été = b — — •
Comparant les temps de la conjonction pour différents lieux de la Terre, on aura leur différence en longitude, el les latitudes trouvées serviront à corriger les cléments de la théorie de la Lune.
35. Dénotons, pour plus de simplicité, par/, g, h les valeurs des angles X|, p.(i{* — W), v(| — ^) pour le commencement de l'éclipsé, et par F, G, H leurs valeurs pour l'instant de la fin de l'éclipsé; les équations par où il faudra déterminer l et b seront
— -T- ■+- icos/cos^ — sin/'j tangD =: (sin/ cosb — sing-)' 4- [sinh — sin A i',
r^^ 4- [cos(< -+- al) cos(6 + PX) - sinF] langI)T
= [sini/-(-o:T)cos{/>4- (3T) — sinG |' -i-[sin(/> -h (3T) — siiiH ]•.
Comme tous les angles (]ui entrent dans ces formules sont toujours très-petits, on peut, pour une première approximation, mettre ces for-
nulles sous la forme suivante
[f/-i-(i-sinF)D]'=(< + aT-G)'+(6 + |3T-H;'.
Si l'on Ole la première de la seconde, on aura une équation oii / et b ne se trouveront qu'à la première dimension; donc si, par son moyen, on élimine b de la première, on aura une équation en i du second degré, laquelle aura par conséquent deux racines; ainsi l'on aura des valeurs de / et des valeurs correspondantes de b, qui satisferont également à la question envisagée analytiquement, et l'on ne pourra pas déterminer a priori lesquelles de ces valeurs il faut choisir; mais on pourra toujours le déterminer a posteriori, puisque la latitude b est déjà à tièspeu près connue par les Tables, cette latitude ne variant que très-peu dans l'intervalle de la durée d'une éclipse.
Ces dernières équations donneront, dans la plupart des cas, une exactitude sutfisante; mais, lorsqu'on voudra pousser cette exactitude plus loin et être assuré des secondes, il faudra emplover les premières, du moins pour corriger les valeurs trouvées de t et de b.
36. Passons maintenant à considérer les occultations des astres par la Lune. La seule différence qu'il y ait entre le calcul de ces phénomènes et celui des éclipses de Soleil est qu'ici la latitude de l'astre occulté n'est pas mille comme elle l'est pour le Soleil, ce (jui doit rendre les formules un peu moins simples.
On prendra donc A pour la longitude de l'astre occulté, B pour sa latitude supposée boréale, ¥ pour sa parallaxe horizontale, ou plus exactement pour sa plus grande parallaxe de hauteur (7), n pour sin't', D pour le demi-diamètre horizontal de l'astre, et les autres dénominations resteront les mêmes que ci-dessus. On trouvera ainsi la distance apparente 1' des deux astres, par les foriiuilcs générales du 11" 19.
Or nous avons fait voir ci-dessus (25 et suiv.) que. dans le cas de B = o, l'expression de tang^i' peut être beaucoup sim[ilifiée, en cou-
Vo2 SUR LE CALCUL DES ÉCLIPSES
servant toujours un degré de précision plus que suffisant pour les usages aslroii()ini(iU('s, et il est aisé do se convaincre que cette simplification dépend uniquement de ce que, dans le cas dont il s'agit, on a L = i, M = o, N = o, et que n est le sinus d'un angle de quelques secondes seulement. On aura donc le même avantage dans le cas présent, si l'on adopte les formules du n° 21, dans lesquelles on a aussi ]. = i, M = o, N = o; et, pour ce qui regarde la quantité II, il est clair qu'elle est nulle i)our les étoiles fixes; que, pour Jupiter et pour Saturne, elle est encore moindre que pour le Soleil; que, pour Mars, elle ne peut aller au delà du double, et qu'enfin pour Vénus cl Mercure elle ne peut guère différer de celle qui a lieu pour le Soleil, puisque les occultations de ces planètes ne peuvent être observées que lorsqu'elles approcbent de leurs plus grandes digressions.
37. De la et des n°' 21 et 29 je conclus qu'on aura, aux tierces près,
^ ^., v/[/« — (ro — II) u]' + [»— (ro — n) (y ces»— XsinB)]' ° /— cj{AcosB + vsinB) '
les quantités /, m, n étant
/ = cosH — 9.sin'- cosftcosB,
/>!=: sin/ cosh,
n ='sinM + 2sin' - cosZ» sinlJ,
où l> est la latitude de la Lune supposée boréale, a l'excès de sa latitude sur celle de l'astre occulté, c'est-à-dire i — B, et i l'excès de sa lonsiilude sur telle de l'astre.
De sorte qu'on aura, par la remarque du n° 23,
i/[sin^cos6 — sin(u-j' — pT)]'H- sinw-i-asin'-cosôsinB — cosBsin{v}— vT)-(-sinBsin(>.{' — "/M )
[igS'= ^ L ? 1,
COSH — 2sin'- cos/icosB — cosBsmW — sinB sinvl*
l'orninle qui a l'avantage d'être également exacte, quelle ipic soit la latitude de l'astre occulté.
SUJETTES AUX PARALLAXES. io3
38. Comme les angles t et u, ainsi que ij> et ¥, sont toujours assez petits, on pourra, par une première approximation', réduire l'équation précédente à celle-ci, dans laquelle s = ZcosB et / = à l'arc égal au
• rayon = 07° 17' 44"»
t /r^— — tangB — (.utlz-ulT) I -H «-i--^tangB — (vi — v <r)cosB + (■/,!- — AT) sinBl' I — cosBsin"/!' — sinBsinvJ
Comme, pour la Lune, la latitude B ne va guère qu'à environ 5 degrés, il est visible que les deux termes — tangB et — r tangB seront
toujours très-petits et pourront le plus souvent être négligés, du moins dans la première approximation. Au reste, quand on voudra être assuré des secondes, il faudra toujours avoir recours à la première formule.
39. Pour l'instant de l'immersion ou de l'émersion, on aura, par un calcul semblable à celui des n°^ 32 et 33, l'équation
V, T^ s\wd
Vans2 = langD -+- t-. ^ t. tt^ r'
" ° [/ — ûTi Acosb-f- vsinli ]cosl)
D étant le demi-diamètre horizontal de la Lune, et cl celui de l'astre occulté; de sorte qu'on aura l'équation
[•^^ — ; — h [wàii — 2sin'- cosi cosB — cosBsin/J — sinB sinv!. ) tangD cosU V 2 1 - S
-. [sin/cosii— sin(.^-^ — ,''''')]'-<- sinw-i-asin'-cosisinB — cosBsin(vY — vM ) -t-sinBsin().i~'''' )
qu'on peut réduire à cette formule approchée [r/ -+- ( I - ">.i cos B — v-;- sin B ) D]'
= r.ï— :^' tangB — («I — olT)! -h \n h- ~. tangB — (v^ - v M) cosB -+- (/i — >M) sinB | .
Ainsi l'on aura deux équations semblables, l'une pour l'imniorsion, l'autre pour l'émersion; d'où, en supposant les mouvements horaires connus, on pourra déterminer l'instant de la conjonction et la latitude de la Lune dans cet instant, par une méthode semblable à celle (|u'on
i5i SI K II: CALCIL l)i:S KCLll'SKS, KTC.
.1 ex|)li(|iU'i' plus IkiiiI M cl 35 , l'cLiliMinciil ;iu\ cdipscs de Sulfil; c'fsl sur (|iioi il ne ikhis parait pas iicccssaiir d Vu lier ici dans un nou- M'au dctail.
M). Pciur les cloilcs fixes, on a 4' = o et D = o, ce qui simplifie heauroup les loriiuilcs piccéilciilcs. En général, D est touJDurs Irès-pctil pour les plani'Ies, en sorte (in'on ne coniniettia (pTune ci'renr [)res(|ue inappicciahlc en prenant (sinr/+ langl)/ pour le premier membre de la |)ren)ièic c(|uation ci-dessus, ou(f/4-D)- pour le premier membre de ré(|n:ili(iM approciiée.
Les formules deviendraient encore plus simples s'il était question de roccullalion d'une étoile fix(! i)ar une planète; car alors, en prenant cette planète ii la place de la Lune, il l'sl clair (|uc la parallaxe i|/ serait Iri'S-pelitc, cl <iue le dcini-diami'trc liori/.oiital (/ le serait aussi.
il. Ou(iii|Uc je n'aie donné plus liant (|ue les i'ormulcs (pii se ra|)- (lorlenl au commencement cl à la fin de l'éclipsé ou aux instants des immersions et des émersions, c'est-a-dire aux instants des contacts extérieurs des limbes, il est lacilc d'en déduire celles qui doivent a\(iir lieu pour les contacts intérieurs; car il n'y aura pour ctda (ju'à prendre le demi-diami'lrc cl de l'asIic (icciilté négativement, comme il est facile de le déduire des rormules du n" 33.
Knfin, ([uoique j'aie toujours supjiosé, dans le cours de ce Mémoire, i|ue les latitudes, tant des lieux de l'observateur (]ue des astres observés, • •laienl bméales, il est vi>ible (|ue mes formules n'en sont pas moins générales, car il n'y aura (|u';i sup|)Oser les latitudes négatives lors(|u'elles •-eroni australes. De celle manière, on ne sera exposé à aucune ambi- ;:iuli' dans les silènes ni ii aucun embarras dans remploi des iormiiles.
