LEÇONS

CALCIL DES FONCTIONS.

LEÇON PIUiMIlîlU:.

SLR l'objet du calcul DES FONCTIONS ET SUR LES FONCTIONS EN GÉNÉRAL.

\a) Calcul des l'oiiclions a le inènii' ohjcL que h; Calcul (litlV'i'culiol |)iis dans le sens le plus étendu, mais il n'est point sujet aux difficultés (jui se rencontrent dans les principes et dans la marche ordinaire de ce Calcul : il sert de plus à lier le Calcul diiréreuliel immédiatement à l'Algèbre, dont on peut dire (|u'il a fait jus(|u'à présent une science séparée.

On connaît les difficultés qu'offre la supposition des infiniment petits, sur laquelle Leibnitz a fondé le Calcul différentiel. Pour les éviter, Euler regarde les différentielles comme nulles, ce qui réduit leur rapport à l'expression zéro divisé par zéro, laquelle Jie présente amiine idée.

Maclaurin et d'Alembert emploient la considération des limites cl regardent le rapport des différentielles comme la limite du rapport des différences finies, lorsque ces différences deviennent nulles.

Cette manière de représenter les quantités différentielles ne fait <|ii(' reculer la dilticulté; car, <'n dernière analyse, le rapport des dillerences évanouissantes se réduit encore à celui de zéro à zéro.

D'ailleurs on peut observer que c'est improprement (ju'on appliiiiic

\o mot connu do limite à ce que devient une expression analytique l<)rs(|u'on y fait évanouir certaines quantités, parce que ces limites, après avoir décru jusqu'à zéro, pourraient encore devenir négatives. De même qu'en Géométrie, on ne peut pas dire à la riirueur que la soustanc^ente soit la limite des sous-sécantes, parce que rien n'empêche la sous-sécante de croître encore lorsqu'elle est devenue sous-tangente.

Les véritables limites, suivant les notions des anciens, sont des (|uantilés qu'on ne jx'ut passer, (juoiqu'on puisse s'en approcher aussi près que l'on veut; telle est, par exemple, la circonférence du cercle l\ l'égard des polygones inscrit et circonscrit, parce que, quelque grand que devienne le nombi'e des côtés, jamais le polygone intérieur ne sortira du cercle, ni l'extérieur n'y entrera. Ainsi les asymptotes sont de véritables limites des courbes auxquelles elles appartiennent, etc.

Au reste je ne disconviens pas qu'on ne puisse, par la considération des limites envisagées d'une manière particulière, démontrer rigoureusement les principes du Calcul différentiel, comme Maclaurin, d'Alembert et plusieurs auteurs après eux l'ont fait. Mais l'espèce de métaphysique que l'on est obligé d'y employer est sinon contraire, (lu moins étrangère à l'esprit de l'Analyse qui ne doit avoir d'autre métaphysique que celle qui consiste dans les premiers principes et dans les premières opérations fondamentales du calcul.

A l'égard de la méthode des fluxions, il est vrai qu'on ne peut considérer les fluxions que comme les vitesses avec lesquelles les grandeurs varient, et y faire abstraction de toute idée mécanique; mais la détermination analytique de ces vitesses dépend aussi, dans cette méthode, de la considération des quantités petites ou évanouissantes; elle est par conséquent sujette aux mêmes difficultés que le Calcul différentiel.

Quand on approfondit ces différentes méthodes ou plutôt ces diff'érentes manières d'envisager la même méthode, on trouve qu'elles n'ont d'autre but que de donner le moyen d'obtenir séparément les premiers termes du développement d'une fonction, en les détachant et les isolant, pour ainsi dire, du reste de la série, parce que tous les problèmes

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dont la solution exige le Calcul (lifTércnticl dépoiident uniquement de ces premiers termes. Et Ton peut dire qu'on remplissait cet ohjel sans presque se douter ("jue ce t'ùl lii le seul but des opérations du calcul (|u'()ii eiiiployail .

La considération des courbes avait l'ail iiailrc la mélliode des iritiiiimcnt petits, (ju'on a ensuite transformée en méthode ^les évanouissants ou (les limites, el la considération du mouvement avait l'ait naître celle (les fluxions. On a liansporté dans l'Analyse les principes qui résultaient de ces considérations; et l'on n'a pas vu d'abord, ou du moins il ne paraît pas qu'on ait vu (jue les probb'mes qui dépendent de ces méthodes, envisagés analyticjuement, s(^ réduisent simplement à la recherche des fonctions dérivées qui forment les premiers termes du développement des fonctions données, ou à la recherche inverse des l'onclions pi'imitives par les fonctions dérivées.

Newton avait bien remarqué dans sa première solution du problème sur la courbe décrite par un corps grave, dans un milieu résistant, que ce problème devait se résoudre par les premiers termes de la série de l'ordonnée; mais il se trompa dans l'application de ce principe, et dans sa seconde solution il employa purement la méthode dillerentielle, en considérant les différences de quatre ordonnées successives; et, quoiqu'il ait laissé subsister le passage où il dit que le problème se résoudra par les premiers termes de la série, on voit que ce passage n'a plus de rapport immédiat à ce qui précède ni à ce qui suit.

Il est donc plus naturel et plus simple de considérer immédiatement le développement des fonctions, sans employer le circuit métaphysique des infiniment petits ou des limites; et c'est ramener le Calcul dilférentiel à une origine purement algébrique, que de le faire dépendre uniquement de ce développement.

Mais, à la naissance du Calcul difîérentiel, on n'avait pas encore une idée assez étendue de ce qu'on entend par fonction.

Les premiers analystes n'avaient employé ce mot (jue pour désigner les ditférentes puissances d'une même quantité; on en a ensuite étendu la signification à toute quantité formée d'une manière quelconque

(rmie autre quantité; et il est aujourd'hui généralement adopté pour exprimer que la valeur d'une quantité dépend, suivant une loi donnée, d'une ou de plusieurs autres quantités données.

Sous ce point de vue on doit regarder l'Algèbre comme la science des fonctions; il est aisé de voir que la résolution des équations ne consiste, en général, qu'à trouver les valeurs des quantités inconnues en fonctions déterminées des quantités connues. Ces fonctions représentent alors les différentes opérations qu'il faut faire sur les quantités connues pour obtenir les valeurs de celles que l'on cherche, et elles ne sont proprement que le dernier résultat du calcul.

Mais, en Algèbre, on ne considère les fonctions qu'autant qu'elles résultent des opérations de l'Arithmétique, généralisées et transportées aux lettres, au lieu que, dans le Calcul des fonctions proprement dit, on considère les fonctions qui résultent de l'opération algébrique du développement en série lorsqu'on attribue à une ou à plusieurs quantités de la fonction des accroissements indéterminés.

Le développement des fonctions, envisagé d'une manière générale, donne naissance aux fonctions dérivées de différents ordres; et, l'algorithme de ces fonctions une fois trouvé, on peut les considérer en ellesmêmes et indépendamment des séries d'où elles résultent. Ainsi, une fonction donnée étant regardée comme primitive, on peut en déduire pai' (les règles simples et uniformes d'autres fonctions que j'appelle dérivées; et, lorsqu'on a une équation quelconque entre plusieurs variables, on peut passer successivement aux équations dérivées, et remonter de celles-ci aux équations primitives. Ces transformations répondent aux dilTérentiations et aux intégrations; mais, dans la théorie des fonctions, elles ne dépendent que d'opérations purement algébriques, fondées sur les simples principes du calcul.

Les fonctions dérivées se présentent naturellement dans la Géométrie, lors([n'on considère les aires, les tangentes, les rayons osculateurs, etc.; et dans la Mécanique, lorsqu'on considère les vitesses et les forces. Si l'on regarde, par exemple, l'aire d'une courbe comme fonction de l'abscisse, l'onlonnée en est la première fonction dérivée ou fonction

DES FONCTIONS. Il

prime; l<^ lapport di' rordoiinéc à la sous-tangente est exprimé par la fonction prime de l'ordonnée, et par eonsé((nent par la seeonde l'onction dérivée ou fonction seconde de l'aire; le rayon osculateur dépend des deux premières fonctions dérivées de l'ordonnée, et ainsi de suite. De même, en regardant l'espace parcouru comme fondion du temps, la vitesse en est la loiiction prime et la force accélératrice en est la l'oiiction seconde, (le n'est peut-être pas un des moindres a\anl;ii^('s du (Calcul des fonctions de four'uir, pour ces éléments de la (léométrie des courbes et de la Mécanique, des expressions aussi simples et iiilellig'ibles que le sont les expressions algéhri(|ues des puissances el des racines.

Lors(|u'on envisage une fonction relativement ;i une des (|uaiitités (jui la composent, on fait abstraction de la valeur de cette quantité, et l'on ne considère que la manière dont elle est combinée avec ellemême el avec les autres (juanti tés. Ainsi la fonction estcensée demeurer la même, tandis que cette quantité varie d'une manière quelconcpie, pourvu que les autres quantités avec lesquelles elle est mêlée demeurent constantes : ce qui introduit naturellement, par rapport aux fonctions, la distinction des quantités en variables et constantes.

Dans l'Algèbre ordinaire, on distingue simplement les quantités en connues et inconnues, et l'on a coutume de désigner les unes par les premières lettres de l'alphabet, et les autres par les dernières. L'application de l'Algèbre à la théorie des courbes a fait d'abord distinguer les <iuanlités (jui «'iitrent dans l'équation d'une courbe en données, telles que les axes, les paramètres, etc., et en indéterminées, telles que les coordonnées. Depuis on a envisagé ces mêmes quantités sous l'aspect plus naturel de constantes et de variables; et la considération des fonctions porte naturellement à regarder sous ce même j)oint de vue les différentes quantités qui les composent.

Nous appellerons donc s'\m^\vment fonction d'une ou de plusieurs quantités toute expression de calcul dans laquelle ces quantités entreront d'une manière quelconque, mêlées ou non avec d'autres quantités regardées comme ayant des valeurs données et invariables, tandis (jue

les quantités de la fonction sont censées pouvoir recevoir toutes les valeurs possibles.

Nous désignerons ordinaircnient les variables des fonctions par les dernières lettres de l'alphabet a?, j', ..., et les constantes par les pi'eniières rt, b, c, .... Et, pour marquer une fonction d'une vari;d)l(', MOUS ferons simplement précéder cette variable de la lettre caractéristique / ou F. Ainsi ,/(.r) désignera une fonction de œ; /{•tc'^), f a H- hx), . . . désigneront des fonctions de oc-, de a -+- bx, ....

Pour marquer une fonction de deux variables indépendantes comme x,y, nous écrirons /(j?,j), et ainsi des autres. Lorsque nous voudrons employer d'autres caractéristiques, nous aurons soin d'en avertir.

Si deux fonctions de deux variables différentes x, y, c'est-à-dire l'une de X et l'autre de v, sont composées de la même manière et avec les mêmes constantes, ces fonctions seront pareilles et pourront être désignées dans un même calcul par la même caractéristique; ainsi /(^r) et /(/) seront deux fonctions pareilles qui deviendront identiques en h\santj = ^. Mais si, les deux fonctions étant composées de la même manière, les constantes qu'elles contiennent sont différentes, alors on ne pourra plus, généralement parlant, les représenter par la même caractéristique dans le cours d'un même calcul. Cependant, si les deux fonctions ne diffèrent, par exemple, que par la valeur d'une constante, qui serait a dans l'une et b dans l'autre, on pourra encore les désigner par la même caractéristique, en les représentant par/(^, a) Q\f{y, b), comme des fonctions pareilles de x, a et de y, b. Ainsi, dans ce cas, les quantités a et b entreront aussi dans l'expression de la fonction, parce que, quoique constantes dans chaque fonction, elles peuvent être regardées comme variables d'une fonction à l'autre.

Nous n'entrerons ici dans aucun détail sur les différentes formes des fonctions; mais nous allons considérer la dérivation des fonctions les unes des autres, dans laquelle consiste proprement le Calcul des fonctions.

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