X- — ■2«r — a- — b =zo

contenant la constante /> isolée dans un seul terme, donne tout de suite l'équation du premier ordre sans b,

X — ay' = o ;

ensuite, en dégageant a, on ^^^ a = —,•■> prenant la fbnrtion dérivée de

chacun des deux membres, on obtient

I xy

in: s l-ONCTKJNS. lyj

(■'(|ii;ili()n (jiii, miilli|ili(T piir v'-', ilcvicnt

j'- xy" — u,

COIIIIIIC |)||IS illllll.

Km (•oimimcikmiiI rrliiiiiniilion par la roiisljiiilc (t, nous avions li(,n\,l'<'<|iialion (In (ncniicr (tidrc

coMiinc h. constanlc A y est dr-a-rc des vaiiablcs, il n'v a (|n'a pivinl !:• Iitiiclnni «Irrivrc de clnuinc Icrnic ponr avoir ionl de suilc rc(|nal du second ordcc sans ci ni A.

< )ii a ainsi

le lin

y , ^yy" x x-^y"

(À'tle ('(juation se réduil à celle lurine

Comme le faclenr ^^ + j^ ne irnretinc (,nc la fonclion piinn' ^'. il no pent donnei' une équation du second ordre; ainsi, c'est l'anlri- la.--

leur -^, I (|iril janl employer, el l'on a

xf

—> I = o, savoir, xy" ~y' = o,

comme ci-dessus.

Nous verrons plus bas, lorsqu'il sera question des é(|ualions primitives singulières, l'usage du premier facteur.

Ce peu d'exemples, que j'ai choisis parmi les pins simples, sndit I"""' montrer conimenl les ecjuations dérivées se forment des e(|nali(ni>

piimitives, par l'évanouissement des constantes. On voit (|nc. | r

une é(iiialion primiliv." donnée, il est toujours possible de Ir.niver une •'qiiation dérivée <|ni renlemM" autant de cinistanles Ar nn-ius ,p,-|| ^ iuira d'unités dan> l'oidr.' de cette e(|ualion. el ,|(n'. d." (|n.d.ph- ni;iiiii-re (|n'on pai'vienn.- ii celle ecpiation, et sous (|U(d(|ue lormc .prejl.-

se présente, elle sera tonjours essentiellement la même. Ainsi le problème de trouver l'équation dérivée d'une primitive donnée est résolu dans toute sa généralité. Nous allons considérer maiiilenant le problème inverse, (|ui consiste à remonter des équations dérivées aux primitives.

Puisque, dans les équations à deux variables, une éipiation du premier ordre peut renfermer une constante de moins que l'écjuation primitive, une équation du second ordre peut renfermer deux constantes de moins (jue l'équation primitive, et ainsi de suite; il s'ensuit ié('ipi()(]U('inent (jue l'équation primitive peut contenir une constante (le pins (ju'une équation du premier ordre, deux constantes de plus (ju'uiie écjuation du second ordre, et ainsi de suite, constantes qui seiont par conséquent arbitraires; et on voit en même temps qu'elles ne sauraient en contenii' davantage, puisqu'on ne pourrait les faire disparaitre toutes jiar le moyen des équations dérivées.

Cette proposition étant d'une grande importance dans la théorie des fonctions dérivées, et n'ayant pas encore été démontrée d'une manière tout à fait rigoureuse, nous croyons devoir en donner une démonstration directe, tirée de l'expression générale de la fonction primitive.

Si y est une fonction (juelconque de ce, et qu'on dénote par y", v"', v"", y"'", ... les valeurs de v et de ses fonctions dérivées y', y", y'", ..., (jui répondent à d? = o et qui sont par conséquent constantes, on aura, par ce ({ue nous avons démontré à la tin de la Leçon IX,

j = j^-» -\-yO' X -+- y'^ h y

et, si l'on veut arrêter la série au ternie /*'•'"", alors on aura les limites du reste, en substituant dans le terme suivant

;i la place de )'""^ la plus i^rande et la plus petite valeur d<' v'"^ depuis .r = o ius([irà la i;randeur (ju'on veut attribuer à .2-.

DKS rONCIIONS. loi

.M;iiiih'ii;iiil , si l:i Njilciir de v est (loiiiicc |);ir mit' (''(|ii;ili(iii du pii-mirr ordre entre .r, y et >', on ;iiir;i |);ir celle e(|ii;ilioii la Mileiir de y' en .r e( r, el de la on IroiiNcia, en prenant les l'oiietioiis di-rivees, une é(|iiatioii du second ordre en .r, v, v' el >'", ensuite une ('■(|iiatioii du troisième ordre entre .i\ y, y', y" ci y", vl ainsi de suite; de sorte (jue, en snhslilnanl snecessi veinent dans ces (m] nations les va leurs de v', y", y'", ... données parles équalions précédonles, on aura, en dernii're analyse, les valeurs de "»'', y", v", ... exprimées en .r et y. Or, en faisant .r-^ (), les (| nanti tés v, )'', v", ... se el)aiii;('ronL en )", v"', v"' . ...: ainsi, on aura les valeurs de J'"', J'"", •••, ex[)rimées en v" (jiii demeurera indéterminée.

De même, si Von n'a pour la détermination de v (|iriine é(|iiatioii du second ordre entre x , y , y' et y" , on en tirera successivement des équations des ordres supérieurs enli'e a-, y, y' , y", y'", entre .r, y,y', y", y'", r'"", et ainsi de suite; et, par les substitutions successives des valeurs de y", y", ... données par les équations précédentes, on aura en dernière analyse y", y", . . . données en ûc, y et y', de sorte (lu'eii faisant a? = o, on aura les valeurs de y"", y"'", ... exprimées en y" et y"', ces deux quantités demeurant indéterminées; et ainsi de suite.

Donc entin, faisant ces substitutions dans l'expression générale de y en .r, il est clair (ju'il restera dans cette expression une indéterminée constante y", lorsque la fonction y sera donnée |»ar une équation du premier ordre; (|u'il y restera deux constantes indéterminées y" et y"', lorsque y ne sera donnée que par une équation du second ordre: (|iril y en restera trois, savoir, y", y"' et y"", lorsque y sei'a donnée par une équation du troisième ordre; et ainsi de suite.

Donc, en générai, l'expression de y en x renferjuera autant de ((uistantes indéterminées (|u'il y a ma d'unités dans l'exposant de l'ordre de l'équation (|ni determim' la lonelion )'; et, (|noi(jue cette coiudnsioii soit fondée ici sur la théorie des séries, il n'est [las dillieile de se convaincre (ju'tdle doit avoir lieu ifénéralement, (jindle (|iie si>il l'expression de y, |)uis(jn'on peut toujours regarder une expression en série comme le développement d'une expression finie.

lo2 LEÇONS SUR LE CALCUL

Dans l'analyse précédente, on voit ((ue les constantes arbitraires sont toujours les valeurs de y, y' , y", . . . (jni répondent à ^ = o, au lien (ju'en envisageant, comme nous l'avons fait plus haut, les équations dérivées comme le résultat de l'élimination des constantes, ces constantes peuvent être (jnelconques; mais il est toujours l'acile de les réduire les unes aux autres : car, quelles que soient les constantes (|ui entrent dans l'expression de y, si l'on déduit de cette expression celles de y' , y" . . ., et qu'ensuite on fasse œ = o, ce qui changera les valeurs de r, y', y", ... en y^, y^', y"", . . ., on pourra toujours, en prenant autant de ces valeurs qn'il y a de constantes arbitraires, déterminer celles-ci en y", y"', y"", . .., et les substituer ensuite dans l'expression générale de y.

Or, quelle que puisse être la forme de cette expression ou de l'équation d'où elle dépend, à raison des différentes constantes qui y seront contenues, il est visible que, lorsque ces constantes seront réduites aux valeurs de y^,y^',y°'\ • • -, cette forme deviendra nécessairement la même pour la même équation dérivée.

On peut donc conclure, en général, que, si l'on a une équation dérivée d'un ordre quelconque, et que l'on trouve, de quelque manière que ce soit, une équation entre les mêmes variables qui y satisfasse, et (jui renferme autant de constantes arbitraires qu'il y aura d'unités dans l'exposant de l'ordre de l'équation dérivée, cette équation sera l'équation primitive de la proposée, avec toute la généralité dont elle est susceptible; de sorte qu'elle renfermera nécessairement toute autre équation qui pourrait aussi satisfaire à la même équation avec autant de constantes arbitraires.

On voit par là que les constantes arbitraires forment proprement la liaison entre les équations primitives et les équations dérivées; celles-ci sont, par leur nature, plus générales que les équations d'oîi elles" dérivent, à raison des constantes qui ont disparu ou qui peuvent avoir disparu; elles équivalent donc à toutes les é(|uations primitives, (ît (jui ne dinéreraient entre elles que par la valeur de ces constantes.

On pourra donc toujours passer d'une équation primitive à une de

l)i:S FONCTIONS. 15:^

ses dérivrcs d'im ordre quelconque, cl revenir ensuite de celle-ci ;i une nouvelle c(]ualion ])riniitivc, pourvn (jne celte dernière opération v introduise le nondnc re(|uis de constantes arbitraires. Alors cette dernière é(|nali(>n reMlerniera la première et lui deviendra équivalente, en détei'niiiianl convenablement ses constantes arbitraires, (l'est ainsi (|u'on en a nsé dans la Leçon [)réce(|cnte, pour la transinrniation de> l'onctions ani;nlaires.

Comme nous avons vu (ju'iiuc C(jnati(in du second ordre peut |>rovenirde dcn\ é(Hialioiis diUerentes du prenii<'r ordre, renferniant cbacune une constante arbitraire; qu'uue équation du troisième ordre peut être dérivée de même de trois équations diUerentes du second, et ainsi de suite, il est naturel d'en conclure aussi réciproquement que toute équation du second ordre aura deux équations primitives du premier ordre, (diacune avec une constante arbitraire; (jue toute équation du ti'oisii'uie ordre aura trois équations primitives du ser(ui(l ordre, ayant cbacune une constante arbitraire; et ainsi de suite. .Mais nous pouvons dén)outrer aussi cette proposition d'une manière directe, par une analyse semblable à celle que nous avons employée ci-dessus.

(Considérons la formule ijénérale du développement des fonctions

'f[^ 4- i) =f[x) -h if'[x) -+- '-f"\x -^ . . . . Faisons y =/{'J^') et /= —oc; on aura

et/(a'-t-/) deviendra /(.r — .r), c'est-à-dire éiiale à la valeur de /(.r) ou V, lorsqu'on y fait .r = o, valeur que nous avons désignée plus baul pai' v". Ainsi, par ces substitutions, ou aura cette formule

Changeons maintenant dans la formule générale /(j:) eny"ia i, et 'on aura de même

15i. LEÇONS SUR LE CALCUL

Donc, faisant de nouveau

ce qui donnera

valeur de/'(£r) ou de y', lorsque œ = o, que nous avons désignée par y"'. ou aura ectle autre formule

,n^ ,j ^nJi \ tJ" il'

On trouvera de la même manière

et ainsi de suite.

Cela posé, si y est donnée par une équation du premier ordre, on aura les valeurs de y', y", y", ..., toutes données en x et y, comme on l'a vu plus haut; si on les substitue dans la formule

■0 =3 j xj' + ~y" - ^r

on aura une équation entre x et y avec la constante arbitraire y°.

Si y est donnée par une équation du second ordre, on aura y", y'", v'^, . . ., données en œ, y et y'; donc, substituant ces valeurs dans les deux formules

yo =y - xf + ~y" - ^y"' + . . . ,

yO' = y^a:r"+ ^/"- ^j.v+. . .,

on aura deux écjuations en œ, y et y', ayant chacune une des constantes arbitraires y" et y"', lesquelles seront également deux équations pi'imitives du premier ordre de la proposée du second ordre, et ainsi de suite.

Ouoique ces é(|uations soient en séries, les conclusions qu'on ])eul tirer relativement à la nature des équations primitives n'en sont pas

DKS 1' ONCTIONS. 155

iiiitiiis cxaclcs; cl il est visihlc, par la lorinc niriiic de (-es (''(|iialioiis, (|ii'('ll('S sont rsscntiollciiicnt (lillcrciilcs, cl (jiTil ne pciil v en avoir (|iriiii ii()iiil)r(' r^al à ccliii de l'ordre d<' l'(''(|uatioii doiinéo.

On en coiicliira donc anssi (jnc, si pour nnc c(|Malion du second ordi'c on Ironve d'une nianii're (|nclcon(|ne dcn\ c(jnalions dillerenles Au premier ordre (|ni y satislassent, cl (jui renlernicnl ehaenne nnc constante arhitraire, on anra les dcnx é(|natioiis |»riniilives (\\\ picmier ordre de la proposée; et toute autre équation de cet ordre, (pii v satisferait avec une constante arl)itraire, sera nécessairenicnl reiirernice dans celle-ci.

Ces deux équations primitives étant coninu^s, on pourra toujours en déduire l'équation primitive absolue, sans fonctions dérivées, en éliminan( par leur moyen la fonction dérivée qu'elles conliendronl, et (jni est censée être la même dans les deux é(|uations.

L'équation résultante, ne conlcnanl plus de fonclion dérivée, sera l'équation primitive absolue de la proposée du second ordre; et, conimc les deux constantes arbitraires, qui entraient dans les deux équations |)rimitives du premier ordre, se trouveront dans cette érpialion, elle aura toute la généralité dont elle est susceptible.

Donc, ayant une équation du second ordre, on aura égalemeni son équation primitive absolue, soit qu'on trouve immédiatement une équation entre les mêmes variables qui y satisfasse, et qui renferme en même temps deux constantes arbitraires, soit (ju'ou trouve séparément deux équations du premier ordre qui y satisfassent cbacune en j)arliculier, et qui renferment ( liacune une constante arbitraire.

Mais, si l'une de ces deux équations du premier ordre ne contenail point dt! constante arbitraire, alors l'équation pi'imitive qu'on en déduirait, ne contenant (ju'une seule constante arbitraire, u'auiait [)as toute la £?énéralité qu'idlc i)cut avoir; mais elle satisferait toujours à l'équation du second (u-di'c d'où ou l'aurait tirée, en même tcm[»s (jn'elle satisfera aux deux dn premier ordre.

Il suit encore de l;i (|in', si l'on a une équation du |»i'emier ordre, <•! qu'on en dédnise d'une n)anière (|n(dconque une é(jualion dn second

ordre, soit en éliminant une constante ou non, qu'ensuite on passe de celle-ci à une antre éqnation primitive du premier ordre, avec une constante arbitraire, on ponrra, par l'élimination de la fonction dérivée qui se tronve dans les denx équations du premier ordre, avoir une éqnalion entre les deux variables et la constante arbitraire, qui sera |);ir conséquent ré([ualion primitive absolue de la proposée du premier ordre.

En général, si de la proposée du premier ordre on passe à une équation d'un ordre supérieur, et si l'on trouve d'une manière quelconque une équation primitiv*' de celle-ci d'un ordre inférieur avec une constante arbitraire, on pourra toujours, par l'élimination successive des fonctions dérivées, parvenir à une équation entre les deux variables et la constante arbitraiie, laquelle sera ainsi l'équation primitive de la proposée.

Enfin on peut étendre aux équations des ordres supérieurs au second ce que nous venons de trouver relativement à celles de cet ordre, et en déduire des conclusions semblables.

DES l'O.NCI IONS. 157

LKIJOA' TIIKIZII-Ml!:.

(Conlimiiiliori de la F,i'(;oii préccd'Mile. )

TiiKoiiir. i)i;s Mi:i/niM.i<;ATrj"ns nr.s koiations dkhivkf.s.

La nianiôrc la plus iialiircllc de trouver réciualion primilivc d'uiif équalioii duw ordre (IiicIcoikjuc esl de la prépai'cr do façon (|uo sou premier uieuibre devienne une roiiclioii dérivée exacte; car alors il u'\ aura qu'à preixlre sa fonction primitive et y ajouter une constante |)our avoir l'équalion primitive d'un ordi'e inférieur; et, en opérant ainsi successivement, on pourra parvenir à l'équation primitive entre les deux variables et autant de constantes arbitraires que l'ordre de la pro[)osée le comportera.

Or je vais prouver que cette préparation est toujours possible pai- le moyen d'un multiplicateur, lorscpie l'équation dérivée de l'ordre // esl réduite à la forme

r(«) -hf{:z-,r,r',)", . . .,r<" ')) = o,

y^"^ étant la plus liante des fonctions dérivées de v.

D'un côté, il est clair qu(^ cette réduction est toujouis possible ou censée possible, quelle (|ue soit la forme de l'équation proposée; car il n'y a (ju'i» eu tirer la valeur dv y"' en .v, y, y', y", . . . par les r('i>les connues.

De l'autre côté, nous avons déjà observé plus liant (|ue, (|uelle (|ue puisse être l'équation primitive de l'ordre immédiatement iufeiieur, >i Ton (léi;ai;'e la constante arbitraire, et (pi'oii prenne ensuite les loue-

tiens dérivées, on a une équation dérivée où la [)lns haute des lonclions dérivées de y ne sera qu'à la premii're dimension, et qui devra, par conséquent, être identique avec la proposée.

Ainsi, ayant ri'duit l'équation primitive à la l'orme

on (( est la constante arbitraire, on aura récjualion dérivée

laquelle, en séparant la partie qui se rapporte à la variation de y'"~'^ d'après la notation abréi^ée indiquée dans la Leçon VI, peut se mettre sous la forme

d'oii l'on lire

('omme la constante a a disparu, cette équation devra être identi(|uc avec l'équation proposée, puisque la valeur de y^ doit être la même <lans les deux équations. Donc la foncti(»n /"(.r, y, )', . . .,.r'"~'^) sera identicjue avec la fonction

■ 'f'(j("-')) Ajoutant de part et d'autre la (| nanti té y'"\ la fonction

deviendra identique avec la fonction

c'est-à-dire avec la fonction

F'(x,r,y', ■• -, yC'-'^)

DKS FONCTIONS. I59

Donc r(!(|ii;i(i()ii

''••'"' niiilli|.lié(' |);ir l;i loiiclioii F'(v'"--'^), (Icviciidr;!

F'(jr,j-,j-', . ..,r("-'))~„,

vw soilc (|iic son pn-niior mmibrc sera nnc lonclion .Ir-rivrc r\:u'\v.

Ainsi il .'xisU' toujours une l'onclioii d'un ordre inrcriciir à relui Ar l'<'<|"''li"" pi'oposéo, par laquelle cette équation étanl miiKipliee, >,mi pivinier membre devient une l'onction dérivée exacte.

Comme cette proposition est Ibndamentale, et donne lieu à d.'s . ..11séquences importantes, nous allons la considérer sous un point <l.- vu.. plus étendu.

Soit

^'{^>r>r'^ ■■■,j<" 'Kn] = o

réquati(Hi primitive de la même équation dérivée

a étant la constante arbitraire.

l'iir la théorie générale, on aura l'équation dérivée de la pninitiv supposée, en éliminant a au moyen de ré(|uation

et de sa dérivée immédiate

a étant regartiee comme constante.

De là il est facile de conclure, comme ci-dessus, que la ronctioii

<levieiidra identicjue avec

en SLibslilLiaiil ici, à la place de ci, sa valeur eu .r, J, ,v', . . ., y^"-^\ tirée de l'équation primitive.

Considérant donc a comme une pareille l'onction déterminée [)ar l'équation primitive

(tu aui-a, poui' la détermination de r/', l'équation deiivée

laquelle, en séparant la partie qui se rapporte \\'a', suivant la notation employée ci-déssus, devient

d'où Ion tire

(■([nation qui sera identique en substituant pourrt sa valeur en r, y,

Si donc on multiplie l'équation

par la fonction — „., . ^ ? son premier membre deviendra une fonction

dérivée exacte, dont la fonction primitive sera — a, en supposante déterminé par ré(juation

On est donc assuré, de cette manière, de l'existence d'un multiplicateur qui peut rendre le premier membre de l'équation proposée une fonction dérivée exacte.

La même équation identique nous fait voir aussi que ce multiplicateur n'est pas le seul qui jouisse de cette propriété, et nous donne en même temps le moyen de ti'ouver tous les multiplicateurs (jui auront la même })ropriété; car il est évident (juc, le premier membre de l'équation devenant égal à —((', il sera toujours une fonction dérivée

exacte, élaiil iiiuUiplié par une l'oiiclion qiielcoïKjLie de a, et (jii'il ne pourra rêtrc (ju'autaut (|ue le niultiplicateur ne contieiidia (iiie <(. Donc le seeoud ineruhre deviendra aussi une Jonction dérivée exacte, étant multiplié par uiu' loncliini (juelconcjue de d.

D'où il est aisé de e(ni(dure (jue la formule générale de ce ninlliplicateur sera

co(«) Y'[y("-i)) ' f>) '•

9(«) dénotant une l'onction (]uelcou(|ue de a, et la quantité a étant une fonction de .r, y, v', . . . déterminée par l'équation primitive

(( étant ici la cinistante arbitraire; car le |n'einier nienihre de re(|u;ition proposée de l'ordre //'"'"" deviendra, par la multiplicalinn de Va formule précédente, identi(jue avec la quantité — ao{a)\ de sorte (ju'en déiHjtant par ^\^[a) la loncti(Hi primitive de a'o(a), on aui-a tout de suite l'équation primitive; *i>(rt) = eonst. ; d'où l'on tirera aussi a = const. Or a étant ici la fonction de .r, y, y', . . ., y-"~'\ <|ui résulte de ré(|ualion

il est visible que ré({uation (l>(rt) = const. n'est autre cbose que cett<' nHMue é(juation, dans laquelle on suppose que a devient une constante arbitraire.

Ainsi, loi'S(|u'une é(|iuition dérivée de l'ordre /i"""' est réduite à la

l'orme

cliaque é({ualion primitive de l'ordre // — i, avec une constante arbitraire, fournit une inlinité de multiplicateurs, tous renfermés dans une mén)e formule, les(juels peuvent rendre le premiei' membre de l'équation une fonction dérivée exacte, et redoinier la même équation primitive.

Si l'équation proposée n'est que du pi'emier ordre, il n'v a alors X. 1 1

(lu'une seule équation primitive; et pai- conséquent il n'y aura aussi (ju'une seule formule de multiplicateurs.

Si l'équation proposée est du second ordre, nous avous déinoutré (|u'elle est susceptible alors de deux diirérentes é(|uations priuiitives du jtreuiicr ordi'e; chacune d'elles donnera donc nue formule parliculii're de multiplicateurs; mais on pourra aussi renfermer ces formules dans une formule plus i;éuéi'ale encore.

Car, soit •

l'équation proposée du second ordre, dont les deux é({uations primilives du premier ordre soient

(i et h étant les deux constantes arbitraires.

En regardant ces deux quantités a et h comme des fonctions de .r, v, y, déterminées par ces mêmes équations, ou ti'ouvera, pai' l'analyse exposée ci-dessus, les denx équations identiques

F'iv"

Soit maintenant (\^{a, b) une fonction quelconque de a, h; sa fonclion dérivée <1>'(<7, h) sera représentée par a ^V[a) -\- b' ^^'[h]-, de soi'le (|u'en multipliant la première des équations précédentes par ^'{a), la seconde par ^V{b), et les ajoutant ensemble, on aura

On aura ainsi cette formule géiH*rale pour le multiphcateur de l'é- (jiuition proposée

DKS FONCTIONS. 163

en siij)|)()S;int (i cl h (Irlcrmiiirs piir les deux r(|(i;ili()iis

cl le iiiTinicr iiiciiihrc de réquatioii (Icviciidra iilors — '!'(<'/, />); de soilc <|ii(' l'on aura siir-l<'-tdiaiii|t l'iMiiialioii jniiiiilivc <l'(rt, h) = coiisL

De iiiriiic, si Ton prend iiiic aiilic loiiclioii (jii(di-()ii(|ii(' (t cl A, rcprést'iilcc [tar ■j[(i, h), on en lirci-a de iiicmc rciinalioii |iiiiiiili\ •■ ']/(«, //) = consl.

Ces deux cciualions doniici'oiil donc a eL h égahîs ii des eonslaiilc>, (luelles (jnc soient les fonctions désignées par les caractéristiques 'I' cl •!/, ce (jni l'cdonnera les mêmes équations primitives d'ctii l'on clail parti; d'où l'on voil coinincnt ces c(jiialions se Ironvcnl indcpendanlc-dcs Ibnctions arhilraires i\u\ pcnveni entrer dans les ninllij)licalenrs.

On peut appliquer cette théorie aux écpiations dérivées des ordres supérieurs au second, et en tirer des concdusions scini)lal)lcs.

On pcul donc toujours trouver la forme générale des multi[)licateurs lorsqu'on connaît les équations primitives; mais, comme ces multiplicateurs fournissent eux-mêmes un moyen de parvcnii- aux équations primitives, il serait important de pouvoir les trouver « /w.vicriori, d'après les équations dérivées. Euler et d'autres après lui se sont occupés de cette recherche; mais c'est un de ces prohli'uies don! on ne saurait espéi'cr une solution générale.

Pouivdonncr un exemple de ce (|ue noiis venons d'exposer, pi'cnons

re(juation du second ordre

(juc nous avons trouvée plus haut. J'observe d'abord <|ue, dans l'elal oi^i elle est, son premier membre est déjà une fonction dérivée exacte; car, ]mis(|ne

on a

xy

xy

xr -H )•',

de soiie (]u'on peut la mettre sous la foi'nu'

'xy' :' — -ly'^ <.;

• l'où l'on tire, sur-lt'-champ, l'équation primitive dn premier ordre

A étant une constante arbitraire.

Pour avoir l'équation primitive de celle-ci, je cherche un multiplicateur qui rende son premier membre une fonction dérivée exacte, et il est facile de voir que cela aura lieu en divisant l'équation par x\ dr sorte que le multiplicateur sera — •

En effet, elle devient par là

ÛC 3C ÛC

cl la fonction primitive du premier membre est

de sorte qu'on aura l'équation primitive

savoir, en multipliant para:-^,

B étant une nouvelle constante arbitraire.

Cette équation, contenant ainsi deux constantes arbitraires A et H. sera l'équation primitive complète de l'équation proposée du second ordre; et l'on voit, en effet, qu'elle coïncide avec l'équation

x- — 1 ay + «- + /;=: <),

d'où la proposée avait été dérivée, puisqu'il n'y a qu'à la diviser par I»

et faire

Mais, au lieu de chercher, comme on vient de le faire, l'éfjuation

l)h:S FONCTION s. lOo

primitive do i;i pi'iinitivc du premier onli'e, on peut clinclicr une aiilre é(|iiation primitive (U; la pi'0[)()sée; et, pour cela, j'ol)seivr (jnc la fonetiou dérivée de a-'" y'" est

inx"- ' j" -1- nx'"/" \}-" -^ X'" ';•'" ^' ' niy' -f- nxj"); îiinsi, la proposée étant

xy" — r'—o,

OU V(til (|u'en laisaut m = — i, n = i, son [)remier memhrc drvi<'ndr;i une Ibuetion dérivée exacte, étant multipliée par a~- ou par —, cl l'on aura la nouvelle équation primitive

Combinant donc cette équation avec l'équation

trouvée précédemment, pour en éliminer y', on aura réciiialion en r et Y

— Bx- — 7.f -+- A=:0,

(jui, à raison des deux constantes arbitraires A et B, sera aussi rcqn;!tion primitive complète de la proposée. En effet, elle se réduira à la

même forme