LI<:C()^ DEUXIÈME

suri LE DKVELOF'PEMF.NT 1) UNE FONCTION D UNE VARIABLE, LORSQU ON ATTI'.ir.li: UN ACCROISSEMENT A CETTE VARIARLE. LOI GÉNÉRALE DE CE DÉVELOI'I'EMENT. ORIGINE DES FONCTIONS DÉl'.lVÉKS. DIFFÉRENTS ORDRES DE CES FONCTIONS. LEUR NOTATION.

Considérons une fond ion /(.x-) d'unie variable quelconque x. Si à i;i place (le ^ on substitue x-\-i, «' étant une <|uantité quelconque indéterminée, elle deviendra /(a; H- f), et, par la théorie des séries, on pourra la dévidopper en une suite de cette forme

J'[.r ] -\- ip + L- (j -i- r' /• + ...,

dans laquelle les quantités/), q, r, . . ., coefficients des puissances de ^ seront de nouvelles fonctions de j:-, dérivées de la fonction primitive /(^), et indépendantes de la quantité i.

Il est clair que la forme des fonctions p, q, r, ... dépendra uniquement de celle de la fonction donnée/(x), et l'on déterminera aisément ces fonctions, dans les cas particuliers, par les règles de rAlg(d)re ordinaire, en développant la fonction dans une série ordonnée suivant les puissances de i.

Cette dérivation des fonctions est une opération plus générale (|iie l'élévation aux puissances et rextraclion des racines, et les prineip;iii\ problèmes d'Analyse, de Géométrie et de Mécanique en dépendent, comme on l'a montré dans la T/n'orie des fonrtiorts analytiques.

Mais, pour ne rien avancer gratuitenu-nt. nous commencerons par examiner la forme même de la série qui doit résulter du dévelopj)en)ent de toute fonction /(.r), lors([u'on y substitue a; H- /au lieu de a\

i4 LEÇONS SUR LE CALCUL

et que nous supposons ne devoir contenir que des puissances entières et positives de i. Cette supposition se vérifie en effet par le développement (les différentes fonctions connues; mais personne, que je sache, n'avait cherché à le démontrer a priori, ce qui me parail néanmoins d'autant plus nécessaire qu'il y a des cas particuliers oîi elle peut ne pas avoir lieu.

Je vais d'ahord démontrer que, dans la série (jui résulte du développement d'une fonction /(x+i), il ne peut se trouver aucune puissance fractionnaire de /, à moins qu'on ne donne à x des valeurs particulières.

En effet, il est clair que les radicaux de i ne pourraient venir que des radicaux renfermés dans la fonction même/(^), et il est clair, en même temps, que la substitution de ^ +/ au lieu de x ne pourrait ni augmenter ni diminuer le nombre des radicaux, ni en changer la nature, tant que iT et i seront des quantités indéterminées. D'un autre côté, on sait, par la théorie des équations, que tout radical a autant de valeurs différentes, ni plus ni moins, qu'il y a d'unités dans son exposant, et que toute fonction irrationnelle a par conséquent autant de valeurs différentes qu'on peut faire de combinaisons des différentes valeurs des radicaux qu'elle renferme. Donc, si le développement de

la fonction /(^ + /) pouvait contenir un terme de la forme m" , la fonction/(x) serait nécessairement irrationnelle, et aurait par conséquent un certain nombre de valeurs différentes, qui serait le même pour la fonction/(a7 -\-i), ainsi que pour son développement. Mais ce développement étant représenté par la série

f[x]-\- pi + qi--\- . . .-\- ni" + . . .,

chaque valeur àe f[x) se combinerait avec chacune des valeurs du radical \i"'\ de sorte que la fonction /(.a:' h-/) développée aurait plus de valeurs différentes que la même fonction non développée, ce qui est absurde.

Cette démonstration est générale et rigoureuse, tant que x et / demeurent indéterminés. Elle cesserait de l'être, si l'on donnait à x des

DES FONCTIONS. lo

valeurs déterminées; car il serait possible que ces valeurs déliiiisissenl (juelqiies radicaux dans/(a;), (jui pourraient néanmoins subsister dans fix-^-i). Nous examinerons à part ces sortes de cas et les conséquences (jui en résultent.

Nous venons de voir (jiie le développenienl de la fonction /'.r -h/) ne saurai! coiiteiiir en i^énéral des puissances IVaelidiiiiaiics de /; il esl facile de voir aussi (|ii'il ne poiiJi'a eonlenir non pins des puissances négatives de /.

C.ar, si parmi les termes de ce développement il y en avait un de la

lorine -.-^^ r?î étant un entier positif, en faisant /:=o, ce terme deviendrait infini; donc la fonction /(.t -h «) devrait devenir iniinie l(H'S(|ne i=zo; par conséquent, il faudrait que /(a:) devint intinie, ic (jiii ne peut avoir lieu (jiie pour des valeurs particulières de ac.

Nous sommes donc assurés que, /(a?) exprimant une fonction (joelconquc de ^r, la fonction /(a; + ?) peut, généralement pai'Iant, se develop])er en une série de cette forme

dans laquelle p, q, r, ... seront de nouvelles fonctions de x, déiivées de la fonction \)v\iml\\e/{x).

Quoique la forme de ces fonctions dérivées dépende essentiellement de celle de la fonction primitive, il règne néanmoins entre (dles une loi générale que nous allons exposer.

Supposons que l'indéterminée x soit changée en x + o, o étant une quantité quelconque indéterminée, et indépendante de ^ il est visible que la fonction /(.r h- î) deviendra y(d?-f-« -ho); et l'on voit en niènje temps (jue Ton aurait le même résultat, si l'on in<'ttait, dans / .r -(-/), /-ho à la place de/. Donc aussi le résultat sera le même, soit (ju'on substitue /-ho à la place de /, on .r-ho à la place de x dans la seiie /(.r) -h if) ^- i-q -h /V-h. . ., (ju'on suppose égale à la fonction / x-hi).

La substitution (\v i -\- o au lieu de /, dans cette séi'ie, donnera

/(.r) 4- {i-{-o)p -h [i-^-oy^q -+- [i-ho^r +. . .,

savoir, en développant les puissances de /-ho, et n'écrivant, pour abréger, que les deux premiers termes de chaque puissance, [)arce que la comparaison de ces termes suffit pour notre objet,

f [x) -\- ip -\- i- q + i^ r + i'' s -{-... -\- ojj -+- ■?. ioq -h 3 i- o/- + [\i^os-\- . . . .

Pour faiie maintenant la substitution de x-{-o au lieu de ce dans la même série, nous observons que, puis(|ue la fonction /"( a?), devient f{x) -r-ip ^ . . . y lorsqu'on cbange x en .r 4- /, elle deviendra /" X ) -\- op -\- . . . , en y changeant x en x -\-o. De même, si /? -h //>' + ... , (] -^ iq' -\-. . ., r -\- ir -\- . . . sont ce que deviennent les fonctions/»,^, r, ... lorsqu'on \ substitue x -h f au lieu de x, et qu'on les développe suivant les puissances de i, on aura, en changeant i en o,

p -\- op' -h. . ., q -+- oq' -h . . . , /• + o/-' -I- . . . , . . . ,

pour les développements des mêmes fonctions après la substitution de x + o au lieu de x.

Donc, par cette substitution, la série /(.r) -h ?/> -f- ^-^ -h. . . deviendra, en omettant les termes qui contiendraient le carré et les puissances plus hautes de o,

f[x] + ip -+- i-q -+- /'■' /■ + i'' .V + . . . + o/> + iop' + i'^ oq' -+- i^ or' 4- . . . .

Ce résultat doit être identique avec le précédent, indépendamment des valeurs de i et de o qui peuvent être quelcojiques; il faudra donc que les termes affectés des mêmes puissances et produits de i et o soient identiques en particulier. Ainsi on aura les équations identiques

■2.qz=p\ 3/=r/', 4-^ = ''j •••; d'où l'on tire

^J=lP', ''~Wy ^^—\l-',

Dénotons en général par /'(x) la fonction/), dérivée de la fonction f[x), en mettant un accent à la caractéristique/, pour indiquer la dérivation de la fonction. Dénotons de même par/'^if ) la fonction dérivée de la fonctiony'(a"), en ajoutant un accent à la caractéristique /' de la

i'o[\c[\un/\jo) d'où elle est dérivée. Dénotons paicilleinent p;»i/"(a7) la fonction dérivée ({e/"{x), et ainsi de suite.

Ces fonctions /'(.r),/"(x), /'"(a.-), ... ne seront anti'<! chose que les coefTicienls de i dans les premiers ternies des (léveloppeinents des l'on cl ions /i^r -h i),/'[x -h /), /"{■'r -\- i), ....

On aura ainsi p =f'(^x), et coiunic />' est la foucliou dérivée de /;, (tn aura // =f"[.x), et, par conséquent, </ = -^f'\x). Ensuite, ff élaiil la louction dérivée de y, on aura r/ = ^/'"(.r), et, par ronsé(juent, r= ^^J""[x)\ et ainsi de suite.

Donc, substituant ces expi-essioiis dans la série

(|ui est le dévcloppeiiient de /(a;- H- /), ou aura celle lorniule loudani en ta le

Cette expression du développement de/^r h- /) a l'avantage; de faire voir comment les termes de la série dépendent les uns des autres, et surtout comment, lorsqu'on sait former la première fonction dérivée d'une foucliou [)rimitive quelconque, on })eut former toutes les fonclious dérivées que la série renferme.

Nous appellerons la ÏQ\wi\(mf[x) fonction primitive, par rappoit aux loiu'tious/'(ip),/"(,r), .. ., (|ui eu dérivent; et nous appellerons celles-ci fondions dérivées^ par rapport à celle-lk. Nous nommerons de plus la fonction dérivéey'(^), première fonction dérivée, on fonction dérivée du premier ordre, ou ^'\m\ÀQmç:n{. fonction prime ; la fonctiony"(x), dérivée de celle-ci, seconde fonction dérivée, ou fonction dérivée du second ordre, ou simplementyb/ic//o/i seconde; la fonction /""(a;), dérivée de la précédente, troisième fonction dérivée, ou fonction dérivée du troisième ordre, ou ^\\\\\\c\\\e\\\ fonction tierce, et ainsi de suite.

Mais nous entendrons loujoui's \yAV fonction c/enVee simplement la premii're fonction dérivée, et [)ar' yc»//t7/o// /j/V/zz/VAc celle d'où elle csl X. 3

censée dérivée. Nous leur donnerons aussi quelquefois, pour })lus de simplicité, le simple nom de dérivées ou de primitives.

Si la fonction primitive n'est pas représentée par la caractéristique/, mais par une autre variable, comme lorsqu'on suppose 7 fonction de x, donnée par une équation quelconque entre x et j, alors on pourra dénoter de même ses fonctions dérivées par des accents ou traits appliqués à la lettre y, et les appeler ?\m}^\emQni y prime, y seconde, y tierce, etc.

Ainsi, y étant regardée comme une fonction quelconciue de x, ses fonctions dérivées seront représentées par y, y", y'", ...;de sorte (juc y élaiit la fonction primitive, y' sera sa fonction dérivée du premier oi'dre, ou fonction prime,/" sera la fonction dérivée du second ordre ou fonction seconde, etc., et on les nommera j/J/f'me, y seconde, etc.

De cette manière, x devenant -r -h /, la valeur de y deviendra

y + ly -^ — y H 5- y

En général, si l'on a une expression quelconque en x, y, ..., ou poui'ra désigner ses fonctions dérivées par des traits appliqués à la même expression renfermée entre deux parenthèses. Ainsi

i'a -h bx + c v Y

\c/-l- ex -\- gy )

représentera la première fonction dérivée de l'expression

a -\- bx -\- cy d-\-ex -\- gy

et

/a-\- bx 4- c/ Y \d+ex^ gy]

représentera la seconde fonction dérivée de la même expression, et ainsi de suite.

Et, si l'on a une fonction de plusieurs variables, x,y, ..., exprimée en général par/(.x, y, ...), on dénotera ses fonctions dérivées relatives il toutes ces variables, en appliquant un, deux, .., traits à la carac-

iis(i(|ii('/; ;iiiisi /'x, V, ...) dénotora sa fonction prime, /"(:r, y, ...)sa loiR'lion seconde, etc.

Qnoifjuc les fonctions dérivées doivent leur origine an développenieni de la l'onctiun |)i'iinitive lorscju'on augnK'nte la variabh; d'une «juanlité quelconque /, on voit ([u'eilcs sont indépendantes de cette même quanlite (jni ne sert, pour ainsi dire, (jue comme un onlil pour former ces fonctions. Ainsi, di's (pTon aura trouvé, par la considération du premier terme du développement, des ri'gles généi'ales pour passer (riiiie loi\(li(»n primitive ;i la fonction dérivée, on pourra faii'e abstraction de tout développement, et regai'der la dérivation des fonctions comme une nouvelle opération d'Algèbre plus générale et d'une beaucoup plus grande étendue que l'élévation aux puissances.

Ceux (pii savent le Calcul différentiel n'auront pas de peine i» se convaincre (|uc les fonctions dérivées /'(a?), /"(a?), ...,/, r", ... revieniu'ut aux (juantités qu'on désigne dans ce Calcul par

df[x]^ d^f[x)^ ^ ^^ ^, ^', ..., dx ' r/^2 ' ' ^jj ' d^i '

et ainsi des autres expressions semblables.

20 LEÇONS SLR LE CALCLL