TMT^TTÏ

Sin t X =: (J,

siii3.r =3 3^ — 4(^i,

sin "i^ =z "i^y — o.o^y i -t- i6cj ',

cl, en général,

smmx — - /«(y — — ! q3

:>" Wnw le cas de /// pair.

cj-

cos2:r = I — 2ûr-, cos4^ = «— 8(y- + 8^'', i cosGx ~ I — i8</2 + 48^'' — 32 ç",

cl, en général,

cosm.r = . - ^9^ + m^(m^ 4) ,, "'M^^^^ - 4U/"^ - lO'

Knsnile

sni2.r = ^pq,

sin4x :^p[\q ~ 8(/-'j,

et, en i^riM'ial,

IIKj

J'ai rapporte'' ici ces dillrrcnlcs ronniilcs, parce (|ii(' je iic c(iiiiiais aiicim (»UM'ai;(' 011 elles se Iroiiveiil réunies, et siirtoiil parce (pTelles nous Ibiirnisseiil l'occasion de l'aire [)liisienrs i'eniai'(|nes (pii pourront intéresser les lecteurs.

Nous observerons d'altord (pn* les lorninles des Tables (A), (B), Il et(I ' oui été Irouvées par \'ii'le et répondent ;i c(dles (pn- Vou voit aux pages 2()j, 2()y et 2()() de ses OEuvrcs iinjtri niées ;i Leide eii i()'|f). Il faut seulement observer que Viéte a considéré les cordes plutôt <|iie les sinus ou cosinus; or 2 cos.r étant la coi"de du complément ;i deux droits de Fani^le :m', les (juantités 2C0S2a-, 2C0s').r, ... seront les cordes des compléments des angles doubles, triples, etc.; cl la Table (A) devi<'ndi'a celle de la page 290 de Viète, en multi|)liant tous les termes [)ar 2, et faisant 2/> = N, (2/j)- — Q, ( 2/;)'' = C, ..., suivant sa notation.

A l'égard de la Table de la page 297 de \'ii'te, elle donne le ra|)port des cordes des arcs doubles, triples, quadruples, etc., ii la corde de l'arc sim|)le; et le premier de ces rapports y est désigné par N, dont le carré est Q, le cube C, etc. Ainsi, en prenant 2sin.r pour la corde Av

,, . , , . , sin>..r' sin.^.r lare simple, ces rai)norts seront représentes par —. ^ —. -, •••;

et la Table dont il s'agit s'accordera avec la Table (B), en l'aisanl sin IX

sin^-

= 2/j = N et divisant cliaque équation par la |)reniière.

f.a Table de la page 2()() de \'ii'le renreruH' les deux Tables (H) et(I ), en niulti[)liant tous les termes de ces Tables par 2, et faisant 2y — N,

Il m'a paru intéressant de monti'ci' ce <pu' Viète avait fait sur l'objc! dont il s'agit, et surtout d'indiepuM' Icscpndles des formules conniu's pour la multiplication des angles lui sont dues, ce (pi'on n'avait pas encore fait, (jim je sacbe, d'une manii're tout à fait exacte.

Au reste Viète n'a pas donné les l'urniules générales de ces Tables; il a donné simplement le moyen de les eonliiiuer aussi loin qu'on Vdudra, en indiquant la loi des tei-mes et de leurs coefficients.

Dans les mêmes Actes de Leipzig pour 1701, déjà cités plus haut, Jean BernouUi avait aussi donné, sans démonstration, une formule générale pour les cordes des arcs multiples, la(|uelle revient à celle de la Table (B), en observant (jue 27 est la corde de son complénu-nt à la demi-circonférence.

Ensuite Jean Bernoulli a donné, dans les Mémoires de l'Académie des Sciences de 1702, deux formules pour les cordes des arcs multiples, qui répondent aux formules générales des Tables (H) et (I), en observant (jne, 2(y étant la corde de l'arc 2^, et 2/j la corde de son complément, 2 sinmj:- sera la corde de l'arc ///•'i'*'' et 2 cosw^- la corde de son complément. Mais la première de ces deux formules avait déjà été donnée par Newton dans sa première Lettre à Oldenburg, imprimée dans les OEuvres de Wallis.

Enfin nous remarquerons qu'il n'y a que les formules générales des Tables (A), (B), (H), (K) qui se trouvent dans V Introduction d'Euler (Chap.XIV).

Mais toutes ces formules n'ont été données ici que par induction, ou bien en supposant que le nombre m est un des nombres de la série 1 , 2, 3, . . ., de sorte qu'on peut douter si elles s'appliquent à d'autres valeurs de m.

De plus, si l'on considère les formules des Tables (A) et (B), on voit (ju'à la rigueur elles vont à l'infini, même lorsque m est un nombre entier positif; car, en faisant w = i, la première donne

cosx

f\p i6/>' 64 />^ et la seconde donne

sm^ = o-f-7-^H — -7^+..., ^ ![p- ibp'

valeurs qui sont évidemment fausses. Il en sera de même en donnant

DKS FONCTIONS. 119

;i ni (I aulrcs Vîilciirs (|ii('I('(»m(|II('S nitiri-cs cl positives, cl (cikhiI (•(tmptc (le lotis les lertiies (|iii ne soiil |»;is iiiils.

Il est vi;ii (|iie, \v,\v l;i ii:iliire des hiMes ' k) et (H) (loiil ces rormiilrs

ne soiil (|iie le ternie ;4enei;il ne doit y employer (|ne les termes

(|ni contienneiil des pniss;iiicc> positives de/>; mais, coninie les lernies (|ni snivent ne sont pas unis, on m- voit pas, <i priori. poui'(|noi l'on doit les rejeter, et l'on voit moins encore ce (|in' la iormnlc exprimcrail en ne les rejetant pas. Niuis réserverons le deniMHMm'nt de ces dilliniltes ponr la Leeoii suivante.

120 LEÇONS SUR I.E CM.Cl 1,

LI'CON OlNZIÈMK.

SI m. I)K L ANALVSK DKS SKCTIONS ANCl'LAIliKS, OU L ON DK.MOMKK LKS rOKMlLES GÉNÉKALES DES TAItLES DONNÉES DANS LA I.ECON l'IiÉCÉDEN TE,

K('|>rciions h's expressions générales de eos//^i■ et sinm.r données dans la I^eçon précédente; faisant

cosa: = p, el par conséquent sinx = ^'i — /)-, on anra

/ : — Z ' \in , ( i 'Z \/"

■X cos m X =z[p -+- y p- ~ i] -!-(/> — \'p- — I j ,

2 sin m x\'' — i=:[p + \lp'- — i j —\p — \l p- — " ) .

Nous ol)serverons d'abord (jue ces formules sont tcnijoni-s vraies,

(|nel que soit le nombre//?, parce (jn^dles ont été déduites de récpia-

tion i;énérale

cos ^ ± sin ^ \/ - - I = e* ' V '

élevée il la puissance ///. Ainsi les doutes <jni pouri'aient rester ii cel égard disparaissent ici entièrement.

Tout se réduit donc ;i développer, suivant les puissances de />, l'expression

('onune les (juanlités /> -+- \ jr — [ et // — si P' — i sont les àvxw racines

de ré((nation

z- — ipz + I = o,

je ferai usage du lliéori-nie (\uv j'ai démontré dans la Note XI de la

lk'S()luli()/i </('s ('(iiKiliofis imtm ruines, siii' la soniiiic des puissances des racines (l(;s é(|uali()Ms.

Suivant ce lliéori'iMe, si l'on a une é(|nali()n (jn('lc()n(|iie de la (urine

où ;r est riueunniie, la lorninle

n'elanl continuée (|ue tant (ju'il y aura des puissances négatives de u, donne la somme de toutes les racines élevées chacune à la puissance — /// ; mais, élanl continuée \\ l'intini, elle ne doiiiu' (jue la nn-me puissance de la plus petite des racines. Les (]u:intités/-(M), /''(m), ... sont le carré, le cube, etc. de /(«); et les traits appliqués aux parenthèses désignent les fonctions dérivées des fonctions de // rcnrcrmées entre ces parenthèses.

Ainsi, dans notre cas, si l'on change :; en .r et qu'on divise l'écpiation par ip, coellicient de .r, elle deviendra

la(|uelle, étant comparée à

« — X -+- f[^) = o, donne

u —: — , et f(\rl= — ; 'ip '' ^ ip

donc

de manii're (|iu' la série précédente deviendra

■i.f/ \-?..[-2p)-j \2..'s.[ipy

oii il faudra faire // = — , ainrs avoir lu'is les Jonctions dérivées desi-

■ip *■ '

gnées par les traits api)li(piés aux parent lit'ses.

(«-'«)' = — mw-"'--',

((M-'«)'fr*)' = (— nm-"'+'^y = m[ni — 3)?« "'+2^ ((?«-'«)'w«)"— i—mu-'n+-)"=— m[m — 5)[m — 4)?< '«+\

Ainsi la série deviendra

Faisons maintenant 11 = — , et l'on anra la série

, 2;?)'« — m[ip)"'^^ ^ U ^ (2/? )'«-'• ^— — ^^ ^2/?)'"-'! -

laquelle, étant continuée seulement tant qu'il y aura des puissances

négatives de ■ — •> c ^ ip

inera la valeur de

négatives de — -, c'est-à-dire des puissances positives de 2/j, expri-

ce qui est la même chose que la valeur de

à cause de

Ainsi, dans cet état, la série dont il s'agit donnera la valeur de 2cosm.r, ce qui s'accorde avec la formule de la Table (A).

Mais, si l'on continue la série à l'infini, alors elle ne donneia (juc la valeur de

puisque /; — v^/;- — ï est la plus petite des deux racines; ou, ce (jui revient au même, elle donnera la valeur de

KP^ \'p- — y

1*0111' nous convîniici-c en cHcl (juo la série précédcnlr, prise dans lonlc son ('■tcndnc, n'est (jnc le drvcdoppenicnl de celte (jiianlité, nons allons chercher ce drvcdoppenient [)ar iin<' marche dire(;te, ce cpii sei'vira d'cxeniph' de hi nianii'j'c d'employer les fonctions dérivées dans ces soi'tcs de r(MdHM'(dH'S.

Supposons donc (ju'ii s'agisse de développer l'expression

(/?■+- y///-— ')'" dans une série descendante de la l'oi'me

Ap"' + By?'"-' ■+ Cp"'- - -+- Dp"'-^ H- ... ; si Ton divise de part et d'autre par//", et qu'on fasse - = z, on aum

(i + s/T^T^)"' = A 4- B2 + Cz- 4- Dz^' + . . . ,

où l'on voit (|U(^ la série ne peut avoir que des puissances paires de z. Ainsi, en faisant u = z-, on aura la fonction

à développer suivant les puissances de //.

Donc, par la formule générale donnée à la tin de la Leçon IX, si l'on fait

/(") = (i + s/i — ii)'", on aura

^ii /, /', /", ■ • . sont les valeurs de /{u), /'(")» /"(")' • • • lo''sque u z= o, et forment ici les coefficients A, C, ....

Ainsi l'on trouvera d'al)0!'d/= 2'"; ensuite on aura

et de là

et ainsi de suite.

12i LEÇONS SUR LE CALCUL

On peut de cette manière avoir successivement tous les coefficients (le la série; mais on n'en aura pas la loi, ce qui est le plus essentiel.

Pour la trouver d'une manière générale, je reprends la formule en /> et je la suppose égale à r, ce qui me donne l'équation

Je remarque maintenant qu'un des principaux avantages des lonctions dérivées est de pouvoir faire disparaître dans les équations les puissances et les radicaux. En effet, en prenant les fonctions dérivées par rapport à p et regardant y comme fonction de /;, on a

cette équation, divisée par l'équation primitive, donne

multipliant en croix et carrant, on aura

r"-[p- — ^) = fn-r--

Prenant de nouveau les fonctions dérivées par rapport à p, on obtiendra

2r '/'(/>- — 0 + ^r'-p = ^m-yj',

d'où, en divisant par 2 y', résulte cette équation du second ordre en y el/>

'^ï-r-pr' ~ [p- — ')r"=o,

laquelle étant, comme l'on voit, linéaire par rapport à y et dégagée de radicaux, est très propre au développement de y en série. En effet, il n'y a qu'à substituer pour y la série

A/?"' H- B/9'"-' + Cp'"-- + Bp'"--^ -t- . . . ,

et par conséquent pour y'

m \p"' - ' + [m — \) ïip"'-^ + ( m — 1 ) Cp'"-^ a- . . . ,

et |K)iii' y"

m [m — \ ] \p'"-- + [m— \){ni— ■?.) B/>"' ^4-

Oi'duiiiiuiil lus Icniics suivaiiL li'S puissances de />, (jii aura

[ A?i- A — /;/ A — m [m — i ) A ] p'"^ -+- [m-W - [m— I ) B — ( m — i ) ( m — 9. ) Ji]/>"' ' + [m^C — (m — -îjC — (/» — 2)(/n — 3)C -h m(/» — ij A]/;'" - + [/n-I) -(m- 'i)l)— (m -3) (m — 4)1)+ (m- i)(m- a)H]/>"' '

Comme cette équation doit avoir lieu indépendammciil de />, il faudra éi^aler à zéro le coefficient de cliaque terme.

Le coellicient dey/" disparaissant de lui-même, c'est une niai'(ju(' que le coefficient A demeure indéterminé.

Le coefficient de //""' se réduit h m^B — (w — i)-B, qui ne pcul devenir nul à moins de faire B = o. Or, B étant nul, il est facile de voir que les coefficients de //"~% //"~^ ... ne pourront aussi deveniinuls qu'en faisant D = o, F = o, ....

Maintenant le coefficient de//"~* se réduit à

m- (] — ( m — 2 ) - (] -I- m [m — \]k, celui de //""'* se réduit de même à

et ainsi des autres.

On aura donc, en réduisant, les équations

8 ( /?i — 2 ) E + ( /n — 2 ) ( /?i — 3 ) C = o, ii[m — 3 ) G -f- [m — i ) [ '» — 5 ) E = o, » >

lesquelles donnent la loi suivant lacjuelle les coefticients A, (], 1% (J, ... dépendent les uns des autres.

()ii lirr de ces équations

8 ~ 4.8 m — l\]{ni — 5 ) E in{m ~ ^)[m — 5 ) A

Or nous avons vu <}ue le premier coefficient A est égal à 2'"; ainsi on aura ce développement

; \m / X / \ ., w{m — 31 , , , mi m — i]{m — ^i] , ,

p -r K'fy' - ' ) = i^PY" - m (2/>)--2 + —^ [ip]"^-'* ^ -±-^ 1 [np]'-'^ -

(|ui s'accorde avec la série trouvée ci-dessus.

Cherchons de môme le développement de {p — \p- — 1)'". Comme cette expression ne diffère de celle que nous venons de traiter que par le signe du radical, lequel ne se trouve plus dans l'équation dérivée en y dont nous avons fait usage, il s'ensuit que la même formule, que nous venons d'obtenir, pourra encore s'appliquer à ce développement, il faut seulement remarquer que, comme les premiers termes du ra-

dical \/ p- — I sont p — — ■ ^ 'le premier terme du développement

dont il s'agit sera - — ^? de sorte qu'ici il faudra prendrez négative-

ment; et, comme l'équation dérivée en y ne contient que //^^ on aura nécessairement la même série en y changeant seulement m en — m, ce qui suit d'ailleurs aussi de ce que

( P - \Jp- — 0'" = {p-^\lp- — ^) '" ; on aura donc

(/; — v'//- — I ) = i^-p)'"' + "î [-ip)-'"-- -+- — ^ {-îp)-'"-' -f ^ ^^ {■2p)-">-

Si maintenant on réunit ces deux séries, on aura la valeur de 2 cosw^;

donc

■l ^ ' ' 2.3 \ ri -r . . .

C'est le (léveloppcincnt complet (le aeos/z^.r en piiis>;m(cs de eos.r, pour une v;ileiii' (|iiele(»ii(|iie de ///.

Si maiiiteiiaiil on lail ici ni = \, on ;i

COST =z p — -—

on Ton voit (jne les deux séries se réduiseiil au prenjiei- terme y>.

I^:n donnant à /// d'antres valeurs entières et positives (luelconques, on trouvera toujours que la seconde série, qui contient les puissances négatives de/;, servira à détruire dans la première série tous les termes t|ui contiendront ces mêmes puissances; c'est ce qu'on peut démontier en général par la loi même des deux séries; de sorte que le résultat se réduira aux seuls termes de la première qui contiennent des puissances positives de />; ce qui revient à ne conserver dans cette série que les termes où/> est élevée à une puissance positive, ou nulle, comme nous l'avons trouvé plus haut a priori.

Mais lorsqu'on donne à /n une valeur fractionnaire quelcon(|ue, les <leux séiies ne se détruisent plus, et leur réunion est nécessaire pour avoir la valeur complète de 2 cosmr.

I<]n prenant la difierence des deux séries au lieu de leursonnne, on aurait la valeur de sin///.r\/— i; mais sin//?.r serait exprimé de cette niaiiière par des séries infinies et imaginaires. Pour avoii- une exjii-essiou ré(dle, il surfit de considérer (jue la fonction dérivée de rosm.r est — ///sinw.r, et que celle \\e p est — y. puisque

/? = cosx et ^ = sinjr; de manu-re (ju'en prenant les fonctions dérivées des séries trouvées

pour coiinix, on aura sur-le-champ, en changeant les signes et divisant par -if/t,

suMu X —l {'2jj]"'-' — [m — 2 ) ( 2/> )"^^3 + ^ "' ~ '^ '^ ~ "*' ' {o.pY'-'- — . . . q

Cette expression se réduit aussi à une forme tinie, lorsque /?? est un nonihre entier, par la destruction mutuelle des termes qui coiUieiidraient des puissances négatives dey?; de sorte que, w étant un nomhre positif entier, il suffira de prendre dans la première série les termes (jui contiendront des puissances positives deyo; ce qui s'accorde avec la formule de la Tahle (B).

Lorsque m est un nombre fractionnaire, les deux séries vont à l'infini, et, jointes ensemble, elles donnent la vraie valeur de ^\nmx développée suivant les puissances descendantes de cos^-, comme cela a lieu pour la valeur de cosm.r.

Euler a le premier reconnu cette espèce d'imperfection des formules connues des Tables (A) et (B); il a fait voir, par une analyse à peu près semblable à celle que nous venons de donner, que ces formules, pour être générales et applicables à des valeurs quelconques de m, doivent être complétées par des valeurs semblables où l'exposant tu est négatif.

J'ai cru devoir entrer dans ce détail pour l'instruction des jeunes analystes, et surtout pour montrer que, si l'Analyse paraît quelquefois en défaut, c'est toujours faute de l'envisager d'une manière assez étendue et de la traiter avec toute la généralité dont elle est susceptible. [Voyez le Tome IX des Nova Acta de l'Académie de Pétersbourg.)

Nous venons de développer les expressions

vV=

suivant les puissances descendantes de/;; on peut de môme, et par le moyen de la même équation dérivée en r, les développer suivant les puissances ascendantes de p, ce qui nous donnera les formules des

T;il»l('S (C), (D), (E), (F), cl |)()iii'i;i iiiriiic servir ;i les coiiiplrlcr jiniir toutes les valeurs de ///.

Supposons (loue, en i^énéi'al,

r = \ 4- H^^ -+- Cyy-' -f- 1)/^» 4-

Siihsliliianl dans la iiièiiie é([iiali()ii, el ordoiinanl siiivaiil les [Xiissauces de p, on aura

H- (m^Ji — iB + 2.30)/) -f- (m-'C — 2C -f- 3.4E — .2C);>2 + ( mH) - 3 D -r- 4 . 'i F - 2 . 3D /; ' + ( /?i-i E - 4E -^ ■") . 6(; - 3 . 4 E //•

l']i;alanl donc \\ zéio chacun des coefiicicnls des puissances de /^ un

aura, en réduisant,

oj - A H- 2 ( ] = o ,

d où I on tii'c, en substituant successiveuieut les valeurs précétientcs,

ni' k

(m- — il(m- — q)B

Les coefficients A et B étant restés indéterminés, il faudra les déteiininer \):\v Ja nature de la ibnction ->'. Or il est visible qu'on a

A =7, B=/, en faisant/^ = o. Ainsi, puisque la fonction y est égale à

on aura d'abord, en faisant p =^ o,

Ensuite, en faisant /> = o dans la fonction dérivée y' trouvée ci-dessus,

on aura

Substituant donc ces valeurs de A et B, on aura le développement (le l'expression

{p-\-\lp- — i)'"-

Pour avoir celui de l'expression

[p~ sjp- — i)'",

il n'y aura qu'à prendre le radical \ jr — i en moins; mais, comme ce l'adical n'entre plus dans l'équation dérivée en r, par laquelle nous avons déterminé les coefficients de la série, il s'ensuit qu'on aura la même série pour cette dernière expression que pour la première, aux coefficients A et B près, qui pourront être différents; et on trouvera ici, par le même procédé.

Donc, puisque la somme de ces deux expressions donne la valeur de -j-tô^inx, comme on l'a vu plus haut, on aura cette valeur en substituant dans la série A h- B/; + Cy;^ + . . ., à la place de A et B, la somme des deux valeurs qu'on vient de trouver, c'est-à-dire en faisant

.Mais, [unir avoir les valcnrs de A et lî dcgagôes (rimaginaiics jtoni- (onlcs les valcnrs {\v m, il n'v a (|ii';i cni|»lovcr la lorninlc i;cncialc

(cosji-' -\- siiix \l — i)'" = cosm.r -f- sin nix \ — i ,

et Y supposer ,r égal à Tangic droit, car alors cos.r — o cl ^in./ i: ainsi, en adoptant l'angle droil ponr rniiité des angles, et prcnanl le radical \ - i en -h et en — , on aiiia

( zh v^ — I )'" == eus m ± sin m y — i ,

et les valeurs de A et U deviendraient

A = -2 ces m, IJ -^ ■->, m ces [ni — i ) .

On aura donc en général, pour nu nonihi'c (luclconque ni.

ces m

/j? ( m- — I ) m ( /7i- — il' '»*'- — 9 ]

p^ ->r ... cosni

ces /?< — I

T(d est le (lév(doppenient complet de eosw.i- en série ascendante de /> ou cos.r. On voit (jue, lorscjue /// est un nombre entier, il y a toujours une des deux séries pai'tielles <jui se termine, et (|iic l'autre (|ui irait à l'inlini dis|)arail parce (jir(dle se trouve toute niullijdicc |»ar un coel'ticient cos/// ou cos(/;/ — i), (|ui devient nul. On a alors l'une ou rauti'c des Tables (C) et (E). Mais, lors(|ue /// est une IVaction i\\\v\con(|nc, les deux séries vont ii l'iulini, et leur réunion est nécessaire pour avoir la valeur compli'te de cos///.r, ce (|nc personiu', ce nie semble, n'avait encore obsei'vé.

\i\\ pi'enanl les Ibnclions dérivées, comme on a l'ait plus liaul, poui-

déduire la valeur de sinm^ de eelle de cosmx, on aura aussi, à cause de// = — r/,

r m m- — 4^ wm- — \][m- — \(S\ „ ~\

-f-j^i :^p--h ^~ ^-^-^ J^.....J,ycos;m-il

pour le développement complet de siii///.^', quel que soit /f>; où Tou voit que, lorscjue /?? est uu uouibre entiei', on a les (briuules des Taldes ;D)et(F).

Il nous reste à considérer encore les développements de cos//?.r et sinwr, suivant les puissances ascendantes de q, conformément aux Taldes (G), (H), (I), (K).

Pour cela nous remarquerons d'abord qu'en faisant sinj;- = ^, on a coScT := y 1 — q-, et les expressions générales de cosm^ et sinm.r deviennent

■2 cosmx = (\/ 1 — (jf- + q^/— 0'" + ( V^' — </' — </V'" '/"»

2 sininx\J— 1 1= (y/i — ry- + (/y — 1)'" — [s/ i — q- — q\'— f )'" ■ Il ne s'agit donc que de développer les formules

[sji-q-'±q^^i)

en puissances ascendantes de q.

Faisons

on aui'a, en prenant les fonctions dérivées par rapport à q,

^nl{s|T^^--^q^J^r^)"'-'[^J^-q■^s,l^^^-q) ^i- q-

m y/— \{\l\ ~ q- -\- q\j — i)'" \lï — q-

l)ivis;ml (('Kc ('(jinilioii [kii- riMiiiiilioii juiiiiiliNc, on ;i

ni \J — I

iiiiilll|)li:iiii en croix cl (-iinaiil, on ;ini-:i

ni- z- .

I*i'('n;int de iionvcitn les loiHiions drrivccs cl <livis;inl |);ii' :>.-\ nii oitticndr;! ccHc c(|nalion du second ordre en -

ni-z — qz' — (</'- — i] c" = o,

(|ni est, comme l'on voit, enli('renicnl scndilahle ;i rc(|u;tlion en y cl p Irouvée plus haut.

Ainsi, en supposant

:;=: A + B^ + C^-^ 4- Dry ■':-...,

on li'ouvera les mêmes valeurs des coefficients ; mais, comme les deux premiers A et H demeurent indéterminés, ils poui'ront être dillcrcnls, :i raison de la diversité des fonctions y et z en p et en (/.

Pour lr(niver ici ces deux coeflicients, ce (ju'il v a i\v jdus simple, c'est de (du'r(dier par le développement actuel les deux picmicrs lernie^

de la série. Or, puis(|ue \ r — r/^ donne

il est évident (juc les deux [U'cUjiers termes de

sont I -\-nif/\ — i: ainsi l'on aura

Lp développement de

(v^'-fy'-'/v— 0'"

sera le même en ehaiii^eaiit seulement \ — i en — \ — j ; ainsi l'on aura, l'plativement à ce développement,

Donc, poui' avoir la somme des deux développements, il n'y aura (|u';i prendre pour A et B la somme des deux valeurs eorrespoiidantes, ce (jui donne

Et, pour avoir la difFéreuce des mêmes développements, on prendra la dillérence des valeurs correspondantes de A et B, ce qui donnera

Faisant ces suhstitutions, on aura donc, en divisant par 2 et par 2 V — I ,

m- ^ m- ( m- — 4 ) '"'" f '"" — 4 1 [ni- — 16 1

mi m- — I ] ^ m [m- — i](m- — o )

sinm^ = ma q^ h ^ ., . . -— a-' — ....

Ces formules sont, comme l'on voit, les mêmes que celles des Tables (I) et (Hj; mais, par la manière dont nous venons de les trouver, on voit en même temps qu'elles sont générales pour des valeurs quelconques de 7?i. Cependant, comme la première ne se termine que lorsque m est un nombre entier pair, et que la seconde ne se termine (jue lorsque 771 est un nombre entier impair, elles ne peuvent servir pour la section des angles que dans ces cas; mais on peut, en prenant les fonctions dérivées, comme nous l'avons fait ci-dessus, déduire de ces mêmes formules d'autres formules qui se termineront justement dans les cas où celles-ci vont à l'infini. Pour cela, on se rappellera que les fonctions dérivées de cos/«.r et sinm.r sont — //isin//z.r et 77icosr7i.i-, et que celles de p et q sont — q et p; de sorte que les deux équations

'"'""''""•' I»:"" ';i <l«'iiv;ili<)ii, rcs (|cii\-ci :

'I"' '•'■"P<»'i'i''"l. <„„.,„.. l'on voit, aux Ion,,, îles ,lrs Tahlrs ' K ) cf (; , ,.| M". soMl ,K.,- roi,srq„r,.( .„ssi i,r„rralrs ,,o,„. .l.-s v;.l..,„.s .|.„.|,.o,„,ù..s .I.- //^ A.nsi (oulrs 1rs lonn.ih.s ,lr res (lillercntcs T.hl.s son! .|,.„.onliccs iVuiw inailii're géiiéralc.

U' lliéori.,,,,. (Ir CoK.s est si intimomciU lié à la ih.'-onV .1rs s.tHoos angula.irs, que nous „e pouvons nous (iispcnsn- ,1',.,, .lin- „„ ,„ui ir, On Ignore comment Cotes Ta trouve, et on en a donne après sa mort •l'Ilnentes .len,onstrations pins on moins simples, et mèn.e plus „„ •"o.ns rigoureuses. Sans avoir reeours aux expressions i,na^i„a„-,.s eomme on le lait roiun.uuement, on peut le dùcluire .lireelemeni .l.-s formules mêmes données par Viéte, (,ue nous avons rapportées da„> la Iwlde(A); et il est vraisemblable que c'est ainsi ,|ue Cotes v . -si pa,-

venu

l-:- t'IIet, si Ton multiplie ces formules par . et qu'on v suppose p=y + -, ,.||(.^ se réduisent à cette forme simple

?. ces I se =