X- = lay -h c

a et c étant des constantes arbitraires; mais la proposée n'étant (|uc du premier ordre ne peut avoir qu'une constante arbitraire; il l'aul donc qu'il y ait une relation entre ces deux arbitraires; pour la trou ver il faut substituer dans la proposée les valeurs de y et v' liiées d(■^ équations primitives que nous venons de trouver. Ces valeurs sont

et —•> et I on aura

x- — b — X- -^ c — a- = o, et de là c ^: a- -\- h; de sorte que réquati(tn piiiiiitive sera

x- = lay -f- a- + b, comme ci-dessus.

Il n'est pas même nécessaire de passer à une seconde é(|ualioii jui-

niilive; car ayant trouvé — = <-/, il n'y a (ju'à substitin-r tout de suite

a aussi

x- — b — lay — a- ^=^ o.

la valeur de )''r;=- dans la proposée du premier oi'dic. el l'on :inr:i

Considérons les équations du second ordre. Soit

l'cqualiuii [)i'imitiv(' du prciiiicr ordre d'une equaliuii dérivée du second,

Kn élimiiiant a au moyen de l'équaliou

on aura l'équation du second ordre; et, en l'éliniinaiU au moyen de l'équation

on aura l'équation primitive singulière.

Soit ^^{œ, y, y, y"), ou simplement o, la valeur de a en fonction de jc, Y, y, y, tirée de l'équation

en substituant cette valeur dans l'équation primitive, on aura une é(juation dérivée de la forme

F(r,j,>'',cp) = o;

et, si l'on prend l'équation dérivée de celle-ci, il est visible que la partie F'(^, y, y'), relative à la variation de œ, y, y, sera identiquement nulle, puisque la quantité o, qui y est regardée comme constante, est supposée déterminée par l'équation même

Il ne resleia donc que l'équation

qui se décompose en

ç' = o ei F'{o) = o.

L'équation

çp' = o

sera du troisième ordre, et donnera la valeur de y'". Son équation priuïitive sera évidemment

en prenant a pour une constante quelconque. Eliminant y', qui est

coiilciiii dans o, au iiioycii de l'r(|iiali(»ii (Icrivcc

F(jr,j,/,9)r=o,

on aura le iik'Iiic ii'>iillal (\\\r pat- rrliiiiiiialioii de o; c'csl-a-dirc.

F(.r,j-,j-', «;,--(», ('(jualion pi'iinitiv(\

[/autre ('(|iiali(iii

domicra aussi, |)ar rrlnuinalion de v", le niruic rrsullal (pic par l'rliiniiialion de o, cl, par consrcpicut, le uiènic rcsullal (|nc par l'cliininalion i\v ((, au uioncu des (Mpialious

F'{a) = o et Fi r,r,j', rt; = o,

(|ui sont les inèiues eu v eliaugeaiil (f eu o.

Donc ce résultat sera l'équation piiiuitive singulière de l'erjuatitui

du second ordre dont

est l'équation primitive du premier ordre. L'équation du second ordre

(\uv nous avons considérée dans les Leçons précédentes, a pour dérivée

qu'on peut mettre sous cette forme

Le facteur y"——, n étant ([ue (\\\ même oi'dre (jiie la |iroposee. donnera, par l'élimination de v", une e(|ualion primitive siiii^ulière de celle-ci; cai', en taisant )'" — •— = o, on a

valt'ui- qui, étant substituée dans la proposée, donne

— ■ 1-1 = 0, savoir, a:- — y - = o,

coninic nous l'avons trouvé dans la Leeon précédente. L'autre facteur donnera l'équation du troisième ordre

(|ui, étant divisée par .r, a pour primitive dn second ordre

a étan! une constante arbitraire; celle-ci donne

substituant cette valeur dans la proposée, on a

I = O, ou X '}.ay

équation primitive, comme on l'a vu dans la Leçon citée.

Le même procédé s'applique aux équations d'un ordre quelconque; et l'on en peut conclure, en £!;énéral, que toute équation dérivée est susceptible d'une forme telle que sa dérivée ait deux facteurs, dont l'un réponde à l'équation primitive ordinaire, et dont l'autre donne immédiatement l'équation primitive singulière, s'il y en a une; ce qui jette un nouveau jour sur la nature des équations primitives singulières : car il est évident que les deux facteurs de l'équation dérivée, étant indépendants l'un de l'autre, doivent satisfaire cbacun en particulier à cette équation, et par conséquent aussi à son équation primitive proposée.

En même temps on voit que le facteur qui donne l'équation primitive singulière, et qui est du même ordre que la proposée, ne pourra pas satisfaire aux équations des ordres supérieurs, puisqu'il ne satisfait pas à celle qui résulte de l'autre facteur, et qui contient seule les fonctions dérivées d'un ordre })lus élevé que la proposée.

DKS FONCTIONS. HW

Je consicU'i'c niaiiilciianl (Hic, ('(miiiiic louU' ('(iiialioti dôrivcM; du picmier ordre, telle que

Ile |)(Mil èli'c (|ii(' le rrsiillat de j'idiiiii iialion de la constaiile arhili'aii'c (f, au Jiioyeii de {'(''(nialioii primitive

et de sa dérivée;

ainsi (|ue nous l'avons vu dans la Leeon Xll, et (jue l'écpialion

est déjà le résultat de eette élimination par eo cjue nous avons démontré plus haut; il suit, do la théorie connue de l'élimination, que, si les deux équations

ne sont pas identiques, elles ne peuvent différer (jue par un faeteui' qui afTeetera Tune des deux, et qui ne pourra être (|u'une Ioik rhui de X, Y et y'.

Supposons donc que M soit un pareil l'acteur, en sorte (ju'on ait l'équation identique

On aura donc, en prenant les fonctions dérivées,

mais nous avons déjà vu que la dérivée de F(.r, r, 9) se réduit à 9' ^'(9); donc, substiluant o'V'(o) pour F'(.r, y, 9), et mettant à la place de

r(.r, r, 9) sa valeur . • S on aura

c'est la forme générale de la dérivée de la l'onction /'^.r, v, v'i ([iii est le premier membre de ré(|nalion proposée.

On voit i)ar là (jiftHant proposée l'équation du pi'cuiier oi'dre

ou pourra satisfaire à sa dérivée

indépendamment de la valeur de y" , par le moyen de l'équation du

même ordre

combinée avec la proposée; de sorte que ces deux équations pourront être regardées également comme des é(juations primitives du premier ordre de la même équation dérivée

du second ordre. Par conséquent il n'y aura qu'à éliminer y' entre elles pour avoir une équation primitive de la proposée, laquelle n<' sera qu'une primitive singulière, comme nous l'avons démontré cidessus.

Maintenant, si dans la fonction déi'ivée /'(.r, y, y') on sépare la partie affectée de r", elle devient /"/'( y') -+-f'[x,y), suivant la notation que nous avons adoptée. Ainsi la dérivée de l'équation proposée

f[x,y,y')=zo

sera

r"/'(/)+/'(^nr) = o;

et il est visible qu'on ne peut satisfaire à cette équation indépendamment de la valeur de y", qu'en égalant sé})ai'ément à zéro les deux l'onctions/'(y) Q{,f'[x, y); il est facile de voir, en effet, par la comparaison de l'expression précédente de /'(.r, y, y') avec la forme générale trouvée ci-dessus, que les deux équations

emportent ces deux-ci

et réciproquement.

DliS FONCTIONS. 203

On aura donc l'cciLialion priiiiilivc siiii^ulièrL' de la [)I'0|)()S(m'

en faisant, dans sa drrivrc les deux écinations séparées

<'l éliniinanl la lonclion v' an moyen de la proposée.

Si les deux résultats donnent la niênie équation entre .r et v, ce s<'ra l'équation primitive singulière; sinon ce sera une marque (jue la proposée n'admet pas d'équation primitive de cette espèce.

Lorsque les deux fonctions/'( y') ety'(^, y) ont un facteur commun, ce facteur égalé à zéro remplit les deux conditions, et donne récpiation primitive singulière par l'élimination de y', au moyen de la proposée : c'est le cas où celle-ci est de la forme

comme nous l'avons vu au commencement de cette Leçon. Il y a, au reste, une forme })lus générale que celle-ci, oii la dérivée est toujours décomposable en deux facteurs dont l'un donne l'équation primitive singulière; nous en parlerons plus bas.

L'é([uation du premier ordre

y-^x-^ — b] — :ixyj' — x^- = o,

(jui est la même (jue nous avons considérée au commencement de celte Leçon, mais multipliée par y'-, a pour dérivée

2[/(x2 —b] — xy]} " — 9. [yy + x) = o.

On voit ici (|ih' les deux fonctions y'[x- ~ h) -— xy et ,>'v'-t-.i" n'ont aucun facteur commun; cependant, si on les fait chacune séparément égale à zéro, (dies donnent ces deux valeui's de y', savoir.

SOi

xr

deux

et — '-■> qui, étant substituées dans la proposée, donnent ces

lesquelles se réduisent à la même, savoir,

Ainsi cette équation est la primitive singulière de la proposée, romme nous l'avions déjà trouvé.

Je remarque maintenant (juc ré(juation du premier ordre

ayant pour dérivée donne en général

Mais nous venons de voir que, dans le cas de l'équation primitive singulière, on a séparément

donc on aura, dans ce cas,

ce qui donne cette règle générale et fort simple pour trouver l'équation primitive singulière de toute équation du premier ordre lorsqu'il y en a une.

Cherchez, en prenant les fonctions dérivées, la valeur de la l'onction seconde r", et supposez-la égale à zéro divisé par zéro, vous aurez deux équations en r, ret y', qui, étant combinées avec la proposée, donneront, par rélimiiiatiuR de y', deux autres équations en .r et v. Si elles ont un facteur commun, ce sera l'équation primitive singulière de la proposée.

On peut ;n)[)li(jiicr ce prorrdr ;i l"('\('iii[)l(' que nous avons trailé ci-flcssus.

Soil encore ré(|iiation du pi-cniicr ordre

[a:y — x)[^y — ^/) + •^■'' = " î sa dérivée sera

d'oîi l'on lire

Faisant cette expression =-■, on aura les deux é(|nali(ins

xy'- — y-y — 3 x- =r o, 2 xy — 3 j = o,

d'où il faudra éliminer )'' par le moyen de la proposée. La seconde donne

cette valeur, substituée d'abord dans la première, donne c(dle-ci

-f ÔX-=:0,

\x Cl, substituée dans la proposée, elle donne

ces deux équations se réduisent, comme l'on voit, l'une e( l'autre à

c(dle-ci

(jui sera, par conséquent, l'équation primitive sinL-ulii're de la proposée.

On peut s'en assurei', en ell'et, par ré(|ualion primitive (|ui est

y — ax ^=^ o,

où a est la constante arbitraire. Sa dérivée relative à a sera

laquelle donne

rt- = ^ et rt = \x ;

et l'équation primitive devient, par la substitution de cette valeur,

y^ — IX \^lx := O, ou y- — 4 ^^ ="- ^ y

la même que nous venons de trouver.

Il est facile de voir, par l'expression générale de y", que non seulement cette expression devient- en vertu de l'équation primitive singulière, mais que les expressions des fonctions suivantes r", y'", . . . deviendront aussi - en les réduisant d'abord en simples fonctions de y', o ^

v", ..., lii'ées de l'équation proposée, et substituant ensuite la valeur de y en x, donnée par l'équation [)riniitive singulière.

On peut regarder cette propriété de l'équation primitive singulière comme son vrai caractère distinctif; et l'on peut se convaincre d'ailleurs que son existence dépend, en effet, de ce que les valeurs des fonctions y", y'", • • • des ordres supérieurs à la proposée demeurent indéterminées.

Car, si ces valeurs ne devenaient pas indéterminées dans le cas de l'équation primitive singulière, on pourrait, dans ce cas même, employer la formule générale donnée dans la Leçon XII

y = ^-o + j«' X + y" -^ + jo'" + . . . ,

dans iaiiuelle y", y"', y"", . . . sont les valeurs qui répondent à .t = o; et la quantité y", qui est la constante arbitraire, recevrait alors une valeur particulière dépendante de cette équation; de sorte que la valeur de y en x, au lieu d'être une valeur singulière, ne serait plus, contre l'bypotbèse, qu'un cas particulier de la valeur générale.

Il arrive donc ici ce qui a lieu dans les formules générales, lors([u'il

y a (les cas ((u'ellos ne pouvciil pas irpirsciilrr : elles (loiiiieiil alors /.ero divise par zéro; e'esl, pour ainsi dire, le moyen (pie Taiialyse •'"'1*'"'*' P"""' «'cliapper aux coiilradiclioiis; les racines iniai^inaires irin(li(|iH'nl pas, ;i propreinenl parler, nne eonlradiclion, mais une impossihililé.

Cette théorie s'api)li([iie également aux écpialions des ordres snpérienrs an preinier, el (burnif des ronclnsions semhlahles.

lin représentant par

réfjnalion primitive dn premier ordre d'nne éijuation dn second ordre, nous avons vu que celle-ci peut se réduire à

et que sa dérivée sera alors

Or, quelle que puisse être la forme sous laquelle une équation proposée du second ordre pourra se présenter, comme, en dernière analyse, elle doit toujours être le résultat de la même élimination (pii

donne l'équation

il s'ensuit (\uv\\o ne pourra être que c(dle-ci multiplié<' par une fonction (juelcon(jue du même ordre ou d'un ordre inférieur. Ainsi, si l'équation proposée est

on aura nécessairement

M étant une fonction de x, y, j', f.

De là, en prenant les fonctions dérivées, et mettant F'(9).9' pour I* (-^'7'/' ?)' <>» ^y^^'à, comme plus haut, l'équation

D'où il est aisé de conclure que l'on pourra satisfaire à la dérivée

de la proposée, indépendamment de la valeur de la fonction tierce y'", au moyen des deux équations du second ordre

F'((p) = o, el f[x,f,/,f) = o,

dont la seconde est la proposée; et qu'on aura l'équation primitive singulière de celle-ci, en éliminant y" des mêmes équations. Or, la dérivée de la proposée étant de la forme

y"f'irn+f'[^,r,r') = ->

on n'y peut satisfaire, indépendamment de la valeur de y'", que par les deux équations séparées

/'(/') = ^>' et /'(.r,j,/)=o.

Il faudra donc éliminer y" de chacune de ces deux équations, au moyen de la proposée

et, si les deux résultats donnent une même équation, ce sera Téquation primitive singulière de la proposée.

On voit, en même temps, que puisqu'on a, en général,

^ ~ f'ir") '

les deux équations dont il s'agit rendent la valeur de y'" é^ale à -; de

sorte que l'on peut l'egarder la condition de y'" ^ - comme celle qui

détermine ré(|ualion primitive singulière de la proposée du second ordre.

En appliquant les mêmes principes aux équations d'un ordre quelconque /?"■'"*', on en conclura que, pour trouver son équation primitive singulière, si elle en a une, il faudra tirer de sa dérivée la valeur de la

roiiction V'"'^ (le rordic siiivanl, et la l'aire = -» en éi'alant séparé-

ment le numérateiii' et le dénominateur à zéro, et éliminer ensuite de ces d(;ux éijuations la fonction y^"^ au moyen de la proposée.

Si ces deux éliminations donnent un même résultat, ce sera l'équation cherchée.

Nous avons vu plus haut (|ue récjuation du second ordre

a pour dérivée une é(|uation résoluble en facteurs dont Tun, qui n'est que du second ordre, donne sur-le-champ l'équation primitive singulière par l'élimination àc y" . Mais, si la même équation était proposée

sous la forme

xf"- — "y- y' y" H- ^ = o,

sa dérivée

ne présenterait plus de facteur.

Or elle donne

^ i[xf-f]

Égalant à zéro séparément le numérateur et le dénominateur, on a ces deux é(}uations

y"- — I = o cl xy" — J-' = ().

La première donne v"= ±1; ce qui, étant substitué dans la proposée, donne

'î(^dzr') = o ou y'- — jc^ -^ ^

\:a deuxième donne

dont la substitution dans la proposée donne

— 1-^ = 0, savoir, r - — x-z=z o.

Ainsi cette équation est la primitive singulière de la proposée., comme nous l'avons déjà trouvé.

Considérons encore l'équation du second ordre

Prenons les fonctions dérivées pour avoir la valeur de y'"; on trouvera

j ' - y^^y - ^r" H- ^ y" -\- ^- [y - ^y ) ^y - ^yr = o.

c'est-à-dire,

d'où l'on voit que y'" deviendra - en égalant à zéro le facteur par lequel

il est multiplié.

On aura ainsi cette seule condition

d'où Fou lire

„ f\xy'-\'X-

Cette valeur, étant substituée dans la proposée, donnera l'équation singulière

y xr' + -- • ^ ^y "^ ^' (4r — ■^•-'')' + (4-^/ + -^']' ^

•^ -^ 2 4 ('-*-•*"■) iG(i + x-)- '

laquelle se réduit tout de suite à celle-ci

'XX -^ x"^ , x'* — 161^2

r — pr r H — 7^1 '~ = o.

■^ i\\-\-x-y \Ç)\\-vx-]

L'équation du troisième ordre

(|ii(' lions venons de Ironvcr ponr l:i dérivée de la proposée du second ordre, donne naturellement

d'où Ton tire successivement, par les fonctions primitives,

y = a, y = ax -t- 0

el

y^^: - a:- -t- ox -[- c,

(i, h, (■ étant des constantes arbitraires, relativement à l'équation

mais, comme la proposée n'est que du second ordre, elle aura une constante arbitraire de moins; et, en y substituant les valeurs précédentes de r, y', y", elle devient

c — b- — rt- = o;

ce qui donne c=^a--^b-, de manière que l'équation primitive en .zet y devient

comme on Ta vu plus haut.

Ainsi, dans ce cas, les deux facteurs de la dérivée de l'équation proposée donnent directement, l'un, l'équation primitive singulière du premier ordre; l'autre, l'éciualion pi'imitive en x et y, comme nous l'avons déjà vu ci-dessus dans un autre exemple.

Nous avons vu, au commencement de cette Leçon, que l'équation dérivée d'une équation primitive

peut être représentée par

où (p est mis pour o(.r, y, y'), cette fonction étant la valeur de a, tirée

de l'équation prime

et nous avons vu en même temps que l'équation primitive singulière rend la fonction F'(o) nulle.

Supposons, ce qui est toujours possible, que l'équation dérivée proposée soit réduite à la forme

donc, si, dans l'équation

on substitue à la place de y' sa valeur —f[-r, j), elle deviendra nécessairement identique; par conséquent ses deux équations dérivées, relatives l'une à x et l'autre à v, auront lieu chacune en particulier. On aura donc ainsi, puisque la quantité y' n'est contenue que dans la fonction 9, ces deux équations, dans lesquelles Y'{x), Y'{y) et F'(o) dénotent, comme à l'ordinaire, les fonctions dérivées de Y(x,y,o), prises relativement à a?, j et 9,

F{x)-F(o)9'(/)/'(^] = o, F'(j)-F(9)9'(/)/'(r)=o, d'où l'on tire

Or l'équation primitive singulière rend

donc elle rendra infinies les deux fonctions /'(.r) et /'(y).

Ce qui fournit un caractère fort simple pour reconnaître si une valeur qui satisfait, sans constante arbitraire, à une équation dérivée donnée, est une valeur singulière ou simplement un cas parliculifr de la valeur générale.

Cette propriété peut servir aussi à trouver les valeurs singulières dont une équation dérivée est susceptible; car, si l'équation qui rend

DKS FONCTIONS. 013

/'(.r) et/'(y) infinies satisfait en luviuc Icinps à la propostM-

»'ll(î en sera r6(juati()n priniilivc siiiiiiilicTC. L'équation

(|i!'()ii a déjà considérée plus liant, doimo

(lOu I on tire