L UX

/ = cos(a — «) cos6 cosj3 + sin// sin[3,

/H=:sin(a — a) cosé,

H ^sini cos^ — cos(a — «) cos/'siii (3,

L =cos(A — a) cosBcos(3 + sinBsin(3,

M = sin(A — a.) cosB,

N = sinB cos(3 — cos(A — «) cosB sin(3,

?. = (cosO coso cosa -f- sin9cos9 cosw sin« -+- sinosinw sina) cos|3 -+- (sinç cosw — sinô COS9 sinco) sin(3,

\j. =sin9coso coscocosa + sinç sin&)COS.a — cosO cos^sina,

y = (sintp cosw — sinO cosy siiio)) cos(3

— (cosO coso coS3£ + sin0 coso cosw sina + sin<p sinto sina) sinp.

Dans CCS expressions, A est la loni;itU(lo d'un clos deux astres, (jue nous nommerons dorénavant le premier, lî est sa latitude, et II est le sinus de sa plus grande parallaxe de hauteur; de même, a est la longitude de l'autre astre, que nous nommerons le second, b sa lalilude, et v; le sinus de sa plus grande parallaxe d(^ hauteur; ensuite, w est l'obliquité de l'écliptique, 0 l'ascension droite du milieu du ciel au temps de l'observation, et 9 la latitude corrigée du lieu de l'observateur (7).

Enfin on se souviendra (jue les (juanlités précédentes sont telles que

/- + m'4- «'= I, L=4- ]M=-t- N'=: I, X' + p.'+ 1/'= I, ce qui peut être utile dans plusieurs occasions.

20. Comme dans les formules précédentes les angles a et /3 demeurent arbitraires, il s'agit maintenant de voir quelle valeur il convient de leur donner, pour qu'il en résulte la plus grande simplicité et commodité dans le calcul.

Et d'abord il est visible que ces formules se simplifieront beaucoup

en faisant /5 — o et a = A; car alors on aura, en supposant a — A = i,

l =zcoslcosl>, Hi =: siii/ cos/>, rt=sini, L=cosB, M = o, N=sinB,

À = cos9 C0S9 ces A -I- sinG coso coswsinA -+- sin9 sin&isinA, lj.= sin^cosç ces M cosA -f- siiKpsinwcosA — cosô ces 98111 A, V = sin9 coso — sin 0 COS9 sinw.

Ces suppositions consistent, comme l'on voit, h prendre le plan de projection perpendiculaire à l'écliptique et tangent au cercle de latitude du premier astre.

21. En second lieu, on aura aussi une grande simplification en gardant la supposition de a = A, et en faisant pareillement p = B au lieu de ^ = o; car par ce moyen on aura L =1, M = o, N = o; mais, en revanche, les valeurs de /, m, n et de )., p., v seront un peu plus compliquées.

Faisant donc a = A et |3 =: B, et supposant a — A = t, b — B = u, on aura

/ ^= cost cosB cosb H- sinB sini = cosh — asin' - cosB cosb,

w== sin/ cos^,

n = cosB sinl) — cos/ sin B ces ^' 1= s'inu -+- 2sin=- sinB ces/';

ensuite

Et, si l'on retient les valeurs de X, [j., v du numéro précédent, et qu'on désigne par X, [j., v les valeurs de ces (juanlilés qui ont lieu dans l'hypothèse présente, on aura

X = XcosB -t- V sinB, f^- — y-, v = vcosB — XsinB;

de sorte qu'il n'y aura qu'à mettre dans les expressions de P', Q', //. 7',

au lieu de >., v, les quantités X, v.

Vil. 55

Cette liypothèsc revient à supposer le plan de projcdion langent à la sphère dans le lieu dn premier astre.

22. Considérons maintenant les valeurs dos quantités 1, ij., v, d'où dépend tout l'elTet des parallaxes des astres; il est clair que, par les théorèmes connus, on peut réduire ces valeurs à de simples sinus et cosinus, et l'on trouvera, en changeant a. en A et ordonnant les termes par rapport à sinoj et cosw,

, SinWp ,. , ,, ,, H-COSr,)r /„ » \ m t >-l

/ = [cos(A — 9) — cos(A-+-(p)]+- -r — [cos((5 — A + 9)4-Gos(0 — A — 9)J

I — COS r,)

[ces (0 + A — 9) -f CCS (9 + A + 9)],

u= [sin(A — 9) — sin(A + 9)]H [sin(Q — A4-9) + sin(0 — A — 9)]

[sin((9-f-A — 9)-i-sin(ô + A + 9l],

SinOJ r ■ ,r ^ .A x-i

V = Lsin(c/-)-9) + sin(9 — 9)J-+-cosf.)sni9.

(]ommc l'obliiiuité de ré('lipti(|Uo r» est à très-peu [)rès constante, on voit (ju'il est facile de réduire it^s valeurs précédentes en Tables, et pour cela il n'y aura qu'à construire quatre Tables, dont la première

donne les valeurs de '■ sinV, pour tous les degrés et les minutes

<le V, depuis zéro jusqu'à 90 degrés; la seconde donne de même les

, , i-+-rosf.i . . . . , ,, , I — rosM . .. valeurs de — , sinV; la troisième donne celles de sinV,

et enfin la quatrième donne les valeurs de cosojsinV; et il est visible que, pour avoir cette quatrième Table, il n'y aura qu'à soustraire les nombres de la troisième de ceux de la seconde, et doubler ensuite les différences.

Ces Tables, une fois construites, serviront pour trouver les valeurs de )., IJ., V pour un temps quelcon(iue et pour un lieu quelconque de . la Terre.

Pour cet efTet, on prendra dans la première Table, pour p., les arguments 9 — A et 180° — y — A; pour X, leurs compléments à 90 degrés, et pour V, les arguments 9 — ô et 180" + (p -{- 9; dans la seconde Tal)]e, on prendra pour p. les arguments S — A 4- y et (5 — A — ç; pour X, leurs compléments à 90 degrés; dans la troisième Table, on prendra pour [j. les arguments ç; — A — 6 et 36o° — o — A — 5; pour >., leurs compléments à 90 degrés; enfin, dans la quatrième Table, on prendra pour V l'argument 0.

Ajoutant ensemble les différents nombres qui répondent à ces arguments, on aura sur-le-champ les valeurs des quantités 1, p., v.

Pour rendre ces Tables d'un usage aussi général qu'il est possible, il sera bon de les calculer pour l'obliquité moyenne 2!^"28', et d'y ajouter ensuite les différences pour la variation d'une minute dans l'obliquité w. Ces différences sont très-faciles à trouver, d'après les Tables mêmes; car, à cause de ds'mui — cosw cIm et dcosa^ — sinw cIm, il est visible que, pour avoir les différences de la première Table, il n'y aura qu'à prendre la moitié des nombres de la quatrième, et à les multiplier par sini'; pour avoir celles de la seconde Table, on prendra la moitié des nombres de la première et on les multipliera par sin 1'; pour avoir celles de la troisième Table, on prendra les différences de la seconde avec des signes contraires; enfin, pour avoir les différences de la quatrième Table, il n'y aura qu'à prendre le double des nombres de la première, et à les multiplier aussi par sin i'.

23. Je remarque, de plus, que, comme les quantités )., ij., v doivent être multipliées par zû ou H, si l'on l'ail m = sini|; et H = sin^', en sorte que <\i et W soient les angles des plus grandes parallaxes des deux astres, on aura à calculer les quantités

}. sini]', f/siinj', vsini}', <H /siii4'^, fxsinM'^, vsin^I';

or la plus grande de toutes les parallaxes des astres étant celle de la Lune, qui ne va qu'à environ i degré, et la plus grande valeur de X, (j., V étant 1, à cause de X- -f- |li.- + v- = i , je dis qu'on pourra, sans

iMTciir scnsil)li\ changer les quaiUilés précédentes en

• sinî.ij', sincA'];, sinv.}^, sinXM'', siiiaV, sinvM''.

Kn elTct, la diiïércnee entre ). siii'^ cl sinXi est nulle lorsque X = o et /. = I ; donc cette différence sera la plus grande pour une valeur de X moindre que i. Or, lorsque <^ est i degré, on a à très-peu près

Àsin'l =/((]/ ^1 el sin).4' = XiJj — ^;-^:, donc la différence de ces

deux quantités sera à très-peu près -^ ,- ({'% laquelle devient la plus

grande lorsque 1 = -zz- Or, en faisant i}/ = i" et l=—zi je trouve

Xsin'J> = sin3.V38",47, et l^ = 34'38",.46; d'où l'on voit que la différence des deux angles n'est que d'un centième de seconde dans le cas où elle est le plus grande.

(>ette remarque fournit un moyen de faciliter beaucoup la construction et l'usage des Tables que nous avons proposées; car, comme on n'a besoin que des angles X]/, wl, v(|>, où '} n'est guère >> i", j'observe que, si l'on construit les Tables dont il s'agit en sorte qu'elles donnent [)Our tous les angles V les valeurs des (juantités

sin'.) . ,. (H- cosr.) . ,,

smVXi", -, -sinYXi",

I — ces M . ,. • Tr „

7 smVxi , Cl cos&)smVxi ,

en degrés, minutes, secondes, etc., on aura sur-le-champ, d'après ces Tables, les valeurs des angles l<\i, [j.'^i, v^j^, lorsque '|i = i°; et de là, en changeant seulement dans ces valeurs les degrés en minutes, les minutes en secondes, etc., on aura la valeur des mêmes angles pour ({/= i'; de même, en changeant dans les premières valeurs les degrés en secondes, etc., on aura les valeurs des angles dont il s'agit pour | = >". et ainsi de suite; d'où il sera possible d'avoir les véritables valeurs de X'i^, ;j.'}, v'i/, pour une valeur quelconque de ij^'^'xprimée en degrés, minutes et secondes.

A l'égard des difTércnccs correspondantes à une minute de; vanalioa dans l'obliquité w de l'éclipliquc, il sera aussi beaucoup plus facile de les trouver dans les Tables que nous venons de proposer, que dans les premières; car, puisque i"x sinr= i",o5, il est clair que, pour avoir les différences de la première Table, il n'y aura qu'à prendre la moitié des nombres de la quatrième Table, en y cbangeant les degrés en secondes, et ainsi du reste.

Par les Tables dont il s'agit, on trouvera donc avec la plus grande facilité les valeurs des angles

et les sinus de ces angles seront les valeurs de

ro?i, nry., my. II)., Il y., IIv qui entrent dans les expressions de/?', q' , P , Q' (19).

Article III. — Usage des méthodes précédentes pour ealvuler les éclipses de Soleil, les passages des planètes sur son disque, les occultations des étoiles fixes et des planètes par la Lune, et pour déduire des observations de ces phénomènes les élénwnts des planètes.

24. Rien ne doit maintenant être plus facile que d'appliquer les formules et les métbodes des Articles précédents à la solution des différentes questions astronomiques qui dépendent de la parallaxe. Les principales questions de ce genre sont celles qui concernent les éclipses de Soleil, les passages de Vénus et de Mercure sur son disque, et les occultations des étoiles fixes et des planètes par la Lune : c'est aussi à la discussion de ces sortes de questions que nous destinons principalement cet Article.

Comme dans toutes ces questions on n'a communément d'autre but que de déterminer la distance apparente des deux astres qui passent

liès-pirs l'un di' l'aiilre, nous supposerons, en général, que lo premier astre soit celui qui est le plus éloigné de la Terre, et que le setond soit celui qui en est le plus près; ainsi A, B, Il désigneront toujours la louiiitude, la latitude et le sinus de la parallaxe horizontale, ou, plus exacten)ent, de la plus grande parallaxe de hauteur de l'astre le plus éloii^né, et a, b, rs désigneront la longitude, la latitude et le sinus de la parallaxe horizontale de l'astre le plus proche de la Terre; les autres dénominations demeureront les mêmes que dans les Articles précédents.

Considérons d'ahord le cas d'une éclipse de Soleil ou d'un passage sur son disque; A sera donc la longitude du Soleil, B sera = o, et n sera le sinus de la parallaxe horizontale du Soleil, en sorte que n = sin8"|^. Ensuite a sera la longitude de la Lune ou de la plani-te, b leur latitude, et rs le sinus de leur parallaxe horizontale.

Dans ce cas, il est clair que, a cause de B = o, les formules des n"* 20 cl 21 reviennent au même, et l'on aura «l'abord, par ces formules, L = 1, M = o, N = o, ce qui donnera (19)

en sorte (jue ces (juantités seront nécessairement très-petites.

Cette circonstance nous met dans le cas de simplifier l'expression de tangS', en y négligeant dilférents termes comme absolument insensibles; mais, pour que celte omission ne nuise pas à la précision re- (|uise, il faut examiner a priori quelle est la plus grande erreur qui eu peut résulter.

25. Pour cela, nous commencerons par mettre l'expression de tangl' du n" 19 sous une forme un peu plus simple, que voici. 11 est clair «jue

P>'-f- QV/=: P" -)- Q"-t- P'(/»'- P') -f- Q'[q'- Q' j ;

de sorte que, à cause de

[Q' y- r') - P'(9'- 0'!? + [P';/»'- P') + Q'iq'-Q' Y

si l'on fiiit, pour abrégei',

v/(/»'— P')'-i- (ç'— Q')' = tango-, P'(/>'-P') + Q'(î' — Q') '' '

vP^+g-=/, on aura

p'Q — g' P'=/tang7sini, i-i- î*'p'-{- Q' q'-= i+/lang5-coss 4-/-,

et l'expression de tang2' deviendra

, tango-. i + /'^sin-i

1 H-/COSS tango- -+-/'

Si P' et Q' étaient nuls, on aurait /= o; donc tang2'= tanga el 1'= 7. Donc, lorsque P' et Q' sont seulement très-petits, l'angle 1' différera de l'angle cr d'une quantité du même ordre.

Pour trouver cette différence, nous nous servirons des formules que nous avons données dans notre Mémoire sur la solution de quelques Problèmes, etc., imprimé parmi ceux de Berlin pour l'année 177O (*). Dans ce Mémoire, nous avons trouvé (31) que, si l'on a l'équation

asinr-+- i cosr alansy-hb

langx- = ■- : — — = î

cos}- -h psl\^r i-i-piangj-

et qu'on fasse

— -f=langa, — 4^=tang(3, -î^ '- ^ f^

^[i+aY+{b-p]'

(*) OEiwres de Lagrangc, I. IV, p. •>.i)~.

011 uur:i

.r=y-^-x-Ks\n(1r'h3. — '[i)-^- — s\n2(1y-^-u. — p)- — siR3{^XJ■-t-x-^i)-^-...■ Applniiiaiil cela à notre cas, on fera

a = - '^, ' P=\ fi' b — Q,

(le sorlc qu'on aura

2'= o--4-a — Ksin,2ff4-a — pH siii ?. ;27 -I- a — p ; — ...

Or il est visible, par l'équation entre tang:L' et tango-, que 2' = o lorsque c = o; donc on aura alors

a — Ksin^a — pj-+- — Sina^a — p, — . . . = o.

Substituant donc cette valeur de a dans la formule précédente et faisant, pour plus de simplicité, a — [i = y, on aura

ï'= -7 — 2Ksin7C0s(7-i-v)H sin2TC0S2(7-H7) y- sin 3 «7 cos 3 ( t -<- y ) -t-

Oi', a cause de b = o, on aura

langy = lang;5< — (3) = —

I — a'— p' ce (jui, en substituant les valeurs de a dp et réduisant, donne