D'APRÈS LES OBSERVATIONS

[Connaissance des Temps ou des Mouvements célestes, à P usage des Astronomes et des Navigateurs, pour l'an 1821; publiée par le Bureau des Longitudes. — 1818.)

1. Les inétliodos que l'on a proposées jusqu'ici poui- déterminer l'oibite des comètes, d'après les observations, ne demandent que trois lieux géocentriqucs observés avec les intervalles de temps entre les Irois observations, mais supposent en même temps que l'orbite de la comète est une parabole. Or, d'un côté, il est très-rare qu'on n'ait que trois observations d'une comète, et, de l'autre, l'exemple de la comète de 1770 prouve assez qu'on ne saurait adopter généialement l'bypntbèse de l'orbite paraboliciue. Ces considérations, jointes aux dillic iiités des méthodes qui n'emploient que trois observations, m'ont engagé à examiner si, en faisant usage d'un plus grand nombre d'observations, on ne pourrait pas faciliter et généraliser la solution du Pi'oblèmc des comètes, et j'ai trouvé la mélbode suivante, qui, au moyen de six observations, réduit la recherche des éléments de l'orbite, quelle qu'elle soit, à une simple équation-du septième degré.

(*) Lu à l'Acadômie do Berlin, le 24 février 1780, et imprimé en allemand dans les Epliéméridrs de Berlin de 178'i.

•,7(( MU VKI.I.I-: Ml.rilODK

•1. Sii'ii'iil. dans une (ilisi'r\aliiui <[ut'l('(ui<iui', i; la loiii^iliidc i;t'(ici'iitriiiiu' ili- la l'oiiièlf, /i sa latilmle gfOC('nlri(|iU' supuosoc boiralo ((tu |iii'ii(lra l'angU' // iirgalil' lorsciiic la latiliido sera australe:, 5 la longitude dii Soleil, et /■ la distance du Stdeil ;i la Terre : ces qiialre (|iianlilés Miut connues et doivent être prises |)our les données du Piobli'nie.

(Ju'on nomme mainlenaiil /, ///, n les trois coocdonnées rectangles ([ui déterminent le lieu apparent ou géoccnlii(iuc de la comele, / étant l'aliseisse prise depuis le centre de la Terre et [)arallélc ii la ligne de ré(|uino\e du printemps, ni r(udonnée perpendiculaire ii /, dans le plan de l'tu lipli(|ue, et // la seconde oi'dounéc! perpendiculaire au plan même lie l'éclipliiiue; on aura, jtar la Trigonométrie, en désignant par o la ilistance ine(Hiuue de la comi'te ii la Ferre,

/ — 0 cos/( cosi,'', /» -=- ô cos/( sin^', // osiri//,

r|, ^i l'oti nomme de plus y; et </ l'altscisse et l'ordonnée du lieu du Soleil, on aura de même

p /Tos.v, q -■ /'sins.

Kuliu, si l'on nomme .v, y, z les coordonnées rectangles du lieu liélio- ( eutrii|ne de la comi-te, c'est-a-dire x l'ahscisse prise depuis le centre (in Soleil, et paralii'le a la ligne de ré(prmo\e du printen)ps, y l'ordonnée perpendiculaire à .r dans le plan de récli|)tii|ue, cl r l^udonnée perpendiculaire au plan même de réclipti(|ue, en soi'te (jue les lignes r. y, :; soient respeclivemeiil paiallides aux lignes/. ///, n , il est aisé de comprendre (|ue l'on aura

don(

.r o (OS h cosg- — /• COS5,

r ô rns/i siiii,' - /'sin.?,

: - '} si II A.

.'J. SoienI maiutenani y la loiii^ihule du no'ud ascendanl de l'iuhite de la (oniele. el r, riiiclinaison du plan de c(;lle orbite sur le plan de

POUR DÉTERMINER LORBITE DES COMÈTES. Til

l'écliplique, cet angle -o étant censé formé dans la partie orientale et boréale de la sphère. L'équation générale du [)lau de l'orbite de la comète sera de celte forme

z = tang-/i cos •/.>• — lang-/; siny .x, ,

ou bien, en faisant, pour plus de simplicité, lang/j siny = et, lang-/î cosy = ^,

C'est ce qui est assez connu par la théorie des courbes.

4. Qu'on substitue donc dans l'équation précédente, pour .r, y, z, leurs valeurs trouvées plus haut (2,, on aura celle-ci

ôsin/i = ^ôcos/i sing — p/'sin* — xo ces A cosg -f- xrcoss ,

d'où l'on tire

Cf. coss — 3 sin*

siii/( + s. cos/i cosg— (5 cos/jsiiiy

mettant celte valeur dans les mêmes expressions, de x, y, z, et divisant le haut et le bas de chacune de ces expressions par cosh, on aura

(3sin(g- — s] — tang// cosi

tang/t -+- a cosg-— (âsing-

!3:sin(g- — s] — langAsiiii

•^ laiig/i -i- a cosg-— (3 sing- '

a lang/icosi — (3 tangA sin*

laiig/i + a cosg — (3 sing

Dans ces expressions il n'y a, comme l'on voit, d'inconnues (|uc les deux quantités a et (i, qui dépendent de la position du plan de l'orbite de la comète sur l'écliplique.

5. Supposons (|uç, dans une auti'e observation, les quantiles g, h, r.

:-j Ni)i \ i:i.LK MKTiioni-:

.r, V, r ilc\ U'iiiit'iit i,' , h \ r , s', u' , y', :■' ; on ailla do mciiie

, , 3sinii;' — s'i — tnnpiA'ros*' l;iiig //'-(- acos^'' — .bbiiii,»'

, ,3!sin f;' — s" — iin<;/i' sins' liiiif;/i + a cosg' — psiiig'

, , X U\n'^/i' ross' — Slanp//' sin.î'

luiii;/i'+ a cusg' — (bsiiii,''

tl, si l'iiii >iib.sliliiu les valeur.-- |irctf(lc'nlL's de -r, y, a:', y' dans rexjiit's- .-imi y'.r — .v'y, on Iromera la (luaiitité

G y. — 11 î -+- luiii,'//' iniiL'/) sin s' — «'

laiiy/i +y.cos^' — psui^ I laiig« + a cos^' — lisiii^»-;

m rai.-aiil, pour abréger,

<i iniij,'//' cosi' sin ^' — .ï - lany // ces* sin I ^''— .?' , Il - t;ui !,'/(' si 11 5' sin ; i,' — s — laii^'// si 11 5 sin ^^' - s' .

ti. (Ir il csL facile de se convaincre, pai- la (li'oinélrie, (|ne -

esl égale il l'aire du triangle (|ui est la piojeelioii sur l'éclipliiiue du liiaugle loiiné dans le plan de l'orliile de la coini^lc par les deux rayons \eileuis menés du Soleil aux deux lieux ojjsoi'vés, el par la corde recliligne (|ni jnini ces deux lieux el (jui sous-lend, par conséijiieni, l'arc parcouru dans rintei'vallc des deux idjservalions; de pins, si l'on injniine A l'aire de ce dernier triangle, on [)ronvera aiseineiil, par la

Geoinétiie, (|ue A : ; ^^- = 1 '. cos/;, r, étant rinclinaison du plan

di- l'orl/ite sur celui de recliptii|ue (3y, de sorte (ju'on aura

la II g/] :^ \i'Cl'-\- ^',

POUR UÉTEUMINEIl L'ORBITE DES COMÈTES. !*ri

et par conséquent

doue on aura, après les substitutions.

. [Ga — H3 + tarig/)' langA sin 5' — s ] rr' y/ 1 + a' -+- (3^

~ 2(iangA -1- xcosg'— ^sing' ) (laug/t + xcosg — p sin^

7. Or, comme s est la longitude du Soleil dans le temps de la première observation, et s' sa longitude dans le temps de la seconde observation, il s'ensuit que s' — s sera l'angle décrit par le Soleil autour de la Terre, ou, ce qui revient au même, l'angle décrit par la Terre autour du Soleil, dans l'intervalle des deux observations; mais r est la distance de la Terre au Soleil dans la première observation, et r' la distance de la Terre au Soleil dans la seconde observation; donc l'aire du triangle, formé au centre du Soleil par les deux rayons vecteurs /•, r', et par la corde de l'arc parcouru par la Terre dans l'intervalle des deux obser-

/•;•' sin [s' — s] . . , . , , vations, sera exprimée par ^ ? ainsi qu on le démontre en

(jéométrie.

Donc le rapport de l'aire triangulaire A, décrite par la comète dans

l'intervalle des deux observations, à l'aire triangulaire décrite par la

Terre dans le même temps, sera exprimé par — r-^r-, > c'est-à-dire,

' * » ;•;• sin(i —5)

en substituant la valeur ci-dessus de A, et faisant

tangA'cosi'sin(^ — s] — tang/j cosssin(g-'— s')

siin*' — s)

tang/i' sin 5' sin; g' — 5! — lang/t siiusiii ^g-' — s')

sin (s — sj par la formule

ftang/( tang/i'-t- Aa — B^) v i -t-oM-p'

(taiig/t -+- acosg-— [3 si 11 g- 1 (laiigA'H- a cosg-'— ^sing-')

8. Je remarque maintenant ([ue, si l'intervalle entre les deux obser- VII. 60

iTi N(U Vi;i.i.i: MKiiioDi:

\.iH'iii> oxt lori [iiiil. lis :iiis |nU((Uiius |i;ir la luiuolc cl |iar la Te'i'rc atiliuir (lu Sdlcil se coiUi'iiilioiil ;i lii's-pcii pit-s avec leurs cordes, et |iar ciuive |îicMl les secteurs triangulaii'es, iloiit nous venons de délerniiiii r le ra|)|Hirt. [iiuirronl être pris, sans erreur sensible, [iDur les vérilahles >eeteurs curvilii^nes décrits |)ai' la comète et par la Tj-rre. Or on sait, pai' la lli<'iu'ie des l'oices centrales, iiue, dans les sections coniciues di'ci-iies aiiloui' d'un même foyer et |)ar une même foice, i|ui varie dans la i-aiMiii iuver>e du carré des ilislances, les aires des secteurs décrits dan> le même tem|is sont entie elles connne les racines carrées des parami'tres des secliiMis; donc, si l'on nomme - le demi-païamèlre de relli|(se décrite par la comète autour du Soleil, et II le dcmi-païamèlre de l'orliilc de la Terre. (|ui est à tr('S-|ieu pii's égal à la distance moyenne du Soleil, on auia. dans l'iix pothi'se ^\nv les deux observations soient très-proclies, l'ciiualion

lan^'/i lanir/i -- Va — n 3 / bj

i.iiii;// — xcosi:^— -isiiig- lang/i -+- acoSj"' — iSsiii^i,"' i "~ V ,i -i- a- + (â'ili'

laipielle sera d'autant plus exacte (|ue l'inlei valle enlri' les deux observation-, seia idir- iietil.

'.I. l.'cqn;iiion |)récedenle contient, comme l'on voit, trois inconnues z. S et -; ainsi il faudra trois éi|uations semlilables pour déterminer ces inciminn's. et. comme le second membre demeure le même, on éliminera d'aboril l'imonnue S7 en retranchant simpleuu'nt une é(jnation de l'iiuiie, et l'on aura deux é(iuations entie les deux inconnues a et /3, dans lesi|nelles ces inconnues ne monteront (|u'au troisième degré; en siirti- i|Mc rei|Uation linale en a ou i ne pourra surpasser le neuvième dr^'ri'. Ayant trouvé les valeurs de y. cl [j, on connaîtra d'abord la po- .vilion du plan de l'orbite de la coini-tc '31; ensuite l'une des trois éqnalion> doiuM-ra la vibur du parami-tre -, et l'on déterminera les autres 'li-menls |iai' les metbodes connues.

(.ette meilidde demande donc six (d)servations de la comi'te, faites de manière ipie Ils intervalles de temps, entre la première et la seconde.

l'Ol U DÉTERMINER L'ORBITE DES COMÈTES. 175

entre la troisième et la quatrième, entre la cinquième et la sixième, soient très-petits; mais, pour les intervalles entre la seconde et la troisième, et entre la quatrième et la cinquième, ils peuvent être quelconques, et il sera mémo avantageux de les prendre le plus grands que l'on pourra, afin que les trois écjuations soient le plus différentes qu'il est possible.

10. En prenant, comme nous le supposons, les secteurs triangulaires à la place des véritables secteurs curvilignes décrits par la comète et par la Terre, dans l'intervalle des deux observations, on néglige les segnienls formés par les arcs parcourus par la comète et par la Terre et par les cordes qui sous-tendent ces arcs; or, quand les arcs sont très-petits du premier ordre, les secteurs sont aussi très-petits du même ordre; mais les segments deviennent très-petits du troisième ordre, parce que les cordes sont très-petites du premier ordre, et que les flèches sont très-petites du second ordre. Donc, dans cette hypothèse, le rapport des secteurs triangulaires de la comète et de la Terre ne diffère du rapport des secteurs curvilignes que par des quantités du second ordre seulement; par conséquent, dans l'équation trouvée plus haut (8 , le premier membre sera exact, aux quantités très-petites du second ordre près, en regardant les différences des quantités qui se rapportent aux deux observations comme très-petites du premier ordre; ainsi l'on pourra, sans altérer l'exactitude de l'équation dont il s'agit, négliger, dans son premier membre, les quantités dans lesquelles les arcs trèspetits s' — s, g' — g, h'— h formeraient des produits de deux ou d'un plus grand nombre de dimensions.

Cette remarque peut servir à rendre l'équation dont nous venons de parler un peu plus simple. En effet, il est clair (|u'ou peut mettre la quantité tangA -t- a cos^ — jS ?>\{\g sous cette forme

tang/j'-t- tang/( s'-^S fi' — Si c ■ fl'-^ff /?'—.■? — 2 — 1 jt cos 5 — » ces 5 s — ^ sin cos 2 5.

— ï! ^^ — h X siii ^ sm5 ^ -+- 13 cos :

iTc. Noi VF.Li.i: mktiioih:

M (le iiitMiie l;i (]iiaiitili' t;ini;// 4- acosi;'— fi ^\n fi' sons la loriiu

'^T'^ ,.r.c fî ?1

- [3 sin ?^ co

laiii:/! — lanir/i

^— ■? sin ^^ ^ — (3 cos ^^-^ sin ^-^^

sorti' ipir Ir |iiinluil de ces deux (iiiaïUilrs dcvicndi [ laUL'/' 4- laiif;/»

: cos ^^ ^ — P sin

laiif,'/;' — lailg/;

+ (3 cos '2-;-—

expression iiiii, <'ii négliLÇoaiil les (]uaiilités lii's-pclilcs du second ordre, se lediiil à celle-ci

lant,'/('lanfr//

— Hsin ■- »

(lu'on pourra donc suli>tiluer ii la place du deuomiiialeur du premier membre de ri-qualion du n" S.

On pourrait l'aire de |)areilles réductions sur le iniméraleur du premier memi)rc de la nièuK! é(|ualion; mais je me suis assuré parle calcul ipic les valeuis de A et 15 n'en devieudraienl pas plus sim|il(>s.

11. lieleiiaiit donc les expiessious des cocllicieiits A et B, données dans le n" 7, et Taisant dr plus

f. lani,'/i uni;/; , rt = cos " " , /» r= sm ^ ^i c= — 2)

ri'ijualiou du 11" S deviendra

■\a-Bi3-i-C r~ 57 3~^

'•I cliarpie coupli; d'observations de la conàie, dont l'intervalle soit très-