LEÇON QUINZIÈME
COMMErsT L 1:QLATI0> PIUMITIVE SINGULIERE RESULTE DE L EQUATION DERIVEE.
Par k's principes que nous venons d'élablir, on peut ti'ouver ré({ualion primitive singulière de toute équation dérivée dont on connaît déjà ré(juatioii primitive de l'ordre immédiatement inférieur, ou doni on est en état de trouver cette équation à l'aide d'un multiplicateur.
Nous allons voir maintenant comment on peut déduire l'équation primitive singulière de l'équation dérivée seule.
Pour cela, il faut examiner ce que l'équation dérivée devient dans le cas de l'équation primitive singulière.
Reprenons le principe fondamental des équations primitives singulières.
Si
F ( X, Vy a] = o
est l'équation primitive d'une équation du premier ordre, celle-ci sera le résultat de l'élimination de la constante a, au moyen de son équation dérivée
relative à .r et r; et l'équation primitive singulière sera le résultat de rélimination de la même quantité a, au moyen de l'équation dérivée
relative à a.
Suj)posons (jue l'on tire de ré(juation
DES FONCTIONS. VXi
la valeur de (/ en roiiclioii de .r, v, y', (|in' je i'<'|ir(''Sonterai par
rpf.r, y, y'), cl (ju'on siihsliliic (■clic l'oïKiiou an lien (\r (i, dans IV-cjua-
lioii priiiiilivc
F(a',j, rt) = o,
nii aura une c(|uali()n en .r', r, v' (jui sera la dérivée de la proposée. Ainsi, en désii^nanl siniplenn'nl pai' o la lonrlion -^(.1-, y, y'), on aura
pour ré(|narK)n dérivée.
IMcnoiis niainlenanl'la dérivée de celle-ei, et, eoinnie o est une l'onclion des variables .v, y, y', on aui'a cette équation
on rcx()ression F'(.r, y) est la même chose (jue le |)remier ineinhrc de
reqnalion ci-dessus
F'(jr,j) = o,
si ce n'est qu'i» la |>lace de a il y a sa valeur o, tirée de cette niénu' équation; d'où il suit <jne l'expression dont il s'agit sera idenlicjncnient nulle, pnisfju'elle est censée être le résultat de la suhsiilnliou de la valeur de c/, (jui la rend nulle.
L;i dérivée de Téqualion du premier ordre
se réduira donc siFiiplenicnt à celle-ci
o' ¥'[o) = o, la(|uelle s<' décompose, comme l'on voit, en ces deux-ci,
9'^=o et F'(9):=o.
J.a premièi'c
o'= o, savoir, o''' x,y',y'') 1= o,
est une é(}nalion du second ordre (jui doniu' la valeur de y" en i \ v
et y.
l'Ji LEÇONS SUR LE CALCUL
Cette équation a pour équation primitive 9 égal à une constante arbitraire; ainsi
o^=z a ei F ^ X, ■>•, 9 ) = o
sont deux équations primitives du premier ordre de la même équation
du second ordre;
9'F'(cp)-o;
donc, pni' la théorie exposée dans la Leçon XII, éliminant y' de ces deux équations, on aura l'éepiation primitive de
dans laquelle a sera la constante arbitraire; mais, comme r' n'est contenue que dans la fonction 9, le résultat de cette élimination sera le même que celui de l'élimination de 9; par conséquent ce résultat sera
ce qui redonne la même équation primitive d'où l'on était parti. Considérons maintenant l'autre é({uation
celle-ci satisfait aussi, comme l'on voit, à la même équation du second ordre; mais, comme elle ne contient que les fonctions y et y', elle peut être regardée comme une équation primitive du premier ordre de la même équation, mais sans constante arbitraire. Ainsi, en éliminant y' par le moyen de celle-ci et de l'équation du premier ordre
F(.îc,r, 9) = 0,
on aura une nouvelle équation primitive de cette même équation, qui sera nécessairement ditTérente de l'équation primitive
Or, comme la quantité y' n'est contenue (jue dans la fonction 9, le résultat de l'élimination de y', des deux équations
F'(9) = o el F(x,j, 9)=:o,
sera le même que celui de l'élimination de 9, comme nous l'avons
(l('j;i observé plus liaiil; et ce l'ésiillat sera ('vidciiiiiiciil le iihmik; (jiic celui (le rélimiiialioii de la (|iiaiililé r/des dru\ é(|iiali()iis
V'ia^ :-o el V[x,y,a)=:o.
J)()iie, par e<' (jiroii a déiiioiUré dans la Leeoii préeédeiile, ee résultat donnera l'équation primitive singulière de ré(|uation dérivée dont
est l'équation primitive ordinaii-e, a étant la constante arhiti'aire. D'où l'on doit conclur-e (jue ré(|iialion
donnera, par l'élimination de y', la même équation pi'imitive sint'Ulii're de la jiroposée du premier ordre
F(^, J, 9) = o, (ju'on eût li'ouvée d'aprî's son équation primitive
F(^,j, rt)— -o,
suivant les principes et la méthode exposés dans la Leçon précédente.
On voit par là (|u'il est toujours possible de mettre l'équation dérivée sous une l'orme telle que sa dérivée donne elle-même immédiatement l'équation primitive singulière, s'il y en a une; et c'est une observation qui n'avait point encore été faite jus(|u'ici.
Reprenons l'équation du premier exemple de la Leçon précédente :
en la regardant comme un(! équation primitive dont a est la constante arbitraire; pour avoir l'équation dérivée qui ait la propriété dont il
s'agit, il faudra v substituer pour a sa valeur — tirée de la dérivée
X — ay' := o.
Ainsi l'équation dérivée dont il s'agit sera
ixy X- .
