X. lO
«Ira fautif dans le cas de jc = a, et il contiendra nécessairement le lerine /-//.
xNous avons observé plus haut que, lorsqu'une valenr pniticuliëre de .1' fait disparaître dans/"(a7) un radical en ne détruisant pas ce radical lui-niènie, mais en rendant seulement nul son coefFicient, alors ce même radical reparaîtra nécessairement dans les fonctions dérivées f'[x),f"{x)y . . ., et la formule générale du développement (\ef[x-\-i) ne cessera pas d'être exacte dans ce cas.
Mais, lors(jne la fonction /'(.ce), au lien d'être donnée d'nne manière explicite, n'est déterminée qne par une équation où le radical ne se trouve pas, la détermination de ses fonctions dérivées dans le cas dont il s'agit pourra être sujette à des diflicnltés qu'il est bon de prévenir.
Soit v = /(x), et par consé({uent, en prenant les fonctions dérivées,
y' z^f'i X), y =f"{.r), Supposons que, pour une valeur donnée
de .r, il disparaisse dans /{x) un radical, lequel n(; disparaisse pas dans /"'(.r); il est clair que, pour cette valeur de x, la fonction /'(a?) aura un plus grand nombre de vaïenrs dilTérentes que la fonction y(j?), à raison du radical qui se trouve daiîs /''(^c), et qni a disparu de /[x); d'oîi il snit que la valeur de j' ne pourra pas être donnée par une simple fonction de x et y qui ne contiendrait pas explicitement ce radical. Cependant, si dans l'équation y =y'(.r) on fait disparaître ce même radical par l'élévation aux puissances, et que l'équation résultante soit représentée par
l'équation dérivée de celle-ci donnera
comme on l'a vu dans la Leçon Yï; donc cette expression sera en défant, dans le cas où l'on donnerait à .r la valeur en question, ce qni ne pent avoir lieu qn'aiitant (jue les (juantités F'(.f) etF'fj) seront, Tniu' et l'antre, nulles à la fois. Ainsi, dans le cas dont il s'agit, l'expression de y deviendra égale à zéro divisé par zéro; et récipi'oquement, lorsque
DKS FONCTIONS. 75
cela ;iriiv('i';i, ce sera une iiiar(|ii(' (|iic la valeur e()ri-es|)(»iHlaiile de or aura delniil (Iaiisy"(j7) un railical, sans le «li-lrnire (laMsy'(.r).
Pour avoir dans ce cas la valeur de y', il ne snfUra d(tne |>as de s'arrèlei' ;i la preniii're é(|nali()n déi'ivée de K(ic,y) = <), la(|n(dle eianl
aura lien d'tdie-niènie, indé[»endaninienl de l;i valenr de y'; mais il l'aiidia passer an\ secondes Jonctions dérivées, cl Ton aura une é(|nalion de la l'ornie
\\ o, Il étant des lonctions de x et de y (pi'on trouvera par les régies i^énérales de la dérivation des fonctions.
(leKe é(|nation donnera, i^énéraleinent [)arianl, la valent' de >'"; mais, dans le cas proposé, la (|nantitéF'(j) devenant nulle, le terme (|ni contient )-' disparaîtra, et ré(|nation restante sera une é(|ualion An second degré t'i\ y par la(|n(dle on déterminera la valenr de v', cpii sera pai' conséquent double.
Soit, par exemple,
/( ^ ) = .r 4- ( ^ — a) s/œ — b, on aura
2 \/x — b Faisant x = «, on a
/[x]=a, et /'[x)^=i -h\^^a — b,
où l'on voit (|(ie le l'adical disparaît dans la valenr (\v / .v , mais n(Hi pas dans c(dle dc/\x), en sort<' que la première est simple et la seconde double.
Mainlenanl, si l'on faity(a;) = y, et qu'on élJ've l'éijuation an carre pour l'aire disparaître le radical, ou aura
[j — jc]-^=: [x — a)-[x — b).
Kn prenant les fonctions primes, on aura c(dle-ci
(l'on l'on tire
2 Lz' — a] {.T
Faisant .v — n, on a aussi y = a; ce qui donne
On passera tlonc aux fonctions secondes, et l'on aura cette équation du second ordre :
2(j — ^)j"+2(/— i)2=:4(jr — a) + 2(.r— h).
Ici la supposition de .r = a ely = a donne
(7'— 0-=«— ^, d'où l'on tire
comme plus haut.
Il peut arriver que la même valeur de x, qui détruit les termes tle la première équation dérivée, détruise aussi ceux de la seconde; il faudra alors passer à l'équation tierce, huiuelle, par la destruction des termes ({ui contiendront y et y'', deviendra une simple équation en v', mais du troisième degré, et ainsi de suite; cela dépend de la nature du radical qui aura été détruit dans y, et qui doit être remplacé par le degré de l'équation d'où dépend la valeur de y'.
Supposons en second lieu que la même valeur de x, qui fait dispal'aître un radical dans/(£c), le fiisse disparaître aussi dans/'^a;), sans le faire disparaître néanmoins dans/"(^); alors les valeurs correspondantes de /{x) et/'(/r) seront en même nombre, mais celles de /"{x) seront en nombre plus grand. Si donc on fait évanouir ce radical dans l'équation j=/(-x), la valeur de y" qu'on en déduira se trouvera
= -, et il faudra })asser aux é(]uations dérivées d'un ordre supérieur
pour avoir la valeur de y".
Soit, pour en donner un (exemple,
DES FONCTIO.NS. 77
on iuirii
-.. {JL- — a ]'-
y ~: I -+- 2{.r — a] \Jx — b -\- — T, '
F;iis;iMl x=^a, on a
y r= a, y' z= i et y" '= 2 y^« — 7j, .Mais, si l'on l'c'diiil l'('(|Malioii [)ro|)os('<' à rcUc l'orme ralionncllc
[y — x)^= [x — aY [x — b), on (Ml tirera ré(]nation dérivée
^'(J — •'^•)(/— 0 — 4(-3? — •a)''(u7— b] -^{x — ay,
dans laquelle, en faisant .r = a ety — a, tout se détruit.
On passera donc à ré(|natioii dérivée du second ordre, la(|n(dle sera
[y — a,-)y"-h{y' — iy'--=6{x — a)^{x—b]-^-S[x — a)\
Faisant .r = a et jK = a, on aura
[y' — i)2r=:o, et par c()iis(''(|ti('iil i - 1;
mais, pour avoir la valeui' de y", il iaiidra avoir recours à re(|nalion tierce, et même à l'équation quarte.
On aura ainsi
(/ — •^)y" + 3(7'— i)y" = iS{x — a)- -h i2{x — a) [x — b],
OÙ tout se détruit encore en taisant ,v = a, y = a, y = 1 . L'équation dérivée de l'ordre suivaut sera donc
Faisant ']c\ x =^ a, y =^ a, y' = 1, on aura
d'où l'on tire
comme oins liant.
Nous 11(3 pousserons pas plus loin cette analyse, (jui (railleurs n'a plus (le difficultés d'après les principes établis. Mais nous allons donner à cette occasion la théorie de la méthode pour trouver la valeur d'une fraction dans les cas où le numérateur et le dénominateur deviennent nuls à la fois.
Soit y— —une pareille fraction, /(.r) et F(^) étant des fonctions de^,
telles que la supposition de a.=a les rendent toutes deux nulles à la fois, et que l'on demande la valeur de cette fraction lorsque r = a. On fera
y = -^ — ^, el par conséquent rE(a) =:/[a-);
en supposant a-^=n, cette équation se vérifie d'elle-même et ne peut pas servir à déterminer la valeur de y. Mais, en prenant l'équation dérivée, on aura
la supposition de ûc = a détruit le terme y' ¥{.x), et le reste de l'équation donne
S'il arrivait que les fonctions primes/' (a?) et F'(^) devinssent aussi nulles par la même supposition, on trouverait alors par le même principe, en substituant dans l'équation ci-dessus /(a?), Y'{œ), au lieu de /{oc), F(.r), cette nouvelle expression dey,
F"(xl
On pourrait aussi déduire la même expression de réqualiou dérivée trouvée ci-dessus, en considérant que, comme elle se vérifie d'ellemême lorsque .'r = <'/, elle ne peut servir à la détermination dv y, ([ue par conséquent il sera nécessaire de [)asser à la seconde équation dérivée, laquelle sera
La suj)|)()sili(»n de .r = ./ l'ciidinil nulles 1rs loiiclions Yix) etF'(a;), les IcriiM's (|iii coiiliciiiiciil }'' et y" s'en iront (rcux-inèiiics, et les lerincs r<'slaMls (lonnrrnnl
■ ~ F"(^-)' (•(unmo plus lianl.
Si la inriMc supposition de r = a donnait cncorfi
/"{Jc] = n Cl V"[JC)=0,
on tronvci'ai I de la ummuc rnanii'i'c
et ainsi de suite.
D'on résulte eette irgie générale que, lorscpie le uumérateur et le dénominateur d'une l'onction de oo deviennent nuls à la fois poui- une valeur donnée de .r, il faut prendre à leur place les fonctions dérivées t\u nnniéialeur et du dén(Hninaleur, juscpi'à ce (|u'on airive à une fraclion (jui ait une valeur déterminée pour la même supposition de .r.
On sait (jue la formule '- — donne la somme de la progression géométrique
X + a-'- -\- .i-' + . . . 4- Ji".
Loi'Sijue .r = I, cette formule devient -; on i)rendra donc les fone-
lions dérivées du numérateur et du dénominateur, et on ani'a la non- V(dle fraction '■ — ^ dont la valeur, lorsfiue .r = i, est n.
Si Ton prend la fonction dérivée de la formule •> on a
; — ; -, et celle-ci exprime par consériuent la somme de
la séi'ie
(|ui est la fonelion dérivée de la séi'ie
[.ors(jiie .r — r , la formule |)réeédent<' devient -: on pi'cndra donc
les fonctions dérivées du numérateur et du dénominateur, et Ton aura hi nouvelle fraction
(|iii, ("Il faisant .r — i , devient de nouveau -• On prendra derechef les fouctions dérivées du numérateur et du dénominateur de cette dernière fraction, et l'on aura celle-ci
laciuelle, lorsque x = i , devient
somme de la série
On pourrait craindre qu'en prenant ainsi les fonctions dérivées du numérateur et du dénominateur, on n'eût toujours des fonctions qui devinssent égales à zéro divisé par zéro pour la même valeur de œ; mais il est aisé de se convaincre que cela ne saurait avoir lieu. Car, si x = a faisait évanouir les fonctions /(>), /'{o^), /"i-^), • • • ^^ l'iniini, puisqu'on a en général
/(^ + 0 =f[x) ■+- if'[a.-] + ^/"(.r) + . . .,
on aurait, lorsque x ^ a,
(juel que soit ï, ce qui est impossible, il en serait de môme de Y{x + /).
Il peut néanmoins arriver que ces fonctions deviennent à la fois infinies [)ar la même supposition de x = «, ce qui rendrait également
indéterminées les valeurs des fractions {^^-p^ 'r(^' '"' "^'^'^ ^'^ ^^'^ rentre alors dans le cas général que nous avons examiné plus haut, et
DKS FONCTIONS. 81
il CM l'îiiidra ('oiicliirc (|ii(' le développemenl des lonclions /(a; -h i) e[ V{.T-hi) contiendra alors des puissaiifcs de / rraclioiinaircs ou ii(''i>aliv<'S.
On substituera donc a -+- i à la placer de .r, tant dans la fonction du Mimiérateur que dans celle du dénominateur, et l'on résoudra l'une et l'autre en série suivant les puissances ascendantes de i; on fera ensuite / = o, après avoir divisé le haut et le bas de la fraction par la pins basse puissance de i; ou, ce qui revient au même, on n'aura d'abord égard qu'au premier ternie de chacune des deux séries.
Soit, par exemple, la fraction
dont on demande la valeur, lorsque x = a. On voit d'abord que cette supposition rend le numérateur et le dénominateur nuls. Leurs fonctions dérivées sont
et
2 sjœ i\ja — X \]œ- — a-
(jui deviennent l'une et l'autre infinies par la même supposition. On fera donc x = a + i, et la fonction du numérateur deviendra
\Ja + l — sja-^ \/i^= \li +
2 \/a la fonction du dénominateur deviendra
\Ji['2.a -\- i] ^=1 y/a ai -\ ^
v\\ ordonnant les termes suivant les puissances croissantes de i. En ne |)r('nant (|ue les deux premiers, on aura la fraction
\^2ai ^'oia
pour la valeur cherchée.
Vax général, une fonction de x ne peut devenir nulle lorsque x =^ a.
à moins ({u'clle ne contienne un facteur (a:; — a)"\ m étant un noml)i'e positif quelconque. Donc, si deux fonctions de x deviennent nulles par la même supposition, il faudra qu'elles contiennent chacune un pareil facteur; et, pour trouver alors la valeur de la fraction formée de ces deux fonctions, il ne s'agira que de la réduire à sa plus simple expression, en la dégageant du facteur commun au numérateur et au dénominateur.
Si donc ^n lait x = a -^- i, ce qui donne x — a = i, le facteur commun sera une puissance de i (jui s'évanouira par la division, et alors il
n'v anra plus qu'à faire i = o pour avoir x = a.
fix] Ainsi, avant la fiaction t^W' la substitution de a + i au lien de x
donnera d'abord en général
f[n)-rif'[a)+'^f"[a+...
Y[a] + i F(a)H- ^F'(fl) + ...
Si f\a) = o et F(a) = o, le haut et le bas de la fraction seront divisibles par /, et elle deviendra
Faisant ensuite i = o pour avoir .r = a, on aura • ^ pour la valeur de la fraction proposée, lorsque x = a.
Si f'[a) = o et Y'{a) = o, la fraction se réduira encore, et deviendra, par une nouvelle division par /,
--F"(a)-^-^TF^a)
f"\a] laquelle, en faisant i — o, se réduit à '',': ' .; et ainsi de suite.
r [Cl j
On voit par là la raison de la règle donnée plus haut, et l'on voit en
mrnic (cinps (jue cette règle n'est Ijoiiiic (|ii(' poiii- les IVaclions doiil le numérateur <'l le dénominateur conticiiiicnl ii l:i lois un l'jiitcur de la lormr (.r — a)'", m élant un iioiiihre eiilicr jK>sitir. Aussi pciil-oii toujours résoudre ces cas en Taisant disparaître ce facteur par les li-i^lcs connues, pour réduire la fraction à sa plus simple expression.
Dans les autres cas où m serait un nombre fraction nain; ou néi;atil', la règle sera en défaut, et il faudra alors réduire les deux fonctions J{ii -h i) et V{a -+- i) dans les séries ascendantes
a /"' + (3 /'«-^" + . . . 01 A /'" + lî /'"+/' -+-...,
de soi'te ([lie l'on aura
fin -t- /) a -H- [3/" H-. . .
V{a-h i) ^ A H- li /y -i- . . . '
et, faisant / = o, on a
Si les premiers termes des deux séries contenaient des puissances différentes de /', par exemple, si, la série du numérateur étant la même que ci-dessus, celle du dénominateur était
A iP -f- B iP^'/ + . . . ,
/// et /) étant des nombres quelconques, mais //, */, ... étant positifs pour ([lie les deux séries soient toujours ascendantes, alors, faisant i 1= o, après avoir divisé le baut et le bas de la fraction par la plus petite des deux ])uissances i'" et i^, on aura ^^7— f = o ou = ce siiivatil
(jue //^ > ou <C/^ ^11 regardant les nombres négatifs comme moindres <jue les positifs. Mais, par ce que nous avons démontré |tliis liaiil. on est assuré que ces cas n'auront lieu (jue lorsque les valeurs dv^ fonctions dérivées de /[x] et de F(j") deviendront infinies en nH*'me temps, par la supposition de .r = a.
L'analyse que nous venons de donner est nécessaire pour ne rien laisser à désirer snr la nature des fonctions dérivées; mais, comme
j^i. LEÇONS SUR LE CALCUL
elle ne regarde que la valeur de ces fonctions dans des cas particuliers, elle n'influe point sur la théorie générale des fonctions, en tant (ju'on n'y considère que la forme et la dérivation des fonctions, laquelle est par conséquent indépendante des exceptions que nous avons trou-
vées.
DES K0NCT10N8. 85
Iffm NEUVIÈME.
i)k la mamkrk 1) avoip. lks limites du dlveloppkment d une fonction, lorsou on n'a égard qu'a un nombre Déterminé de termes, cas dans lesquels les principes du calcul différentiel sont en défaut. théorème fondamental.
LIMITES DE PLUSIEURS SÉRIES. MANIÈRE RIGOUREUSE d'iNTRODUIRë LES FONCTIONS DÉRIVÉES DANS LA TIIÉOIUE DES COURBES ET DANS CELLE DES MOUVEMENTS VARIÉS.
Toute fonction /(.r + /) se développe, ainsi (ju'on l'a vu, dans la série
laquelle va naturellement à l'infini, à moins que les fonctions dérivées de/{.r) ne deviennent nulles, ce qui a lieu lorsque /(^) est une fonction rationnelle et entière de x.
Tant que ce développement ne sert qu'à la génération des fonctions dérivées, il est indifférent que la série aille à l'infini ou non; il l'est aussi lorsqu'on ne considère le développement que comme une simple transformation analytique de la fonction; mais, si on veut l'employer pour avoir la valeur de la fonction dans les cas particuliers, comme offrant une expression d'une forme plus simple à raison de la quantité i qui se trouve dégagée de dessous la fonction, aloi's, ne |)()nvanl tenir compte que d'un certain nombre plus ou moins grand de termes, il est important d'avoir un moyen d'évaluer le reste de la série (\i\\)\] néglige, ou du moins de trouver des limites de l'erreur qu'on commet en négligeant ce reste.
La détermination de ces limites est surtout (l'une gi-aiide im|)()rlanr('
dans l'application de la Théorie des fonctions à l'Analyse des courbes et à la Mécanique, pour pouvoir donner à cette application la rigueur dé l'ancienne Géométrie, comme on le voit dans la seconde Partie de la Théorie des fonctions analytiques.
Dans la solution que j'ai donnée de ce problème dans l'Ouvrage cité, j'ai commencé par chercher l'expression exacte du reste de la série, ensuite j'ai déterminé les limites de cette- expression. Mais on peut trouver immédiatement ces limites d'une manière plus élémenlaire, et également rigoureuse.
Nous allons, pour cela, établir ce principe général, qui peut être utile dans plusieurs occasions :
Une fonction qui est nulle lorsque la variable est nulle aura nécessairement, pendant que la vanahle croîtra positivement, des râleurs finies et de même signe que ce/les de sa fonction dérivée, ou de sii>ne opposé si la variable croît négativement, tant que les valeurs de la fonction dénvée conseiveront le mt'me signe et ne deviendront pas infnies.
Ce principe est très important dans la théorie des fonctions, parce qu'il établit une relation générale entre l'état des fonctions primitives et celui des fonctions dérivées, et qu'il sert à déterminer les limites des fondions dont on ne connaît que les dérivées.
Nous allons le démontrer d'une manière rigoureuse.
Considérons la fonction /(.ip + i), dont le développement général est
f[x)-^if[x)-^-'^f"{cc) + ....
Nous avons vu, dans la Leçon précédente, que la forme du développement peut être différente pour des valeurs particulières de .r; mais que, tant (jue /'(.r) ne sera pas infinie, les deux premiers termes de ce développement seront exacts, et que les autres contiendront par conséquent des puissances de i plus hautes que la première, de manière qu'on aura
V étant une ronclioii du .r et i, telle qu'elle (Icvicîiiiie niiljr loi-sijur
Donc, i)iiis(|ue V (levicnl uni l()rs(iiic /dcviciil nul, il cstclair qur, en luisant croifre / par dei^rés insensibles depuis zéro, la valeur de V eroitra aussi insensiblement depuis zéro, soit eu |>lus ou eu moins, jus(ju';i un eerlain point, après quoi elle pourra diminuer; que par eonsé(juenl on pourra toujours donner à i une valeur telle que la valeur eorrespondante de V, abstraction faite du signe, soit moindre (ju'uue (juantité donnée, et que pour les valeurs moindres de / la valeur de V soi} aussi moindi'e.
Soit 1) une quantité donnée qu'on pourra prendre aussi petite (|u'on voudra; ou pourra doue Ion jours donner à / une valeur assez petite pour (jue la valeur de V soit renfermée entre les limites D et — 1); <lone, puis(ju'on a
fix + i)~f{x]=i[f'[a:) + Y],
il s'ensuit que la quantité /(.r + /) -/(.r) sera renfermée entre ces deux-ci
/[/'(xjitl)].
Comme cette conclusion a lieu quelle (jue soit la valeur de .r, pourvu que/'(^) ne soit pas infinie, elle subsistera aussi en mettant successivement
il la place de x; de sorte qu'on pourra toujours prendre / positil el assez petit pour cpie les valeurs des quantités
f{x-h'>.i)-f[x-i-i), /{x-h'U'j-flx-hii),
f[x + ni] — /[j: + in — \]i]
soit'iil renfciniéc's respectivement entre les limites
i[f'[sf + [n-i)i]±l)],
en prenant pour D la même quantité clans chacune de ces limites, ce qui esl permis, pourvu qu'aucune des quantités
f'[x), f'[x + /), /> + ii\ ..., f'[x + [n - i)r]
ne soit infinie.
Donc, si toutes ces dernières quantités sont de même signe, c'està-dire, toutes positives ou toutes négatives, il est facile d'en conclure que la somme des quantités précédentes, laquelle se réduit à
f{x-hni]—f[x),
aura pour limite la somme des limites, c'est-à-dire les (juantités
if'[r] — if'{x -^~ i] + i f'[x + -2/) H- . . . -f- //"[.r + [n — \]i\z^ni\).
Si donc on prend la quantité arbitraire D moindre que la somme
divisée par n, abstraction faite du signe de cette somme, la quantité f[x^ni)—f(x) sera nécessairement renfermée entre zéro et la somme
ii\^f'[x] -+-f'{x + /) ^f'[x H- ii) + . . .+/'[^ + (« — i)']]-
Donc, si P est la plus grande valeur positive ou négative des ({nanti tés
la quantité /(r -h m)—f[x) sera, à plus forte raison, renfermée enti'C zéro et 2 m P.
Or, comme, en preii;iiil /:iiissi petit (|ir()ii voiidi;!, on peut en nirnic temps pi'ciidre n aussi i-niiid (pi'oii voiidi;!, on poiin-i supposer /// égale i» une (juantité quelconque z, positive ou négative, puis(pi(' l;i ([iianlité / peut être prise positivement ou négativement.
La (piantité /(a:- 4- /?/) — /(.r) deviendra ainsi /(.r -i- :;) —/(.r), et pourra représenter une fonction quelconque de :;, qui s'évanouit lorsque s = o, la (piantité x pouvant maintenant être regardée comme une constante arbitraire. De niéine, la quantité f'[x-^ni) deviendra f'[x -\- z), et représentera la fonction dérivée de la même Ibnelion de z, puisque /''(.r -h z) est également la foiwtion dérivée dey'"(^' -l- s), soit par rapport à .r, soit par rapport à z.
On peut donc conclure en général que, ^\ f'{x -h z) a constamment des valeurs finies et de même signe, depuis z = o, et (jue P soit la plus grande de ces valeurs, abstraction faite du signe, la fonction primitive dont il s'agit sera renfermée entre o et 2zV\ par conséquent elle aura toujours aussi des valeurs finies, et de même signe <|ue la fonction dérivée si z est positive, ou de signe différent si z est négative.
Dans le Calcul différentiel, la conclusion précédente est une suite immédiate et nécessaire de la manière dont ce Calcul est envisagé, et elle se présente même sans aucune limitation relativement aux valeurs infinies; mais nous allons voir qu'elle est souvent en défaut à cet égard, ce qui servira à montrer la nécessité d'une analyse plus rigoureuse que celle qui sert de base au Calcul différentiel.
Eu effet, si y est une fonction de z, sa fonction dérivée, suivant la
dy notation de ce Calcul, sera représentée par ,^;? et y, intégrale de dy,
est regardée, par les principes mômes du Calcul, (;omme la somme de
tous les éléments inlininienl petits dy, ou -jzdz; par conséqu<'nl, si
Y = o lors(pie z = o, y sera la somme de tous les éléments jz^^~- <1H' répondent à tous les éléments de r. D'où l'on est en droit de conclui'e (pie, si -~ a toujours des valeurs positives, depuis z ^= o jus(ju'ii une
valeur quelconque positive de z, tous les éléments ^^Z- étant positifs,
la valeur de y répondant à cette valeur de z sera nécessairement positive.
(Cependant, si l'on a, par exemple,
(i étant une constante quelconque positive, on aura r=o lorsque
z = o, et la valeur de y- sera, par les règles connues de la dilïeren-
tiation, - — ^^.,- Cette valeur est constamment positive, quelle que
soit la valeur de :;; il faudrait donc que la valeur de j fût toujours positive, ce qui n'est pas; car, en prenant ^ plus grand que a, y devient négative. Ainsi les principes du Calcul différentiel sont en défaut dans ce cas.
Suivant le principe ([ue nous venons d'établir, la valeur de y ne
sera nécessairement positive qu'autant que la fonction dérivée —^ ne
sera pas infinie dans l'étendue de la valeur de z. Or, -^ étant égale à
-•, elle devient infinie lorsque s = «. Donc les valeurs de y se-
ront nécessairement positives depuis g = o jusqu'à c = «; mais elles pourront ne pas l'être lorsrjue s>>rt, quoique les fonctions dérivées
r- soient toujours positives.
Voici maintenant comment le principe dont il s'agit s'applique à la détermination des limites du développement de/(.r + «).
Soient d'abord p et <y les valeurs de r + / qui rendent la fonction dérivée /'(.r H- ?') la plus petite et la plus grande, en regardant x comme donné, et fVnsant varier « depuis zéro jusqu'à une valeur quelconque donnée de /. Donc /'(/?) sera la plus petite valeur de /'(.r + /)» et /'{q) en sera la plus grande; par conséquent, /'(a- + i) —/'(/>>) et /'{(/) —/'{'^' + 0 seront toujours des quantités positives.
Regardant ces deux quantités comme des fonctions dérivées, rela-
tivcs il la varial)I(' /, leurs loiiclioiis priniilivcs, prises de inaiiii'rc qu'elles soient milles loiscjue /= o, seront, à cause de r, /; (;t q supposées constantes,
f[x + i)-f{x)-if'{i>] 61 if'[q]-f[a: + i)^f[x).
Ainsi, pourvu que /'(a- -h /) ne soit jamais infinie depuis f = o jus- (ju'à la valeur donnée de i, ce qui aura lieu si f'{p) ft /'(y) ne son! point des quantités infinies, on aura par le principe précédent, si / est j)ositif',
f[x + i)-f[x)-if'[p)>o et f[x)-f{x + i) + if'[q]>o,
d'où l'on tire
f[or + i]>f[x)-^if'[p] et f[:>c + i)<:f[x) + if'[q].
Supposons ensuite que/> et 7 soient les valeurs de .r H- / ([ui icndent la fonction dérivée du second ordre/"(^ -h /) la plus petiti; et la plus grande, en faisant varier / depuis zéro jusqu'à une valeur donnée; on aura /"(/?) Gt/"{q) pour la plus petite et la plus grande valeur de /"{x -+- i); par conséquent, /"(x + /) —f'\p) et f"[q) —f"[oc -v- i) seront toujours des quantités positives.
Regardant ces quantités comme des fonctions dérivées relatives i» la variable /, leurs fonctions primitives, prises de manière qu'elles soient nulles, lorsque / = o, seront
Donc, pourvu que /"(.z- H- i) ne soit jamais infinie dans tonte l'étendue de /, ce qui revient à ce (|ue /"(/>) et /"(y) ne soient point infinies, ces deux (juantités seront, par le même principe, toujours positives et finies, / étant supposé positif; et en les regardant comme des fonctions dérivées relatives à /, leurs fonctions primitives, prises de manière (ju'elles soient nulles lorsque /= o, seront, à cause de .i\
j) et q supposées constantes,
f[x + i)-f[x]-if'[x]-'^f"[p).
'if"{fj] -f[^ + 0 +/(^) + '■/'(•^)
Ces nouvelles quantités seront donc aussi, par le même principe, toujours positives; on aura ainsi
f{x + /) -f{x] - if'[x) - '^f"[p) > o,
d'où l'on tire
.f[x + i]->f[x\ + if'[x]+'\f"[p],
f[x + /) <f[x) + if'[x) -4- '-f"{q).
Si l'on suppose, en troisième lieu, que p et q soient les valeurs de X -h i qui rendent la fonction tierce f"\oc + /') la plus petite et la plus grande, i=o jusqu'à une valeur donnée de /', on aura les deux quantités depuis /'"(^ + i) —/'"{p) et/"'(^) — /'"(.r + i), qui seront nécessairement positives dans toute l'étendue de /. Donc, en les regardant comme des fonctions dérivées relatives à la variable /, leurs fonctions primitives, prises de manière qu'elles soient nulles lorsque / = o, seront
f"{x+i)~f"[x]-if"'{p],
et ces quantités seront, par le même principe, toujours positives et finies, pourvu que/"'(.r -f- i) ne soit jamais infinie dans toute l'étendue de i, c'est-à-dire, poui'vu que /'"(/?) et /'"(y) ne soient point infinies.
Donc, en regardant de nouveau ces dernières quantités comme des fonctions dérivées relatives à /, leurs fonctions primitives, prises de
iiianiiM'c (|ii'p1Ics soient nulles lorsque / = o, seront
f^.r + i)-f'[x)-if"{x]-'^f"'[p],
lesquelles seront par consécjiient aussi toujours [)osi(ives et fini<'s, en vei'lu (In niênie principe.
Enfin, regardant encore ces nouvelles quantités comme des fonctions dérivées relatives à /, leurs fonctions primitives, prises de manière qu'elles soient nulles lorsque z"= o, seront
fix + i) -f[x) - if'[x) - 'lf"[x) - ^f"\p],
Ces quantités seront donc encore positives par le même piincipe; ainsi on aura
f[x + i]-f[x)-if'[x]-'lf"[x)--^f"'[p)>o, f{x] -f[x + /; -t- if'[x) + '^f"[x) + ^/"'(^)> o; d'oii l'on (ire
f[x + i] <f[x) + if'[x) + '^j"[x) ^ -^/'" q ,
et ainsi de suite.
Nous avons supposé dans ces développennmts / positif; si / élail négatif, ou l)ien si l'on changeait / en — /, alors on trouverait pour premières limites de /'(.r — i)
f[^-i)<f[^-]-if'{p],.
f[x-i]->f[x)-if'[q):
On trouverait ensuite pour secondes limites
f[x-i)<f[x)-if'[x)+'^f"[p),
f[x-i)>f[x)-if'[x)-^'^f"[q),
et ainsi des autres.
Donc, en général, la quantité /"(^ + /), soit que i soit positif ou négatif, sera toujours renfermée entre ces deux-ci :
en prenant pour/? et q les valeurs de x-\-i, qui répondent à la plus petite et à la plus grande des valeurs de f^{oc + i), dans toute l'étendue de i, depuis i= o, pourvu que les deux quantités /f*(/j) etf^{q) ne soient pas infinies.
Au reste, il est facile de voir, par l'analyse précédente, qu'on n'est pas astreint à prendre pour/'^(/>) et f^{q) la plus petite et la plus grande valeur de/'^(^ -i- i), mais qu'on peut prendre à leur place des valeurs quelconques plus petites que la plus petite, et plus grandes que la plus grande; ce qui peut servir, dans nombre de cas, à faciliter beaucoup la détermination des limites.
J'observerai ici, quoique cela ne soit presque pas nécessaire, que j'entends toujours par quantités plus grandes ou plus petites absolument celles qui sont plus avancées vers l'infini positif ou vers l'infini négatif; ainsi, si a >- b, on aura — « < — b, etc.
L'analyse précédente redonne, comme l'on voit, successivement les termes du développement de/(.r-f-i); mais elle a l'avantage de ne développer cette fonction (ju'autant que l'on veut, et d'offrir des limites du reste.
En effet, si dans le développement de/(.r -f- /) on veut s'arrêter au terme [7.''"^, pour avoir les limites du reste du développement, il n'y a
(lu'à considri'ci- le Icrinc suivant, <|ui serait de la lornie
fH^),
et y incltt'C ;i la place de /'^(.r) la plus i^rande et la plus petite valeur de /'^(.r + /), en faisant vai'ier / depuis zéro, ou hicu des (|uanlités quelconques plus grandes ou plus petites que la plus ,:^r'aude et la plus petite valeui' de, /^{x -\- i). Si ces deux valeurs, ou l'iiue d'culre elles, étaient inlinies, il n'y aurait point alors de limites; c'est aussi le cas où le développement deviendrait fautif, [)aree (|ue la valeur de /^{x -\- i) serait infinie dans quelque point.
En général, on peut avoir de la même manière les limites des valeurs de toute fonction dont on ne connaîtra que la fonction dérivée d'un ordre (}uelc()n(|ue. On examinera la marche de la louction dérivée depuis l'origine de la variable, et, si elle ne devient jamais infinie, on y appliquera immédiatement les formules précédentes, où i est la variable, et .r peut être une constante quelconque. Si, an contraiie, la fonction dérivée devient infinie pour certaines valeurs de la variable, on partagera cette variable en autant de parties séparées par les termes auxquels répondent les valeurs infinies de la fonction, et l'on appliquera séparément les mêmes formules à chacune de ces parties.
Supposons, pour donner quelques exemples,
on aura et de là
et eu général
ou
f'[x) = rn.r'"-', f"[x) = m[m — i)x"'^-, f"'[ x) = in[m — \][ni — i) x>'' ^ , • • • ' >
M =-. m[ni — }]{ni — 2] . . .{m — y -h i),
comme on l'a vu dans la Leçon IL On aura donc
où l'on voit que cette fonction ne peut jamais devenir infinie tant que .1- ^ i n'est pas =o et que u. n'est pas > w. On voit aussi que la plus petite et la plus grande valeur de M(.r + if'-^ répondent, l'une à / = o, et l'autre à /; de sorte que les valeurs p et q seront x ^{ œ + i, ou -r -+- i et .r.
Donc, en général, le développement de {x -h i)'" sera compris entre ces deux limites
m{m — 1) ., , Miv- . ., „
X'" -+- niix'"-' -t -i-x"'-- H-. . .H [X + i)'" -V-.
Par le moven de ces limites, on est à couvert des difficultés qui peuvent résulter de la non-convergence de la série; car, comme un terme
quelconque /«"'"'' est au suivant dans le rapport de i a
j)Our que la série soit convergente, il faut que la quantité abstraction faite du signe qu'elle doit avoir, soit moindre que l'unité Si - < I, il est clair que la série finira toujours par être convergente
puisque la dernière valeur de est — 1. Mais elle sera tou-
joui's divergente h son extrémité, si - > i , quoiqu'elle puisse être convergente dans ses premiers termes. Ainsi elle ne pourra alors être employée avec sûreté, quelque loin qu'elle soit portée, qu'en ayant égard aux limites que vous venons de donner. Supposons, en second lieu,
on aura
cl (le là
f'{x) = n-^la, f"[x) = a->^[laY-, f"'[x)^a-^{la]\ ....
Donc, en général,
fv-[x -\-i)=za'^^i[la)v-,
où l'on voit (|ii(' la plus petite et la plus -laiide valeur répondent aussi •A i = o et à /. Ainsi on aura, en faisant x = o,
lay,
pour les liniilcs de la valeur de c/', oii l'ou pourra prendre! dans le dernier terme, au lieu de a', une quantité quelconque plus grande. Soit, en troisième lieu,
on aura donc.
fv-[x + i) = ±
le signe supérieur étant pour le cas de [j. impair, et l'inférieur pour le cas de [j. pair,
11 est clair que, |)oiu'vu (|ue x + i ne soit pas égal à zéro, la (|uantité /■i^(.r + «■) ne sera jamais infinie, et que sa plus grande valeur el sa plus petite, relativement ii i, répondront à i= o et à /.
On aura donc, par la formule générale, ces deux limites, pour la valeur de l[x -f- i).
Ix -i
Ix -\
■Jtx- àx'^
où l'on pourra mettre à la place de / une valeur quelconque plus grande dans le dénominateur {ao-hi)^.
Soit, en quatrième lieu,
/(.r + /) = sin(^- + /) ;
on aura
f{x) = s'mx, f'[x):=cosx, f"[x)^=— smx, ...;
donc, en général,
f\^[x-hi) — ±:sin(x + ri ou := ±cos(^ -t- /),
suivant que a sera de l'une de ces formes, 4'^ l\7i -{- 2, f^n-hi, \/t -\- 3, n étant un nombre entier quelconque; ce qu'on peut renfermer dans cette expression générale
f^{x -h i) = s\n{x + /+ aD),
D étant l'angle droit.
Or, quelles que soient les valeurs de x et /, il est visible que la plus grande et la plus petite valeur de/^{x h- i) seront i et — 1; ainsi on aura, pour le développement de sin(.r-h/), ces limites
sm^ + / cosx sinx :; cos.r +
Si l'on fait ce = o, on aura
et, si l'on fait x = D, on aura
pour les limites de sin^ et cos/, où il faudra prendre pour u. le nombre immédiatement plus grand d'une unité que l'exposant de /, dans \v tei'ine au(|uel on voudra s'arrêter.
Nous avons donné, à la lin de la Leçon Vil, la série du dév<doj)peiiicnl (\r/{y H- /), en supposant y = tmïv^x et f{y) = x, <'l nous avons h'oiivé en i^énéral
fv-[y') =i±i.'^. . .[ix — i) cosl^:r X sln ou cosju^.
Donc, on aura aussi
y!J.(jj-+ /j — ±2.3. . .(a — i) cosH-2 X siii ou cosy.2,
en Taisant y -h / — tani^c, c'est-à-dire
lang2 = langj: + /.
Or, quels (jue soient y et /, il est visible (jue la plus petite cl la plus grande valeur de cosf^c x sin ou cosas seront — i et i ; d'où l'on peut d'abord conclure que la série est vraie pour des valeurs quelconques de X et /, et que, si l'on veut arrêter la série au ternie ;V""^ le reste de la série sera nécessairement renfermé entre les limites dz — •
Ainsi, en faisant x = o, on aura ces limites
arc tang; = / ~ — + — —.. .±: ,
où [j. est l'exposant du terme auquel on veut s'arrêter.
Nous finirons par remarquer que les mêmes formules peuvent servir à développer une fonction quelconque, suivant les puissances de sa variable; car en faisant x = o, f[x -\-i) devient simplement /^T et peut représenter une fonction quelconque d'une variable i.
Or il est visible que les valeurs ài\f{x), f'[x), f"[x), lors({ue
,r = (), doivent coïncider avec celles def{i),/'{i),/"{i), . . ., lorsque / = o.
Donc, si l'on dénote simplement par /; /', /", ... les valeurs de /(0'./V)»/"(0' •••' Jo>'''^que /==o, on aura en général
et si l'on veut s'arrêter au terme j/.'*'""', alors, comme le terme suivant serait
il n'y aura qu'à substituer à la place de /^^ la plus fijrande et la plus petite valeur de/î*(f), ou des valeurs plus grandes ou plus petites que celles-ci, et l'on aura les limites du reste du développement.
Ainsi le développement sera exact tant que ces limites auront des valeurs finies. Si l'une d'elles devenait infinie, le reste de la série pourrait aussi devenir infini, et le développement deviendrait fautif. Il faudra donc alors, ou s'arrêter à un terme précédent, ou n'attribuer à î que des valeurs telles, que /!^(i) ne devienne pas infinie depuis /= o jusqu'à cette valeur.
Puisque ces limites répondent à la plus grande et à la plus petite valeur de /!"(«), en prenant i depuis zéro jusqu'à la valeur donnée, il est clair que la valeur exacte du reste du développement de la fonction /(/) répondra à une valeur intermédiaire de f^{i), qui pourra être représentée \^'à\' f^{j), en prenant poury une quantité entre zéro et /. Il suit de là qu'on pourra toujours représenter d'une manière finie le développement d'une fonction quelconque f[i), en y introduisant une quantité inconnue y moindre que /. Ainsi on a ce tbéorëme analytique, remarquable par sa simplicité,
/(0=/+//' + -/"+-^/"' + ...+ — — ^— -/^-'-i- f' fv-j],
oïl/, f\ f", . . . sont les valeurs de/(ï), f\i), f"{i), • • -, en y faisant / == o, l'exposant [j. étant quelconque.
On a par là une démonstration rigoureuse de cette proposition qu'on s'était contenté de supposer jusqu'ici : savoir que, dans le développement d'une fonction, on peut donner à la variable, suivant laquelle est ordonné le développement, une valeur assez petite pour qu'un terme quelconque de la série soit plus grand que la somme de tous ceux qui le suivent; car il est clair qu'il suffit pour cela de faire voir qu'on peut
toujours prendre ^ assez |»('lil pour (jnc l'on :iil
condilioii (jiii se réduit ;i celle-ci
il laquelle il est visible (ju'ou peut toujours satisfaire eu diiiiiniuinl l:i valeur de /, pourvu qu'on n'ait pas /i^"' = o.
On peut démontrer de la même manière cette autre proposition, que, si l'on a deux fonctions difïerentes /(?) et ¥{i), qui soient telles que les [j. premiers teriju^s du développement de /{i) soient respectivement égaux aux y. premiers termes du développement de F(«), on peut, en diminuant la quantité /, rapprocher assez près les valeurs de ces deux fonctions, pour que la valeur d'aucune autre fonction, comme o(/), ne puisse jamais tomber entre ces valeurs, si les [x premiers termes du développement ^(f) ne coïncident pas aussi avec ceux du développement de/(i) et de P{i); car la différence F(/)— /(/) se réduira, pail'hypothèse, à
OÙ la quantité y pourra être différente dans les deux fonctions, mais toujours /</; au lieu que la différence '^[i)—f{i) sera de la foi'me
;cpx-/).) + ...+--!^r9^(;)-/^(y)],
\ étant <y.; d'où l'on voit qu'en diminuant la valeur de /, le rapport de cette différence à la première deviendra toujours plus grand, ii moins que l'on n'ait aussi cp' =/', etc.
C'est sur ces principes qu'est fondée l'application rigoureuse de la théorie des fonctions dérivées aux parties de la Géométrie et de la Mécanique, pour lesquelles on emploie le Calcul différentiel. Soit /'(.r) l'ordonnée d'une courbe dont x est l'abscisse; prenons vww. nouvelle
abscisse i, qui commence où finit l'abscisse a-, que nous regarderons ma in tenant comme constante; l'ordonnée correspondante sera
Arrêtons-nous aux premiers termes, et supposons l'équation
z=f[a:)-^if'[x-],
ciitro l'abscisse i et l'ordonnée z; cette équation sera une ligne droite (|iii passe par le point de la courbe qui répond à l'abscisse œ, et qui est inclinée à l'axe d'un angle dont/'(.x) est la tangente.
Comme les deux termes de l'ordonnée de cette droite coïncident avec les deux premiers termes de celle de la courbe, il sera impossible qu'aucune autre droite passant par le même point de la courbe puisse passer aussi entre elle et la droite dont il s'agit; celle-ci sera donc la tangente de la courbe au même point, de manière qu'en appelant t la
sous-tangente, on aura en général y =/'[x), et de là t = jtt-^ ~P'
Prenons maintenant les trois premiers termes du même développement, et considérons la courbe dont l'équation entre l'ordonnée z et
l'abscisse i serait
z=f[x] + if'{x)+'-^f"[x];
on aura une parabole dont l'axe est parallèle aux ordonnées, et dont le paramètre est -77777 — :•
Cotte parabole passera par le point de la courbe proposée qui ré{)oi!(l à l'abscisse a;, et aura la même tangente qu'elle, parce que les deux premiers termes de son équation coïncident avec ceux de l'équation (!(> la courbe; et, comme les troisièmes termes coïncident aussi, il s'ensuit qu'aucune autre parabole ne pourra passer entre celle-ci et la même courbe : ce sera, par conséquent, la parabole qu'on nomme
osculatrice, et qui aura .J' , ou 4; pour paramètre.
DES FONCTIONS. lOÎ
Comme c'est ordinairciiiciit ;iu cercle (jii'on rapporte la coiuhtiic (les courbes, pour avoir le rayon de coui'bure, ou supposera (pic la courbe proposé'c est un cercle doiil re(jualiou i^(''U(''raIe est, coninic
l'ou sait,
[x-ay- + {r-b)-=r^-; ainsi on aura
jr = b -{- \Jr- — [x — a)-—f[x),
d'où l'on (b'duil, en prenanl les fonctions dérivées,
sjr- — [x — ajT
Si l'on détermine, par ces trois é(]uatious, les valeurs de a, h, i en X, /{oc), f'{oc), f"{x), ou aura non seulement le rayon /• du cercle osculateur, mais aussi la position du centre de ce cercle pai' les deux coordonnées «, b, qui seront en même temps celles de la développée; car alors les trois premiers termes du développement de v dans \v cercle coïncideront avec les trois premiers termes du développemenl de y dans la courbe proposée.
On aura aussi, pour une courbe quelconque,
On peut pousser plus loin cette tliéorie des osculations, comme nous l'avons fait dans les n""* 117 et suivants de la Théorie des Fondions (inalyti<jiu's.
Si l'on considère l'espace décrit par un ni(d)il(' ('(unnic ronclittn du temps employé à le parcourir, et (|u'ou nomme r le temps et >' l'es-
loi LEÇONS SU II LE CALCUL
j)ac(', l'équation y =f[x) exprimera la nature du mouvement. Soit z l'espace décrit dans le temps / qui commence au bout du temps x\ on aura
et par le développement
lie prenons dans cette expression de z que le premier terme, et considérons un autre mobile dont le mouvement serait représenté par l'é-
(|uation
u=if'[x)
entre l'espace ii et le même temps i-, ce mouvement sera uniforme avec la vitesse f'{x). Comme la valeur de w est exprimée par un terme (jui est le même que le premier terme de la valeur de z, il suit de ce que nous avons démontré, en général, que, dans les premiers instants du lemi)S i, ce mouvement uniforme approcbera plus du mouvement dont il s'ai^it qu'aucun autre mouvement uniforme; car on pourra toujours prendre le temps i assez court pour que, entre les espaces parcourus en vertu de ces deux mouvements, il ne puisse être parcouru uniformément, dans le môme temps, aucun espace moyen avec une autre vitesse que /'(^c). Donc on pourra regarder /'(.r) comme l'expression de la vitesse de tout mouvement représenté par l'équation y =/(^), au bout du temps x.
Si l'on prend les deux premiers termes de l'expression de z pour l'espace décrit par un autre mobile dans le même temps i, la formule
représentera un mouvement composé d'un mouvement uniforme avec la vitesse/'(a7), et d'un mouvement uniformément accéléré produit par une pression ou force accélératrice constante /"(a^), comme l'expérience le prouve dans le mouvement des graves.
Les termes de la valeur de a étant les mêmes que les deux premiers
termes de l'expression générale de ::, (tii eoiieliir;! des iiièrïies principes el;d)lis ei-dessiis, et par un l'aisoiiiietiieiit se[iil)liil)le an précédent, (jue, dans les premiers instants dn temps /, ce nouvean monvemenl apj)r()cliera dn monvemenl représenté par ré(|iiati(»n
z=f[x^-i)-f[x], ou y=f{x),
pins (jn'ancnn antre mouvement semblable, de njanii'i'c <|n'on pourra |»rendre /'(.r) ponr la vitesse, et/"(.2-) pour la force aecélératrice an eommencement dn lenips /, e'est-à-dircî au bout du temps x. Donc, en i;énéral, y étant l'espace décrit et exprimé en fonction dn temps, y sera la vitesse, et v" la force accélératrice nécessaire ponr ce inonvenient.
Ceci a lieu naturellement dans les mouvements rectilignes; mais, en considérant les mouvements curvilignes comme composés de reclilignes, oji en déduit les lois des vitesses et des forces dans toutes sortes de mouvements.
Nous nous contenterons ici d'avoir fait voir, en deux mots, l'usai^e de notre tbéorème sur les limites du développement des fonctions, dans l'application des fonctions dérivées à la Géométrie et à la Mécani(jne; et nous renverrons ceux (jui désireront un plus grand détail a la seconde Partie de notre Théorie des Fonctions analytiques.
