COS2X =: J
2 C0S3JC r:^ V-) -j- " , 2 CCS f JC = v-> -I- J-,
d"où il est facile de conclure, en général,
2 cosm.r =j'" ■+-
Pour se coiivaiiKM'c (riinc inanièrc plus directe de la généralité de celle formule, il suf'til de considérer que si, dans l'équation
2 cos^ cosm.r = cos[m — ï)x -\- cos(m + i)^,
011 l'ait
o. cos.r = >■ H — )
cl (|u'on suppose (jue denx tei-nies consécutifs 2C0s(m — i)x et •^. cos///.r- soient tle la l'oi'Mie
elle donnera ■., cos f m + ^)x= (r + j}j ( r'" + y^}j - ( j"- ' + ^) - r'"-' + ^^ •
Ainsi, pourvu que les deux premiers termes 2 coso.r et 2 cos^ soient
(le la l'orme y'" -\ » en faisant m = o et m = i, ce qui est en effet,
lous les antres seront nécessairement de la même forme. Maintenant les denx équations
?. cos ^ = r H — ' 2 cos m X = r'" H
donnent ces deux-ci
y- — 2j- cosx + I = o, j--'" — ■}.)•'" cosmx + 1 = 0,
(jui doivent donc avoir lieu en même ten)ps; par conséquent, il faut qu'elles aient une racine commune.
Ce dernier théorème a été donné par Moivre, sans démonstration, dans les Tirinsadions plulosopJiujiws de 1722, année où a pai'u Vflarinonid mcnsunirufn de Cotes, qui était mort six ans auparavant.
Soit maintenant a la racine commune à ces deux équations; comme
(dles demeurent les mêmes en v changeant r en --, il s'ensuit (fue -
sera encore une racine commune aux mêmes équations; mais l'éciua-
tion
y- — 2 y iiosx + 1 = 0,
DKS FONCTIONS. I37
i>'rl:iiil (|iic (lu second dc-n'-, iir pvul avoir que les deux nicincs o cl '-: «lonc ccllr r(|ii;ili()ii ;i loulcs ses niciiips rommiincs ;ivr<-
}•-'" — 7.y"' VOS /Il X -f- I = o;
|>;'i- (•.•iisrqiiciil elle csl nécessaireiiiciil un diviscm- d'c (-(dlc-ci. Soi!
mxzzzcr,^ (Jonc x=— :
il siiil d(. (•,. (|,ro|i vi,>,i( de déniontiTi' (pic la romiiilc
y-'" — •>,;•"' ces 9 -I- 1
a |)our diviseur celle-ci :
j- — 'if ces — -h I ,
(iiie
/fi ctaii( un nombre (|nel(on(jne entier.
Or, SI c est la circoiilerence ou Fani-lc de quatre droiles, on sait cos© = cos(o + //r), // étant un nombre quelconque entier; ainsi, en mettant o 4- //r à la place de o, et faisant successivemenl // = <,, ,, '2, . . ., /// — I, on en conclura que la formule
a pour diviseurs les m formules suivaiUes :
r- — 'i cos "- . )• -t- 1 ,-
72— 2 cos (^ -4- -i ).j.H , \ /n /Il J ^ '
\ni m) '
/o 3c\ y- — ->. cos p- H • >• -f- I ,
r- - -2 ces ^ H c]' y-hx
De sorte (jue, coniino ces diviseiii's sont tous dillereiits entre eux et ((u'ils sont an nonihre de m, la formule en (juestion du i>m'*'™^ degré ne |)eut è(re (juc le produit de ees ni formules du seeond degré.
Le théorème de ('oies n'est, comme \\m sait, (|u'un cas particulier de
ce théorème général, lorsqu'on y l'ait 0 = 0 ou 9 = -; ce (|ui donne coscp = dt I , et réduit la formule générale à
Le théorème général est dû à Moivre, comme on le voit par ses MisceUanea analvtica.
Jusqu'ici nous avons dévcdoppé les cosinus et les sinus des angles multiples en puissances des cosinus ou des sinus de l'angle simple. On peut chercher réciproquement à développer les puissances des cosinus ou sinus de l'angle simple en cosinus ou sinus des angles multiples, et cette transformation, qui est toujours possible, est un des |)lus grands avantages de l'algorithme des sinus et cosinus, par la facilité qu'(dle donne de passer des fonctions primitives aux fonctions dérivées, et de revenir de celles-ci aux primitives.
Nous pourrions la déduire des formules trouvées ci-dessus, mais nous aimons mieux la chercher directement par le moyen des fonctions dérivées, pour donner un nouvel exemple de leur usage dans la transformation des fonctions.
(Considérons la puissance cos'''^^^, et supposons cette fonction de x égale à y; nous aurons ainsi
y =z COS'" x,
et, prenant les fonctions dérivées par rapport à .r, il viendra
y = — m cos'"^ ' se sin x ;
cette équation, divisée par la précédente, donne
y' m siii^
y cos.r
on-
DKS FONCTIONS.
d'où l'un lire, en it-duisaiit,
/"}-sin.r -f- >-'cos:r = o,
(•qiiatioM (In-ivre du prcinicr ordre, <,„i ;, l'avanta-c i]r ,„. ,,|„s ,■ tenir la puissance indétcrniinéo de eos./-. Siip|)()S()ns maintenant, on i^énéral,
j-=Acos«^ + Jicos(/i-,;^ + Ccos(«-2;^ + I)cos(//-3)^ + ...,
I.'s roemeienls A, M, C, ... elanl in-leterniinés, ainsi (,ne n. L'eqnation pcéeédenle deviendra par eettc substitution
/"[Acos;z^-f-Iîcos;/i-.)r-f-(:cos(«-2)jr-t-...]siii^
-[//\siM/,.r + («-,)J}siii>-,).r-f-(«-2)Csin(«-2jx + ...Jcosx^o,
savoir, en développant les produits des sinus et cosinus, et ordonnant les termes suivant les sinus multiples :
-f- [m A ~ nA] sin « -f- i]jc
+ [/hB— [n- i]Il]suinx
+ [wC - m\ - (« 2]C - «A] sin [n ~ i]x
+ [,nl) - m ]i~[n~ 3)1) - {n - , )B] sin(n - o )^
+ [wE - mi] ~ [n~ 4)E - (« ^jc] sin(« - 3)^
Egalant donc à zéro chacun des coefficients de ces différents termes,
on au la
l.a première donne d'ahord n =;„, <.t. substituant cette valeur, les
aiiirt's 'levicniiciil
2C — "îmA = o, 31) — 12m — I )B = o,
Ainsi le picini»'!' coofticient A demeure indéterminé; ensuite on a
donc, Ensuite,
On a donc en général, quel que soit l'exposant /n.
cos"',r = A
ces m X -+■ m ces [m — 1 jx -\ ^ ces
i[ni — i^]x -\- . . .
Il reste à déterminer le coeftieient A; poni' eela, supposant r — o. on obtient
Ad
DES FONCTIONS. IVi
tl"(»ii l'on tire
DoiU' (Mifiii, (Ml iiiiilli|)liaii( ((Mlle r(''(jii;iii(>ii |»;ir 2'", on :iiii;i
( 1 cosx)'" — cos m X 4- /;/ cos m — -> ) :r 4- — -^ ~ ' ^ COS ( m — ^f ) jc 4- . . . .
^i'YW loi'l simple (]iii se Icrniiiic loiijoiiis, rommr celle du l.inôme, loiS(|iie /// est lin iioinlii-e enlier posilil'.
On |.eiil déduire de celte lonnnle tin pareil dév(doppeinen( pour siii"'.r, en eliangeant simplement x en i — .r, l'anj^le droit élaiit |)iis pour rnnité des angles.
Aijisi on ania de même
(2 sin .r)"' = cos m ; I - ,r] + m cos > w - aU I - :i;l -4- '"J:î?illi
cos m — 4 \ — x)-\- ....
Nous venons de donner une théorie complète des sections angulaires, et nous avons en même temps montré, par ditrérents exemples, comI)ieii ralgorithme des fonctions dérivées est utile pour la transformation des fonctions, en faisant disparaître des équations les puissances el les radicaux, (jiii rendent les développements difficiles et foui perdre la loi et la dépendance mutindle des termes.
On voit que tout se réduit à former d'aLord des équations dérivées (l'apri's l'équation ou les équations primitives données, el à déduire ensuite de ces écjuations dérivées d'autres équations primitives, (|iii seront les transformées des premières. Il est donc important de hieii connaître la théorie de ces équations, et de se rendre familiers les dilférenls artifices qui peuvent en faciliter le calcul.
Commençons par exposer les principes généraux de cett«' llieorie.
