X- — "^'^ly — ft- — /» = o

sera la primitive absolue, a et h étant les deux constantes arbitraii'cs. On parviendrait à la même écjuation eji faisant disparaître A de l'é- (juation du j)reniier ordre

y \l X- + y- — b — ry' — X ^ o ti»c>uvée plus liant; car, en prenant les fonctions dérivées, on auia

Y [ X + yy

en éliminant h au moyen de la précédente, il viendra savoir, comme on l'a vu plus baut,

■ 1 = 0, ou y" X — )'::={).

On voit aussi que cette même écjuation du second ordre a deux é(|ualions primitives du premier ordre, savoir :

X — ay' = 0 el y' ^x'^ -+- y — b — yy' — x = o,

où a et h sont les deux constantes arbitraires; et ces deux-ci, par l'élimination de la fonction dérivée v', donneront ré(|uati(ui primitive

DES ^()N(;TI()^s. U7

;il)S(»liit' filtre ./• cl v,

savoir,

sjx- H- y- — h — y ~ (tr=u,

ri, en l'aisaiil disparailrc le radical,

x- — 7. a}' — a- — h -ziz o,

(|ni csl la iik'IIIc doiil nous soiiiiiics parli.

i'ji cliiiiiiiaiil ainsi les coiistanles (iiToii veiil faire (lis|iarailre, on loiiihe soiivenl. coninie on le voil, dans des é(|iialioiis on la |)liis liante lonelion dérivée est élevée à des puissances; et ce n'est (|iie ywv la resolnlioii (iiToii peut avoir la valeiii' de celte fbncli(Hi en Ibnetion de> vai'ialdes et des Ibnctions dérivées d'iiii ordre moindre.

On peut cependant parvenir directement à une écjuatioii dérivée on la pins liante Ibnetion dérivée ne se trouve qu'au premier dciire; puiir cela, il n'v a (|n";i préparer l'équation primitive de maiiii're (jiie la constante arbitraire (jn'on v<'iit faire disparaître s'en aille d'idle-niéme en prenanl la foncliini dérivée de cliacnu de ses termes; ce (|iii arrive lorsque cette constante est dégagée des variables, et Ibrine <dle seule nn des termes de ré(juatiou; car alors, la fonction dérivée de ce leriiie étant nulle, ré(|natioii dérivée se trouvera nat iirelleiiicnt (h-livrée de la constante, et la plus liante fonction dérivée y sera nécessairement à la premii're dimension; car, comme on l'a vu dans la Leçon VI, en pi'enaiil la fonction dérivée d'une fonction de plusieurs variables, (dia(|ue variable ne peut donner que des termes multipliés par la fonction dérivée de la même variable.

Or il est évident (|ue cette préparation ne demande (|ue de resiunlre ré(piati(m primitive, en regardant la constante (|u'oii veut eliminei comme rincoimnc de re(|uation. Ainsi l'on peut (ditenir par ce inoveii le même résultat (jiroii aurait par la résolution de re(|uation dérivée, par rap|)ort ;i la plus liante fonction dérivée.

Dans le second exemple, où l'équation priinilive élait

j + ax + a- = o, nous avons trouvé ré(|u;ition dérivée

la(|uelle donne, par la l'ésolution,

-Mais, si nous avions d'abord résolu ré(|ualion pai- rapport à la constante a, nous eussions eu

sa dérivée serait

sjx- — 4>"

savoir, en multipliant par \jx- — [\y.

X — 'y.y — \Jx- — ^\y ^= o,

équation qui coïncide avec la précédente, à cause de rambii;uité du signe du radical.

On peut de la même manière faire disparaître successivenu'iit plusieurs constantes en préparant tioujours l'équation en sorte que la constante à éliminer soit dégagée des variables.

Ainsi l'équation primitive