LEÇON HUITIÈME

ni' DKVF.LOPPEMEYr DES FONCTIONS LOP.SOr ON DONNE A I.A VAniAr.l.E UNE VALElIl DÉTERMINÉE. CAS DANS I,ESOlT,LS LA UÉCLE f.ÉNÉRALE EST EN DEFALT. ANALYSE DE CES CAS. DES VALEURS DES FRACTIONS DONT LE NUMERATEUR ET LE DÉNO- MINATEUR s'évanouissent a LA FOIS.

La théorie dos fonctions dérivées est fondée sur le développement des fonctions lorsqu'on attribue à une variable un accroissement indélerminé. Nous avons montré dans la Leçon II que ce développement ne peut contenir que des puissances entières et positives de la quantité dont la variable est augmentée, tant que cette variable demeure indéterminée, et nous avons ensuite déduit de cette forme les lois de la dérivation des fonctions. Il est donc nécessaire, avant d'aller plus loin, d'examiner les cas où elle pourrait se troLiver en défaut, et les consé- (juences qui en résulteraient relativement aux fonctions dérivées.

Nous avons vu, dans la même Leçon, que la série du développement de/fr-ht) ne peut contenir de puissances négatives de î, à moins (jue l'on aity'(^) = à l'infini, parce que, en supposant i — o, les termes qui contiendraient de pareilles puissances deviendraient infinis. On peut prouver de la même manière que la série ne pourra contenir aucun terme multiplié par log/ou par une puissance positive quelconque de log/, si la même condition n'a lieu, ces sortes de termes devenant également infinis lorsque i = o. Or cette condition exige que la variable ,xail une valeui- déterminée, qu'on trouvera par la résolution di; l'équation

/(x) — -, ou

Soil donc a iiiic racine de riMinalion -irr^-, = o, de iiianii'rc que l'on ait

F(.r) élanl une loiiclion de r (jni ne devienne ni nulle ni intinie, loi'squc .!• = «, cl m élanl un n()nd)re posiliC (|U(dcoiH|ne. l'iii niellani .r -4- i\\ la place de x, cl faisant >»• r/, ou aui*a

où l'on voit (jue la série du dé\ (d()[)|)enienl ^X^' f[.r -\- i) aui'a dans ce cas des termes de la l'orme -^i -^ — -^ •••-

f m i tti I

Considérons mainleiianl les cas (ui c<' développeiiienl |K)urrait coulenir des puissances positives, ujais rractionuaires de /. La démonstralioii, (|ue nous avons donnée pour prouver l'absence de ces sortes de teruH's, est l'ondée sur ce (|ue ces termes augmenteraient le nombre des radicaux dans le développement deyf.r -f- i), tandis qu'il est évident que cette fonction ne peut contenir que les mêmes radicaux que la fonction/(.r), tant que x est supposé une (juantité (juelconque indéterminée. Mais cette démonstration cesse d'avoir lieu lorsqu'on donne ii r uiu' valeur déterminée telle qu'elle fasse disparaître un radical dans /(.r), car alors ce radical pourra être remplacé par un radical de / dans le développement de/(.r-i-«). En elTet, supposons (pu- la fonction /" x )

contienm' un i-adical (|ui s'évanouisse lors(jue ^ = «, t(d ([ue ; .r — «;", ni et II étant des nombres entiers; la fonction /^^ -h /) coulieudra le

radical coi'respomlant (.r — a-f-«)", leciuid, eu faisant x~ a, devient

/"; de soi'fe que le dév(doppement de cette fonction suivant les puis-

sauces de / pourra contenir le radical /" et toutes ses puissances eutii'res et positives.

Cette conclusion n'aurait pas lieu si la valeur particulii-re de t n'anéantissait pas le radical, mais le faisait seulement dispaiaitre en

rciKhiiit nulle une quantité par laquelle il serait multiplié. Car, quoique If radical puisse disparaître de cette manière de la fonction /(a.-), il pourrait ne pas disparaître dans les fonctions dérivées/'(a:'),/"(^-)' •••' (|ui entrent dans le développement de y\a:^^-t-/), et alors la démonstration conserverait toute sa force. Ainsi, si un radical de la fonction/(a;) se trouvait multiplié par {x - a)"\ m étant un nombre entier positif, ce radical y disparaîtrait lorsquea; = rt; mais, dans la fonction/(.r + /), il serait multiplié par [x — a + i)'", et, dans le cas de ^ = a, il léserait par i'". Donc, dans le développement de cette fonction, il ne pourrait |);(raitrc alors avant le terme qui contiendrait la puissance /'"; par conséquent il disparaîtrait des fonctions dérivées/'(j7),/"(^), ..., jusqu'à p"'-^^œ, mais reparaîtrait dans les fonctions dérivées des ordres suivants; de sorte que le développement de /(x+ «) contiendrait toujours dans ce cas le même radical. Il n'y a donc que le cas où le radical est détruit dans la fonction/(a?) par une valeur particulière de x, dans lequel le développement de/{x-hi) doive contenir des radicaux de /, et il reste maintenant à voir comment on ])ourra juger que cela doive avoir lieu.

Pour cela, j'observe que les ïonvi\ons/'(x-{- i). f"(.x-\-i), ... sont également les fonctions dérivées de/{x^i), soit qu'on les prenne relativement à X, soit qu'on les prenne relativement à i, ce qui est évident, puiscju'en augmentant soit^, soit « d'une même quantité quelconque, on a le même accroissement de la quantité oc -h i. D'où il suit que l'on aura également les valeurs def{x),/"{x), . . ., quel que soit x, en prenant les fonctions dérivées successives de /{x + i) relativement à i, et faisant ensuite î= o.

Or, si Ton suppose que le développement de/(x-hi) doive contenir, lorsque x = a, un terme affecté de i'", tel que Ai'", A étant une fonction de a, et m n'étant pas un nombre entier positif, en prenant les fonctions dérivées relativement à /, il faudra que les développements des

fonctions

contiennent les termes

Donc, l'iiisanl ( =- o, (iii cii coiicliiiii (jnc les loiiclioiis /' .i- , f i , f"{oc), . . ., l<)i'S(jue j:" — rt, coiiliciKlioiil i('S|K'c(iv('iiiriil les Icniics

Si m csl lin iiomltrc (jiiciconqiic iiriialir, il est (.hiir (juc ces Iciiiics sci'oiil intinis.

Si //i csl 1111 11 OUI lire posilil" non en lier, Soit // le nom lue en lier i m im''- «li;ilrni('nl pins ;4r;iii(l (|ni' ///, il est visiMc (|ii(' le Ininc

in{ni — i] . . .[m — /i ■+■ i) A o"'-"

sci'a infini ainsi (jno tous les snivanis, et (jih' tous les précédents seront unis. D'où il suit (|ne les fonctions dérivées de l'ordi'c n"""' cl ilcs ordres suivants deviendront infinies lorsque x:=a.

Dans ce cas donc, si n est l'indice de l'ordre de la première l'onction (jui devient infinie, le développement dey'(.2; + i) devra contenir un lernie de forme /'", m étant un nombre compris entre n — i et n.

Si /^ = o, c'est-;i-dire si la fonction /"(.%•) devient elle-même intiiiie, ce développement contiendra alors des puissances de i.

On doit appliquer aux logarithmes ce qu'on vient de démontrer sur les puissances fractionnaires de i; car on a vu, à la fin de la Leçon IV, que les logarithmes répondent aux puissances fractionnaires dont l'exposant est infiniment petit, c'est-à-dire aux racines infinitièmes, et que c'est par cette raison qu'il y a toujours une infinité de logarithmes répondant à un même nombre.

Aussi, par la même raison, lorsqu'on résout une fonction en série suivant les puissances d'une même quantité, il peut se tronver (pielquefois le logaritbme de cette quantité entre les puissances positives et les puissances négatives de la même quantité, lorscjue la l'onction elle-même contient des logarithmes.

Ainsi, si la fonction/(a;) contient des logarithmes, le développement de/(.T-+-/; pourra contenir, dans le cas particulier de .r =^ a, des termes de la forme ?'"'(log/)", et les fonctions dérivées /'(.r -+-/).

/"{x-\-i), ... contiendront alors des termes de la forme

/w-i ^ logij" el /'" ^ log/ 1" ' , de la forme

et ainsi de suite. Or, l()rs(nie i~o, log/ est infini, et toute quantité de la forme «"'(log/)" est nulle ou infinie suivant que m est un nombre positif ou négatif, quel que soit 71. Donc, puisque dans les termes des fonctions dérivées

les exposants des puissances de i qui multiplient les puissances de logf vont nécessairement en diminuant, il s'ensuit que, dès qu'une de ces fonctions deviendra infinie paria position de.r = rt, toutes les autres des ordres suivants deviendront infinies aussi.

On peut donc conclure en général que le développement

de la fonction /(a.-]-/:') ne peut devenir fautif pour une valeur déterminée de X, qu'autant qu'une des fondions /(a;), /'(jt), /"(a? j, ... deviendra infinie en donnant à x cette valeur, et que ce développement ne sera fautif qu'à commencer du terme qui deviendra infini.

Pour trouver alors la vraie forme du développement suivant les puissances ascendantes de i, il faudra faire d'abord dans la fonction /(<i- -f- /), X égal à la valeur donnée, et développer ensuite suivant les puissances croissantes de « par les règles connues, en ayant égard aux puissances fractionnaires ou négatives de / (jui se trouveraient dans la fonction même.

Pour confirmer par quelques exemples ce que nous venons de démontrer, supposons d'abord que l'on ait

f[a;)-=^ia x — x--\-a \a;- — a-, et qu'on demande le développement /(.r + /) lorsque x = a.

l]\\ |)i'('ii;iiil les loiiclioiis driivrcs siiiviiiil les l'èglcs i^ôiH'ralcs, on

cl ainsi «le suite.

\'M faisant x — a, on a

donc toutes les fonctions déiivces des ordres suivants seront aussi infinies, et le (lcv(doj)pement de /'(«-l-«) conlicndra nécessairenienl un terme de la forme ki"\ m étant entre o et i .

I']n effet, on aura, par la substitution de a -f- /dans rcxprcssion de /(.ry,

d'où l'on voit (}ue le développement suivant les puissances de / coulicndia des termes de la forme \i, i\ /, r \i, .... Soit, en second lieu,

J"[ .r 1 = y/!r -+- [œ — a)-l[x — a); on aui'a ces fonctions dérivées

f'[3c) =: zr -\- i[x — a) l[x — a] -\- X — a,

f"[x)— ^ -^il{x—a] + i,

Si Ton fait x^^a, la fonction déi'ivée /'"(a?j devient intinie, ainsi (jue toutes les suivantes.

Ainsi le développement de /(.r -h /) j)ar la formule générale dcvicn-