LEÇON DOUZIEME
TUKOniE GKNÉKALE DES ÉQUATIONS DÉRIVÉES ET DES CONSTANTES ARBITRAIRES.
Nous avons déjà démontré que toute équation entre deux variables, par laquelle une de ces variables est fonction de l'autre, subsiste également en prenant les fonctions dérivées, premières, secondes, etc., de chaque terme de l'équation par rapport à l'une de ces variables.
Ces équations dérivées ayant lieu en même temps que l'équation primitive, il s'ensuit qu'une combinaison quelconque de ces différentes équations aura lieu aussi. Donc, comme les constantes qui entrent dans une fonction restent les mêmes dans ses fonctions dérivées, on pourra toujours, par le moyen des équations dérivées, éliminer autant de constantes de l'équation primitive qu'on aura d'équations dérivées; l'équation résultante de cette élimination sera une équation du même ordre que la plus haute des équations dérivées, laquelle sera vraie en même temps que l'équation primitive et pourra par conséquent en tenir lieu; elle renfermera autant de constantes de moins que l'exposant de son ordre contiendra d'unités.
Ainsi l'équation primitive, combinée avec son équation dérivée ou prime, pourra donner une équation du premier ordre contenant une constante de moins (jue l'équation primitive. -
L'équation primitive, combinée avec les équations dérivées prime et seconde, donnera une équation du second ordi'e contenant deux constantes de moins que l'équation primitive, et ainsi de suite.
On ne peut parvenir que d'une seule manière à l'équation du premier ordre qui résulte de l'équation primitive et de son équation dé-
DES FONCTIONS. tV:5
l'ivre j>ar rrliiiiiiKilioii (riiiic (•()ii>l:iiil(' (loiiiirc; iii;iis on pciil |»;irv<'iiii' (Ir (l('ii\ iiiîiiiii'rcs (liUcrciilcs ;i rr(|ii;ilioii du second ordre dednile de |;i |»riniilive el de ses den\ picniii'res dérivées piir rrliniiniilion de deux eonsliinles données; et ee donidc poinl de Nne donne lien ;i des coiiséqueiices ini|>or(;inles r(d;ilives ii ee i^cnre d'écinations.
An lien d'éliminer :i la l'ois les denv eonstaiites par le moyen des li'ois é(|iialions doni il s'agit, on [)eut irélimincr d'ahord (|ne l'nne on l'anlre de ces ((Hislanles, à l'aide de l'éqnation primitive et de sa dérivée; on aura ainsi deux é(jualions dillërentes du premier ordre, dont l'inH.' ne contiendra (|ue l'une des deux eonstantes, et dont Tantic ne contiendia (|ue l'autre constante. .Maintenant, en ((unliinant clmcnne (le ces é([nations avec sa dérivée, on pouira aussi en éliniinei- la constante (pii y était restée, et on aura deux équations du second ordre sans les deux constantes, lesquelles devront être équivalentes entre elles et avec l'équation qui résulte de l'élimination simnllanée des deux constantes.
En eiïet, chacune de ces équations donnera la valeur de la lonction seconde de la variable qu'on regarde comme fonction de l'autre, valeur (|ui sera expi'imée par la fonction prime de la même variable et |)ar les deux variables mêmes, sans les deux constantes (|ni entraient dans ré{|nation piimitive; et il est facile de se convaincre que cette valeur est unique et déterminée, de quelque manière (|u'on y parvienne, puisque les fonctions dérivées d'une fonction donnée, soit explicite ou non, sont uniques et déterminées, et (|ne les résultats de l'élimination sont aussi toujours déterminés.
On doit conclure de là qu'une équation du second ordre peut éti'c dérivée de deux équations différentes du premier ordre, renfermant chacune une constante arbitraiie de plus, et (|ne ces écjuations seront par e(ms(''(jiieiit denx ('(inations primitives de la nn-me (''(|nation du second ordre, niais primitives du premier ordre, j)oni' les dislini',nei' de re(|nalion piimitive absolue d'où e(dles-ei s(uit censées dérivées.
l'ntin on peut étendre aux équations des ordres supérieuis au second le laisonncMnent (|ne nou^s venons de faire sur celles de cet ordre.
et on en conclura de la même manière qn'une équation du troisième ordre peut être dérivée de trois équations du second ordre, et ([u'alors elle peut avoir ti'ois équations primitives de cet ordre; et ainsi de suite.
Nous allons éclaircir et confirmer celte théorie générale par quelques exemples.
Soit ré(|uation de premier degré
y -{- ax -\- /> = (>;
en regardant y comme fonction de j:- et en prenant les fonctions dérivées, on aura
En éliminant (^/ au moyen de ces deux équations, on obtiendra l'équalion du premier ordre
dont l'équation primitive sera
y -^ ax -{- b =: o,
a étant la constante arbitraire.
Si la constante b dépendait tle la constante a, par exemple si
alors en éliminant a, c'est-à-dire vu substituant —y' pour (i, on aurait l'équation du premier ordre
et l'équation primitive de celle-ci serait
r -h ax -\~ a- =^ o,
a étant la constante arbitraire.
Supposons
on aura l'équation du premier ordre
(luiil rc'<|ii;ili()i) |)rimilivL' sera
j ->r ax + C\jl -{- a- =: o,
on </ est la coiislanlc arhiliairc.
Soil ('iicoi'c r(''<|ualioii
x- — n ay ~ a- — /> =z o ;
sa (l(''i'iv(''(' sera
X — ay' = o,
('quation du pn'iiiicr ordre dont la proposée est l'équation |)iiniiti\<'. et où h seia la constante arbitraire.
Afais, si l'on vent (jiie la constante arbitraire soil <i, alois il l'andr;! éliminer ((\ or l'eiination dérivée donne
donc, sni)stitnant cette valeur dans la pi'oposée, elle donnera •
'>.xy Xx^ —
on bien
d on I on lii'e
e(jnation du premier ordre dont la primitive sei'a
