X- — "2 aj' H- «- — /> = o

elle donne

n = ~y'-+- vV-+J--— b,

donc

cl, (le l;i,

sjx- -\- y- — b

sjx- -{- y- — b

OÙ l'on voil que cos deux fonctions (Icvicnnrnt infinies pnr rr(|M;irKiii

|)i'iini(iv(' sini^iilicre

Nous avons trouve plus haut cette équation du [)ienii('r ordre

|)onr ré(iualioii [)rinii(ive singulière de l'équation du second ordre

y - xy' + ^ y" - [y' — x) " ) 2 — j "-' = o ; en dégai^eant la l'onction j', on a

el, divisant \yAY -;;:\ lijy -^ L\x- -^ x\ on obtient

\liQy-\-^x'^-\-x''

équation dont les deux membres sont des fonctions dérivées exactes. Kn prenant leurs fonctions primitives, et ajoutant la constant*' arbitraire /•, on aura l'équation primitive

sj li^y-T- ^x- H- x'' z=xsj-i'^ x- -i- /(s/« H- x- -f- ^) -f- /.',

comme il est facile de s'en assurer en pi'enant les fouet i(Mis dérivées de ses deux membres.

Cette équation est, comnu' l'on voil, bien ditlérente île réqnation primitive complète

y X- ~ bx — a b- = o;

mais elle satisfait également à récjualioii proposée du second ordre, parée qu'elle satisfait, en général, à l'équation du prfmier ordre, qui satisfait à eelle du second ordre, comme primitive singulièie.

.Mais cette é(juation du premier ordre peut avoii* (dle-mèine une primitive singulière qu'il est bon de chercher.

(lomme la constante / est débarrassée des vaiiables .r et v, on a iininédiatement

k = \l iQy H- ^x'^ + x'' — a- V I H- Jc- — /( \ i + ^'- -^ ^')^

(h' sorte que, en désignant cette fonction par fl'(.i, v), et prenant les fonctions dérivées relatives à x ou r, on aura sur-le-champ

y/ 1 (^y + 4 ^' + -^ ' donc, supposant cette quantité infinie, on aura ré(juation

pour l'équation primitive singulière de l'équation du premier ordre, qui est déjà elle-même une primitive singulière de la proposée du second ordre.

Elle satisfait, en effet, comme on peut s'en assurer, à l'équation du premier ordre; mais elle ne satisfait plus à celle du second ordre.

On aurait pu aussi déduire immédiatement cette même é(juation singulière de l'équation primitive entre x ni y

y X- — bx — a b- =-o,

en déterminant a et h par ses deux équations dérivées relatives à a et b.

On aura ainsi

- .r- H- -i a ^= o, X -\- ib :=^ o,

d'où l'on lire

siil)slilii;ml CCS valciiis dans rc(|ii:ili()n prcccdciitc, clic (Icviciidiail

rn- — -. + -,- =o.

Il ii'csl pas dillicilc, cii cll'cl, {\v dciiioiilrcr, [>ar la llicoric liciicralc des c(|iiali(»i)s |)riiiiilivcs siiii^tilièros, (jiic ces sortes d'ccpialioiis j)riiiiilivcs siiii^iilii'i'es doiildcs rcsiillciil de l'i^jualioii primitive

en éliiniiiaiil les deux coiistaiites d et A par les deux ('(juations |»aili-

culières

F[n] = o, et F'(Aj = o.

l'^l par la il est aisé de voir la raison poiii(jiioi elles ne satisfont pas, en généial, à ré(|uation du second ordre, dont

est ré(|ualion piiniilivo complète avec les deux constantes arbitraires c/ et />.

(-ar soit

cette é([uation du second ordre; elle résulte, comme nous l'avons vu, de l'élimination de a et b regardées comme constantes, au moyen des ti'ois é(|uations

Mais, lorsqu'on regarde a et h comme des fonctions de .r et v,

récjualion dérivée de

n'est plus simplement

mais elle devient

laquelle se réduit ce[tendanl ;i

en déterminant a et b par les deux conditions

W[U) — o, et F'(6) = o,

(|ni sont celles de l'équation primitive singulière double.

Comme la (bnclion dérivée Y\x, y), étant développée, renferme les variables ,r, y, y' et les deux constantes a et h, désignons-la par 9 (a-, y, y', a, h); il est clair que la troisième écjuation

où a et b sont regardées comme constantes, sera représentée par

mais, dans le cas où ces quantités sont variables, elle deviendra

o'{x,j',y] -h a' 9'(rt) -h b' o'[l>) = o, qui ne se réduit plus à

parce que les deux fonctions 9'(«) et ''f'(^) ne sont pas nulles. Ainsi il est impossible que l'équation

dans laquelle a et b sont des fonctions de or et y, déterminées par les

conditions

satisfasse généralement à l'équation du second ordre qui résulte de la même équation pai' l'élimination des quantités a et b, au moyen de ses deux dérivées, première et seconde, prises en regardant a et b comme constantes.

On peut étendre cette tbéorie aux équations ])rimitives des é(|uations des ordres supérieurs.

Ainsi, si l'on a l'équation primitive

dû (t, h, <■ sont li'ois ("oiishiiilrs aibilrain's, et «lu'oii (Iclcniiiiic ces trois quantités par k'S dois coiidiliuiis

(»ii aura iiiic (''(iiialion primitive slugulii-rc liiplc, (|ni sera, par consé- (juent, la primitive singiilii'rc (rime (''(jiialion du premier ordre, (jiii sera (dic-mème la primitive sini^ulière d'uue autre du second ordre, la(jiielle sera enfin la primitive singnlii-rcî de l'érjuation du troisième ordre, dont la même équation

sera la primitive ordinaire complète avec les trois constantes arbitraires a, h, c \ mais cette équation primitive singulière triple ne satisfera ni ;i l'écpiation dn troisième ordre, ni même à sa primitive singulière du second ordre.

Nous avons démontré plus haut que les fonctions 4>'(a:), ^l''(r), t^'(y'), . . ., <i>'(yf«-')) ont des valeurs infinies dans le cas de l'équation primitive singulière de la dérivée, dont

est la primitive ordinaire, avec la constante arbitraire a.

On- peut conclure de là, tout de suite, que tout multiplicateur (|ui rendra une équation de l'ordre quelconque //, telle que

nue dérivée exacte d'une équation de l'ordre inférieur n — i, deviendra nécessairement infini en vertu de l'équation primitive singulière de la même équation.

Car soit M ce multiplicateur : on aura donc, par l'hypothèse,

et ré(piation |)rimitive sera

Or,

Donc

par consé(jU(Mit la (juaiitité M deviendra infinie par la siihstilntion de la valeur de y'"~^'' donnée par l'équation primitive singulière.

Cette conclusion suit aussi directement de la l'orme même des multiplicateurs, ([ue nous avons donnée dans la Leçon Xlll. Va\ ell'el, si ré(juation est du premier ordre, comme

(die n'aura (|u'une équation primitive, telle que

et tous les multiplicateurs de cette équation sont nécessairement l'cnfei'més dans la formule ^ „, :' •> <î>(«) étant une fonction (luel-

conque de d, en supposant (ju'on substitue pour a sa valeur tirée de

la même équation

Y[Xyy, a) = o;

donc, puisque l'équation primitive singulière rend la fonction F'(<'/' nulle, tous les multiplicateurs deviendront aussi infinis. Si l'équation dérivée est du second ordre, comme

elle peut avoir deux équations primitives différentes, chacune du premier ordre, telles (|ue

Y[x,},y' ,a]=^o et P(.r, j,/, /*) = o;

et la formule générale des multiplicateurs sera

1'' « V'ilA

DES 1' ONCTIONS. I8î)

'I' <i, h j claiil iiiK' (niiclioii (|ii('lc()ii(jii(' de d cl h, c'csl-à-dirc de leurs valeurs délerminées |tai' les e(|iiali()iis jHécédcnles.

Or ré((iiali(»ii |nimilive sini^iilii-re rend iiidie (diaeiine des deux l'oiieiKHis déi'ivéos F'(«), V'[b)\ doue Ions les ninlli|)liealcnfs deviendronl inlinis dans le cas de eede é(|nali(>M, el ainsi de suite.

Par exemple, l'eiinalion

\jx- -T- y- — b — y

(|iii est la même (|ue celle (pTon a considérée ci-dessus, :i, poni' Tun de ses niultiplicalcni's, la (pianlilé

sjx- + y- — b — y \Jx- + y- — /;

En supposant ce ninlliplicaleni' iiilini, on a

pour son équation primitive singulii-re; ce qui s'accoi'de avec ce (pi'on a déjà trouvé.

Ou a donc ainsi un nouveau moyen de trouver les é(juations piimitives singulières par les multiplicateurs.

>rais, quoiqu'il soit prouve que tout multiplicateur doit devenir inlini par l'équation primitive singulière, on ne peut pas dire, récijuoquemeut, ([ue toute écjualion (jiii rendra un miilli|)licateur infini sei-a une é(|ua(ion singulière. Eu elFet, la formule générale des niulliplica-

teurs étant pour le |»remier ordre ^ „ , ,-^-> il est évident (lue sa va-

leur peut devenir intinie sans que l'on ait

car pour c(da il sullit (|ne l'une ou l'autre des jonctions 'I»(a), F'( v) l'ccoive une valeiu' inlinie.

Au reste, on peut se convaincre aussi, |)ar ce l'aisounement lort simple, (|in' ré(piali(Hi' primitive singulii're doit icndre inlini tout

miiltiplicatcui' (riiiic équation d'un ordi'c quelcon(|U{; n, de la forme

(/ar, M étant un multiplicateur de cette équation, on aura el l'équation deviendra

<i>'[x,x,r', ■ • -yX^" '^) = u.

dont la pi'imitive sera

(I étant une constante arbitraire.

3Iaintenant l'équation primitive singulière doit satisfaire à la proposée

^.(«)+/(.r,j-,7'', ...,j(«-0)=zo,

(^t ne doit pas être comprise dans sa primitive complète

Donc la valeur de y"~^\ tirée de la primitive singulière, étant substituée, dans la l'onction (I>(\r, y, y', ,.., j'"~'^), ne doit pas la rendre égale à une constante; par conséquent elle ne devra pas rendre nulle sa dérivée ^'{x, y, y , . . ., y'"~'^).

Donc cette valeur doit rendre nulle la quantité

y<")-\-f[x,y,y',...,y<"-^^), cl ue doit pas rendre nulle la ({uantité

ce qui ne peut avoir lieu qu'autant qu'elle rendra la (juantilé M infinie.

I)i:S FONCTIONS. 191

(.est a jx'ii jUTS de ('('(te iiiaiiiri-c (jnc l.aplacc a (IciiioiiUr |.- pn- Miirr ccKc proposilioii iiiipoilaiitc, (iiic (raiitrcs i^^c-onM'lrcs avaiciil cii- Ircvik', mais don! dii ii'avail pas cmcoic (loiiiic une (léiiioii.slial ion ri^oiii'ciisc. ]()//■ son Mcntoirc sur les Soliilions ixirliciillrirs . parmi <'<'ii\ (le l'Acadrmic des Sciences (\v \~--a.

192 LEÇONS suit LE CALCUL