LEÇON DIXIÈME
DES ÉQUATIONS DÉUIVÉES ET DE LEUR USAGE POUR LA TRANSFORMATION DES FONCTIONS. ANALYSE DES SECTIONS ANGULAIRES.
.liisqu'à présent nous n'avons considéré les fonctions dérivées que comme servante la formation des séries d'où elles tirent leur origine; mais ces fonctions, considérées en elles-mêmes, offrent un nouveau système d'opérations algébriques, et sont, pour ainsi dire, la clef de la transformation des fonctions.
Lorsqu'une fonction d'une variable est présentée sous deux formes différentes, en égalant ces expressions, on a ce qu'on appelle une àjuation identique, à cause de l'identité de la valeur, laquelle doit par conséquent avoir lieu indépendamment de la variable, c'est-à-dire, (jucllc (jue soit cette variable; ainsi elle aura lieu en attribuant à la variable un accroissement quelconque /.
Soit
une pareille équation identique; on aura donc aussi
f[x -A- i] = o, savoir, en développant,
quel que soit /; donc on aura séparément
DKS FONCTIONS. 107
<l'<»ii il siiil (|iit' l'on ;iiir;i l;i iiir'uii' ('(in;!!!!)!! m |)irii;iiil les Coiiclioiis (Irrivc'cs d'iiii oi'dic (iiicIcoikjiic.
Supposons iiiaiiilciiniil une r{|ii;ilioii roiiiiiir
cnlri' deux variables .v cl >-, par la(|ii(dl(' l'iinr y doive èlr-e foncliori de .r. Il est évident (|ii'eri reoardaiit y comme une loncliuii de .f, delermincc par cetic é(jiialion, rc(|nalion
sera i(ienli(|nc cl aura lien indépendanimcnl de .r; donc r('(|iialion subsistera aussi entre les fonctions dérivées d'un ordi-e (|Nclcon(|ne.
Kn prenant donc les fonctions dérivées premières, secondes, etc., de <lia(jue terme, on aura autant de nouvcdles équations qui auront lien en même temps que l'équation primitive; par conséquent, toute combinaison de ces écjuations aura lieu aussi à la fois.
Nous nommerons en i^énéi'al équations (h'r'nH'cs du prmiicf ordre, du second ordre, etc., ou simplement à/muio/is pri/nes, scrondes. etc., non seulement les équations dérivées (ju'on obtient en prenant les fonctions primes, secondes, etc. de tous les termes d'un<' é(jiialioii rei^ardée comme prinjitive, mais encore les équations qu'on pourra fornier par une combinaison quelconque de l'équation primitive et de son équation prime, ou de ces deux-ci et de l'écjuation seconde, etc.
Ainsi, l'équation primitive contenant ^ et y, l'équation dérivée du premiei' oi'dre, ou é(|uation prime, contiendra .r, v et r'; l'équation dérivée du second ordre, ou équation seconde, contiendra .r, y, y' et >'"; et ainsi de suite.
Si, au lien de rci^ardcr v comme fonction de .?•, on regardait au contraire .*• comme l'onction de v, l'équation prime serait entre v, .i- et .r', ré(|iiation seconde sérail entre r, .r, .r' et .r", et ainsi de suite; et, par le principe exposé dans la Leçon \ 11, on pourra toujours transformer un de ces sysli'mes (rc(|iialioiis dérivées dans l'autre.
Pour montrer d'abord |)ar (iml(]nes exemples l'usage des e(|uati(ms
lOS LEÇONS SUR LE CALCUL
(Iri'ivées dans la transformation des fonctions, je considérerai les fonctions sinj;- et cos^, dont nons avons donné les fonctions dérivées dans
la Leçon Y, et faisant
j=sin^-, z = cosx,
j'aurai d'abord
j>''' = cosjc, s'=:— sinx,
par conséquent
si on ninlliplie la première de ces équations par y—'» ^t qu'on l'ajoute à la seconde, on aura
d'où l'on tire l'équation
Or, nous avons vu dans la Leçon YI que, si p est une fonction quelconque de X, ^ est la fonction dérivée de /p; ainsi
sera l'équation primitive d'où la précédente peut être censée dérivée; la quantité k est la constante arbitraire que nous avons vue, à la fin de la même Leçon, pouvoir toujours s'ajouter à la fonction primitive d'une fonction dérivée donnée, et qui sert à lui donner toute la généralité dont elle est susceptible. 11 serait inutile d'ajouter de même une constante au premier membre de l'équation, parce qu'elle se fondrait dans l'autre par la simple transposition dans le second membre.
Mais, cette constante étant jusqu'ici arbitraire, il fout la déterminer conformément à la nature des fonctions y ut z.
Pour cela, j'observe qu'en faisant a: = o on a
sinar=:o el cosx = i; donc j=:o, z = i. 11 faudra donc (jue l'équation que nous venons de trouver satisfasse à
L'OS suppositions; or elle dcviciil (l;ins ce cas l\ k\ <•!, <'()imiic /i est = (), on aiint /■ =^ o,
J,'('M|iialioii sera donc simplement
/(r +.rv/— ') = -^S^— •' et, passant de là aux ex[)onenticlles,
e étant, comme nous le supposons toujours, le nombre dont le logarithme hyperbolique est rnnité. Remettant pour y et :; leurs valeuis sin.r et cos.r, on aura celte l'ormule remanjuable
laquelle, à cause de l'ambiguïté du radical \/— i, donner également
celle-ci
• cos.r — sin.r y/ — i = e •'^^ ;
et ces deux, combinées ensemble, suffisent pour déterniiner les valeurs d(! sin.r et cos.r. On aura, en effet, après les avoir ajoutées on retranchées,
COSJ;:= 1
sin^ =
Ainsi les sinus et cosinus se trouvent exprimés par des exponentielles imaginaires, ce qu'on peut regarder comme l'une des plus belles découvertes analytiques qu'on ail laites dans ce siècle.
Ces formules peuvent aussi se déduire immédiatement de la comparaison des séries (jui expriment les fonctions sin.r, cos^- et e'', <'t (|iie nous avons trouvées plus haut (Leçons IV et YI). C'est de cette manière qu'Euler les a données dans le Tome VII des Miscellanea Bero/incnsia; mais, dans son Intwduclio, il les déduit des expressions algébriques des sinus et cosinus des angles multiples, par une réduction ingénieuse, mais dépendante de la considération des quanlilés intinies
o[ iiitiiiiiiicnt petites, et que nous avons tâché (le rendre rigoureuse dans la Théorie des Fonr lions (n"'* 22 et 25).
Comme ces mêmes séries avaient été données par Newton dans son Commerce avec Oldenburg, et étaient ainsi connues avant la fin du siècle dernier, on aurait pu dès lors parvenir aux formules dont nous parlons, et donner par là à la théorie des sections angulaires la perfection qu'elle n'a acquise que cinquante ans après par les Ouvrages d'Euler.
L'expression des arcs eu logarithmes imaginaires remonte, à la vérité, au commencement de ce siècle, et c'est une des plus belles découvertes de Jean Bernoulli, qui l'a donnée en peu de mots dans les Mémoires de V Académie des Sciences de 1702. Il y était parvenu en intégrant par logarithmes l'élément de l'arc exprimé par la tangente, comme Leibnitz avait trouvé la série qui exprime l'arc par la tangente, en intégrant le même élément par série.
Cette découverte conduisait aussi naturellement aux mêmes formules <'xponentielles; mais elle est restée longtemps stérile, et ce n'est que l()rs(jue ces formules ont été connues par d'autres voies, qu'on a vu (ju'on pouvait les tirer immédiatement de l'intégration.
L'équation
cosx H- sin^fy/ — i = d^V~i,
oii le radical y — ^ peut avoir également le signe -h et —, donne toute la théorie du calcul des angles. Car, en multipliant cette équation par
l'équation semblable
cosj- + sin j' \/ — I ^ ey\^ ' ,
on a
(cos^- + sin^v'~ i)(cosj-H- sinjy/— i)= e(-*'+.^'^\^"'.
Mais, en mettant dans la même équation .r -f- v à la place de .v, on
a aussi
cos(.r 4- j) + sinf^- + y')\l— i = e'-'^^r^'f-'^ .
Donc, en comparant cl développant le produit, on a
cos^ ces/ — siiiJt' sinjH- (cos^ siii>'+ ces/ sin ;r) y — i
= CCS [x -\-j]-\- sin ( X H- y) y— 1 ;
cl, ooMiiuc celle ('(iiKilioii (loil îivoir lien |)()iir les (lcii\ sii;iies «le s ~ ' < il s'ciisiiil (iiToii ;iiii';i S(''|(;ii«''iiiciil
cosjr cos)- — sillet- siiir = cos(x -i- j), cosjt- siii )• • siii^r COS)' :- siii \z" -!->•;,
toi'miilcs qu'on (IcmmoiiIi'c |>;ir I;i (i«''(»iiiclrie, cl (|iii sont le loii(leiiieiil (le loiile l;i (liéorie des ani;lcs.
La même iMiiiation, en élevant les deux nienihres à nne pnissancL' (|uek'onque m, donne
( cos jc + sin x\J — I )'" = e'"'^^ ' .
Donc aussi, en mellanl dans ré(|ualiitii |irimitive rn.v ii la j)lace de /■ et c(nn|)ai"ant, on a
(cos^ + sinx^' — i)'" := C()S//<.r -\- siiimx y - i ,
lonnule remarquahle autant par sa simplicité et son éléi^ance (pie par sa iïénéralité et sa fécondité.
II parait que ^loivrc est le premier qui ait ti'ouvé cette belle formule; on voit, par les MisceUanea analylicu, qu'il y a été conduit par la considération des sections hyperboliques comparées aux sections circulaires. Maintenant elle est devenue une vérité élémentaire, (pi'oii démontre [)ar le moyen des valeurs de sinf.r -f- y) et cos(.r-t-.v (pie donne la Géométrie, en considérant le produit des l'ormules sein-
blables
cosjc -+- siiijc ^/— I et cosK + sin ry/— I,
lequel se réduit à cette lormule semblable
cos(^ + >') "^ ^'" (-^ "^.^'' v'— ' ;
et c'est à Kuler (pi'on doit d'avoir transj)orté ainsi dans les l-'lrnicnls une lormule d'une si i^iande utilité.
Il est vrai (pie de cette manière ou ne peut la démontrer (pie pour des valeurs rationnelles de in\ mais il en est ici coinine dans la l'orniule iln
(lôvc'lopponient du ])inônie, et en général dans toutes les formules qui contiennent une indéterminée qui peut être un nombre quelconque rationnel; ce n'est que par la considération des fonctions dérivées qu'on en peut ])rouver la généralité pour une valeur ([uelcon([ue de la même quantité.
En prenant, dans la Ibrniule x|ue nous venons de trouver, le radical
V — 1 eu plus ou en moins, on a ces deux-ci
cosmx -+- sinm^ v' — ' = (cosjt + sin^y — i)'", cosnix — sinm^ y/ — i =(cosjc — siii^r ^— i)'",
d'où Ton lire aisément
cos^' -4- siii^ v^ — i)'" + (cos^c — sin^ v^— ')'"
cosnix
( ces .V -f- sin X J— I )'" — ( ces x — sin x J — i )'"
sui m X = — — ^
Si l'on développe les puissances //^''^^^ par la formule du binôme, les imaginaires disparaissent, et l'on a ces expressions en série
cosmx = cos"'x ^ cos'"^-.r sm-x
H — ^ ■ cos"*- ' X sm ' X — . . .,
m {m — i]{m ^ -î] smmx = m cos'"^' x smx cos'"~^x sni^.z' + . . . .
Ces deux formules avaient été données dès 1701, par Jean BernouUi, dans les Actes de Leipzig-, mais sans démonstration, et on voit, par la Letti'c 129 du Commerciuni cpistolicum, et par le Traité des Seclions coniques de l'Hospital, qu'ils les avaient trouvées en cherchant successivement, par les théorèmes connus, les valeurs des sinus et cosinus des angles doubles, triples, etc., et en observant l'analogie des termes de ces valeurs avec ceux du développement du binôme. En ellct, si l'on fait successivement j^ = £«?, 2.x, 3x, ..., dans les
l)i:S FONCTIONS. U;^
lonimlcs (loiiiiccs <-i-(lcssiis |M.iir siii .r+ Vi cl cosf.r -+- .v), cl (iiToi, sultsdliic il iiu'suic lc> v;ilciiis prrccdcnlcs, on lionvc
siiiijj -^ '2 cosx siiix,
siiijx = 3 cos-xsinx — siii^x.
(loi)l r;iiKiloi;i(' avec les icniics des puissances coiT('S|>(Mi(l;ml("s du l>iiiùiuc est manifeste.
D'après cela, il est étoiiiiaiil (|iic Jean |}«'in(»iilli n'aii |,;,s (loiivc les expressions tiuics de siii//^r cl cosm.r, cl (|n"il ail (aliii encore vin-l ans |»our ({u'on parvint i» la lorinnle donin-e par .Moivre. Ainsi Jean Hcruuulli a touche deux Ibis à la nicnie découverte, <-| il en a laissé la gloire à ses successeui's.
Les formules précédentes renferment les puissances de sin.r cl cos.r mêlées ensemble; comme on a toujours
cos-o.- + shi-x =: 1 ,
il est possible de faire disparaître toutes les puissances paires de sin.r ou de cos^-, et d'avoir des formules qui procèdent suivant les puissances de cosj:- ou si 11 a;-.
Il serai! dillicile de jtarvenir à des séries regulii'res par la sim|)le Mibsliintion; mais les formules connues
^cosj:cos/»jr = cos(w -+- i)x-hcos{m ~ i)x, 2 C0S.Ï sinmjr ^ s\n[ni -j- i]x -+- sh^ m— i ]x
font voir (pie les cosinus et sinus des miilliples de .r formenl deu\ séries récurrentes dont l'eclndle de ridaiion est 2 cos.r- — i.
Ainsi, en partani des premii'res valeurs de cos///.r et sin///.r, bnscpir /y/ ,, et /n -^ i,cl mellanl, pour plus de simplicile. p et y ii la pj;,,-,.
(le cos.r cl sina-, on trouvera successivement
COSoar =^ I ,
COS \ X =: p,
cos-iji' = "îp cos^' — coso^ = ap- — i , ces 3^ r= 2/; COS 2 37 — cos^ =4/^'^ — 3/;,
d'où résulte la Tal)le suivante
et, en général,
COS I X = p, COS? A' = ■?./>- — l , ' cos3x = 4/^'' — 3/'' cos4r = 8/^' — 8/>- + I , cos5.r = i6/> ' -- iop'^ + '~^p,
?. cos/«x = (2/; '" — mi-i/j)"'-- -4 ^ ^(2/> )'«-'— — ^ ^ ■{ip)'>'~^
On trouveia de même
sin I i = (j, sinao: =^ 2/;g, ^ sin3xr^ [^p- — i)q, sin4^ = (8/>3 — ^p]q, '&\n~)x = [i6p'' — inp- -+■ \).q,
et, en général, sin ma:— (2/;)'"-'-(m — 2)(2/?)'«-3^ ^ ^- ^ ; 2/? )'"-••-.. . y.
f.es séries procèdent suivant les puissances descendantes de p-, on peut en avoir aussi ([ui procèdent suivant les puissances ascendantes de/>»ou d(î c/; mais il faut alors distinguer les cas de ni impair ou pair.
Soit i" /// impair; on aura
COS ÏX := p,
cos3x =— [ip — 4^'')»
cos5.r =^ 5p — -îop'^ -h iGp',
ri, cil i^('ii('i";il,
roanix :
=h I mp
mlm- — i) , m{m- — }]lm'- — q]
le slf^iic supri'iciii' ('hiiil pour le cns oii /// csl de l;i foiiiic ]/t ^ rint'ériciii' pour celui où /// csl de l;i l'orme /j // -j- k Ou ;nir;i de luèuie, lors(pie /// esl inip:iir,
sinm^
et. en i^éueral,
SIM 1 a- (j,
ii\\\?>x - : — ^(i — 4/*')»
i siii ").i- = </ (i — xip- -\- i(yp'' ;,
, fn- — i (^?- — 'K^"' — 9) , (m-' — i)(m=^ — 9U/»-— >.'V
OÙ fou observera, à l'égard des sigues ambigus, la uièiue regb' ci-dessus.
Soil 2" /n pair; ou aui'a
cos2.r = — (1 — 2p-),
cos4-a? = I — Sp- + Sp\
cos()^:=— (i — 18/;- + 4*^/^' — ^^p^).
(juc
co
et, en général,
, r "'" ., m'-lm- — ^] , m'-{m'- — A)i m- — 16
sm.v = ±\ I p^^ o / >' ^ ., V'- -■ p
l'jisuilc
sin4^' "=— Ç[^p ^ ^/'•')>
siii 6jf = (ji^p — 32^'' + 32^^ ,
et, en t>énéral,
sm m X
mp
116 LEÇONS SUR LE CALCLf.
A 1 ciiîinl (les signes amhigus, on j)i'cn(li';i les signes snperieiiis lorsque m est de la iornie \ii ^ •?., et les infériems i(»i's(|ue itt esl de la foi'iiie \n.
I^niiii ou aura aussi, à eanse de jr = \ ~ (f : i" IN»iir le cas de /;/ im- ])aii-,
, COS l X ^:z p, (G) ' C()s3^ =/;(, -zf^^j^
cl, (Ml gênerai,
COS /H ar := « I —
Ensnitf
