V-^-+r-— ^— r v/^2+j--2 — 6(\/ar-*+j2 b — y

f'ir) = --==. ,, "

y/x- + ;-a — 6 ( \/x'- -\- y^ ~ l) ~ y) Ces deux quantités deviennent infinies par la supposition de

\/x^'i-y- — b—y = o, ainsi que pai' celle de

la j)reniière donne

valeur qui ne peut satisfaire à la proposée qu'en t'aisanl

la seconde donne

équation (jui satisfait ii la proposée, et ([ui en est, par ronsc(|ii<iii. l'équation pi-iniitive singulière, comme on l'a déjà vu plus haut.

Appliijuons la même théorie anx équations du second (odic; on a vu (jn'clles peuvent être représentées par

V'{x,y,y',o] = 0, • Ml snp|)osant (pie

2li LEÇONS SUR LE CALCUL

soit l'éqiialioii i)i'imitivc du premier ordre, et que o ou 9(^7, 7, y') soit l;i valeur de a tirée de l'équation prime

On a vil, en même temps, que l'équation primitive singulière est

(loîmée alors par l'équation

Supposons maintenant (jue l'équation proposée soit réduite à la forme

Donc, si dans l'équation

on substitue pour y" sa valeur —f[x,y, y'), on aura une équation identique dont, par conséquent, la dérivée aura lieu par rapport à chacune des variables x, y, y' en particulier.

Ainsi, comme la fonction y" n'est contenue que dans la fonction o, on aura ces trois équations :

F'{r)-F(9)9'(/)/'(j) = o, F(/)-F'(cp)cp'(/)/'(/)=o;

d'où l'on tire

•^ ^-^ ' F(cp) cp'(r'j L'équation primitive singulière étant donnée par l'équation

il s'ensuit qu'elle rendra infinies les trois fonctions dérivées f'{x).

DES FONCTIONS. :Ilri

En fiéiiéral, on j>omr;i prouver de la inriiK; niaiiièrc ([iic, si l'on ;( imc ('(juatioii do l'oi-dn' //"""", rôduitc à la l'oinK.'

son ('(inalion pi'iniilivo sinj^iilii-rc rendra infinies les Ibnclioiis déiivées /'(^),/'( y), /'(/'), ..., jiisfpi'ii la suivante inclusivement, /'(yt"-'>). Pour confirmer, a posicriori, ce (jue nous venons de démoiilrer, considéi'ons uiu' é(pialion du preniiei' ortlre, telhî (pio

y'-\-f[x,x)z=zo,

à laquelle satisfasse une valeiu' sinirulii-re de r, que nous désii^nerons par X, l'onction de x.

On aura donc, par l'hypothèse,

et, pour (jue la valeur X ne soit pas comprise parmi les valeurs de v, données par l'équation primitive, il faudra qu'en supposant, en général,

:: étant une nouvelle variable, la valeur des, tirée de l'équation primitive ordinaire, ne puisse jamais être nulle.

Substituons donc X -h 0 au lieu de y dans l'équation proposée; on

aura

Développons la fonction /"(.r, X 4- s) suivant les puissances de :? ; on aura généralement, en rapportant les fonctions dérivées à la seule vai'ia])le X,

/(x,X + ..):-/(r,X) + ./'(X)+î:/"iX)+...: donc, faisant cette substitution, on aura, à cause de

\'H-/(ji',X) = o,

■lia LEÇONS SUK LE CALCUL

l'c(jualiuii

z' + ^/'(Xj + ^/"(X)+...= o,

qui sert à tléterniiner z en x.

Oi', si la quantité z pouvait devenir nulle, elle pourrait aussi être (rès petite.

Supposons-la d'abord très petite, et cherchons-en la valeur par approximation.

Pour cela, on négligera d'ahoi'd, vis-ii-vis du ternie qui confient z, les suivants qui contiennent z-, z^ , ..., comme étant beaucoup plus |)etits, et l'on aura, pour la première approximation, l'équation

z' + zf'[\)=o,

hujuelle, étant divisée par z, a pour équation primitive

en prenant X poui' la fonction primitive de/'(X), prise par rapporta la variable .t, dont X est une fonction donnée, et X- pour une constante arbitraire ; de là on tire

z = e zzz e*" .e =. ae , en faisant a = e*.

Ayant ainsi la première valeur approchée de z, on la substituera dans les termes négligés, et l'on pourra trouver une seconde valeur plus approchée, et ainsi de suite.

De cette manière, la valeur de z contiendra la constante arbitraire a, (>l elle deviendra nulle en faisant « = 0; par conséquent, X ne sera pas une valeur singulière, contre l'hypothèse.

On doit conclure de là que, })Our que X soit une valeur singulière non comprise dans la valeur générale, il faut (jue le développement de /(,r, X 4- ^) contienne d'autres puissances de z que les puissances entières et positives.

Supposons donc que ce développement donne, en général,

f{x, X 4- - ) = /(x, X ) + Vz'" + Q 2" + . . . ,

DKS l'ONCTlONS. 217

///, //, ... ('tant (les n(mil)ics (|ii('lcoiiqu('s (|ni vont en anii-mcntanl, cl l\ Q, (les lonclions dv.i-, on aura rcMjualion en r

Z' -f- P2/W-1- Qz"-h. . . = o.

On aura donc aussi, pour la prcniiiTc a()|)ro\iniation,

z' -h Vz'" = o, «'■quation (jui, ôtanl divisée par :;'", a pour ('•(luation piiniitive

«'Il |)rrnant V pour la tbnclion primitive de \\ et /• p(»nr la constante arhili'aire.

Or, pour que X .soit une valeur singulière d(! v, il laiit (jue la valeuiz = o, (|ui y répond, ne puisse pas être contenue dans celte équation, en donnant ;i /• une valeur quelconque constante.

11 l'aut donc qiMi l'exposant i - m de z soit un nombre positif; car, s'il était négatif, z*'"" deviendrait infini lorsque z = o, et répondrait ii la supposition de /■ infini.

S'il était nul, on aurait le cas que nous venons (rexaminer, où m = 1, et où :; = o répond aussi à k infini.

Au contraire, lorsque i — m est positif, z = o donne aussi

-'-'«=rO,

et l'équation devient alois

hniuelle ne peut pas subsister, parce que la valeur de /• ne serait |>lii> constante.

Donc, pour que X puisse être une valeur sin-ulière de j, il faut (jue le développement de f{x, X 4- g) contienne une puissance ='" dans la(pielle /// <^ i .

En considérant la fonction /(j:, y), son développement, lorsqu'on v

met 7 -h 3 à la place de y, est, en général, f[x,y) -t- -•/'{¥) -t- . . . ; donc, suivant la tbéorie (|in> nous avons exposée dans la l.eeon luii-

li('ino, pour que ce développement donne, dans le cas de r = X, une puissance de z moindre que la première, il faudra que, dans ce cas, la valeur de /'(y), c'est-à-dire de/'(X), devienne infinie. Or l'équation proposée donne

et, prenant les fonctions dérivées,

donc

f'i^)=f'{r)fi^,r)-y'-

Par conséquent on aura, lorsque y =:X,

/'(7) = x et /'(x) = x,

comme nous l'avons trouvé par la nature même des équations dérivées. Dans l'exemple ci-dessus, où

la valeur singulière de y est \'h — x^; ainsi

et substituant \Jh — x--i-z à la place de y, la fonction dont il s'agit devient

— se

s/"?, z s^ib — X--}- z- — sjb — x- — z laquelle, étant développée suivant les puissances de :;, donne

OÙ l'on voit que le second terme du développement contient la puissance \Jz, dont l'exposant - est moindre que l'unité.

D'ailleurs, nous avons (irj;! vu (jiic les valeurs <le f [y) et /'(.r) de.vieiineî)! iulinies l(us(|ue

L'analyse par la(|uelle nous venons de j)roiivei' (|ue le développement de /(.r, >' -t- 3 ) doil contenir une puissanei! de - moindre (|ue la pi'en)i('re, lors(|iron donne à )- une valeur sini>;ulii're, esl due ;i i'jiler, (|ui a donné ainsi le preniiei' erili'i'e général pour reconnaître si une valeui-, (|ui salisfail à iiiu' é(|ualion din'erentielle, esl ou non une valeur sini^nliî're non comprise dans l'intéi^rale. i]'()Ycz le premier \(>!unn' de son Calcul intégral. Problème 72.)

Il restait à déduire de là la r('i>le (|iie, dans ce cas, la valeui' de f'{y) devient nécessairement infinie; c'est ce que Laplace a fait depuis dans le Mémoire déjà cité sur les solutions particulières des équations différentielles, imprimé dans le Recueil de l' Académie des Sciences, pour l'année 1772.