LEÇON TROISIÈME

FONCTIONS DERIVEES DES PUISSANCES. DEVELOPPEMENT D UNE PUISSANCE QUELCONQUE d'uN BINOME.

Puisque toute fonction dérivée du premier ordre /'(a?) n'est autre chose que le coefficient de i dans le développement de la fonction primitive/(a7), après la substitution ([ex-\-i à la place de x, il s'ensuit que la recherche de la fonction dérivée d'une puissance quelconque .r'" se réduit à trouver le terme affecté de i dans le développement de hi puissance [x-\-i)'" suivant les puissances de i.

Lorsque l'exposant m est un nombre quelconque entier ou fractionnaire, positif ou négatif, on démontre facilement, par les premières opérations de l'Algèbre, que les deux premiers termes de la puissance m du binôme .r + i sont x'" + mx"''~^ i\ ainsi, lorsque /(j?) = .r'" ou = Ax"% A étant un coefficient quelconque, on aura

m étant un nombre quelconque rationnel.

Comme tout nombre irrationnel peut être renfermé entre des limites rationnelles aussi resserrées que l'on veut, on en pourrait conclure tout de suite la vérité du résultat précédent pour une valeur (juelconque irrationnelle de m, puisqu'on peut, en resserrant les limites, diminuer l'erreur à volonté. Mais, comme il est plutôt question ici de la forme nième de la fonction dérivée que de sa valeur absolue dans chaque cas particulier, nous croyons, pour ne rien laisser à désirer sur

cette proposition fondamentale, devoir en donner une démonstration anssi i^énéi'ale qne rigonrense.

Pnis(jiH'

par les l'i'^les de l'Algèbre, si l'on l'ait |)()iir abréger — =o), il s'ai;ii;i de Iroiiver le coefficient de o> dans le développement de (i H-wj'", (|nel que soit l'exposant m. Or, (|n(d (|ne pnisse être ce coeffieieni, eoninie il doit èlre indépendant de o, il est (dair (|ii'il ne peut èlre (in'iiiie fonction de m, puis(jue l'expression (i -t-co)'" ne contient (|iie les deux indéterminées w et m. On pourra donc le représenter en général par V{m), la earactérisiique F désignant une fonction déterminée, mai^ inconnue. Ainsi, comme en faisant co nul, la quantité (i -t-to)'" d(,'vienl

i'" := I, on aura

On aura donc aussi, [)our un autre exposant quelconque /i,

(i + &)j" = i + &jF( «)+....

.Multipliant ensemble ces deux équations, on aura

(^ar la théorie des puissances repose uniquement sur ce principe (|ue a"'a" = a""'", quelles que soient les quantités a, m, n, et l'on peul mém(ï dire que c'est dans ce principe que consiste l'essence des puissances, lorsque les exposants ne peuvent être exprimés par des nondires. Ainsi Y{m) -+■ F(«) sera le coefficient de to dans le développemenl de la puissance (i -4- <o)'"^". Mais ce coefficient doit être représenté pai- V[m-\-n), puisque la fonction (n-w)'" devient (i4- w)'""-", en y substituant m -\- n pour m. Donc il faudra que la fonction désignée parla caractéristique F soit telle (}ue l'on ait

F [i)i -\- n]^- F \in) + F ( n ), m et n étani des quantités quelconques.

Pour trouver d'une manière généi'alc la forme de la fonction d'après cette condition, je supposerai que la quantité tu soit changée en m -4- /, et que la quantité n le soit en n — /', i étant quelconque ; alors la fonction F(m -h n) demeurera la même, et les fonctions F(m), Y{n) deviendront

donc l'équation précédente donnera

Oi', par le développement, la fonction

F(m-hO devient

comme on l'a vu plus haut; et la fonction F(/i — i) deviendra de même, en prenant i négativement,

donc l'équation précédente se réduira à celle-ci

i[W[m) - F'(rt)] + ^ [F"(m) + F"(/0] + • • • = »»

laquelle devant avoir lieu quelle que soit la valeur de i, on aura nécessairement

La première de ces conditions donne

d'où l'on conclut d'ahord que la valeur de la fonction Y[m) doit être indépendante de la variahle m, puisqu'elle demeure la même en changeant la valeur de cette variahle, et qu'ainsi cette valeur doit être constante relativement à la même variahle.

On aura donc

a étant une constante; et cetlc valmrdc Y' [m) satisfera aux antres conditions, |)nis(jn'on aura

et de mênne

Tout se réduit donc à trouver la valeur de la (onclion jjiiniilivc Y< ni ,

d'après la fonction dérivée

Or il est facile de voir que F(m) ne peut être que de la forme am-^h, h étant une constante arbitraire; car on peut se convaincre qu'il n'y a que cette expression qui puisse donner a pour sa fonction dérivée.

On pcMl d'ailleurs le démontrer directement comme il suil : puis- (|u'on a en géiUMal

on aura, dans le cas présent,

V'[m]~a, Y"[m) — <i, Y"'{m]-o, ..., F ( m -■{- l] =•. F ( /?i ] -f- ai,

et, comme i peut être une (juantité quelconque, si l'on l'ail /— — m,

alors la (juantilé m -^ /deviendra zéro; donc la valeur de F(m-(-/j sera

indépendante de ///; elle sera par conséquent égale à une conslaulc h.

On aura ainsi

b-=^¥[m] — ani .

^l'où

F (m) =r. ain -\- h.

Suhsliluanl cette valeur de F(m), on aura en général

( I + w ] '« = I -h ( am H- /^ ) « 4- . . . , quelle (juc soit la valeur de m, a et h éUiut des constantes indépen-

(lanlcs de m, dont la valeur doit se déterminer par la considération de (|uelques cas particuliers.

Pour cela, on fera d'aboi-d m = o, et l'on aura

I = I + Z> &j + . . . , donc h -— o. On fera ensuite Tn= \ , et l'on aura

I + OJ =: I -f rt w + . . . ;

donc rt = I .

D'où l'on conclura enfin

( I + CO )'" := I 4- /« Gl» + . . . .

Donc, puisque

( X + i)"^ = j?'" ( I + ùj )'",

co étant = — , on aura

k[x + /)'«= Kxm+ Xmx^^-^ / + . . .,

<|U(d (jue soit le nombre m, de sorte que la l'onction dérivée de kx'" sera de xVm.r"'~', comme nous l'avons trouvée d'abord pour le cas de m rationnel.

La démonstration précédente ne laisse rien à désirer pour la riû!;ueur et la généralité. Elle ne dépend que des fonctions dérivées de la forme la plus simple, et fournit, dès le commencement, un exemple remar- ([uable de leur usage dans l'Analyse.

On peut donc établir pour règle générale (jue la Jonc lion dérivée (V une puissance (juelconcjue d'une i^ariable est égale à la puissance d' un degré moindre d'une unité de la même variable, multipliée par l'exposant de la puissance donnée.

De là et de la loi du développement des fonctions résulte une démonstration aussi simple que générale, et peut-être la seule rigoureuse qu'on ait encore donnée de la formule du binôme pour un exposant (juelconque.

En effet, puis(|u'on vient de trouver (jue

Yix] =:Ax"',

(Ion no

on aura do môme, en |)r('nant la fonction (Jérivùr' de cette dernière (|uantité,

et, par la même raison, on aura, en prenant de nouveau la fonction

dérivée,

F"'(^) = ni[ni — i]{m — 2) A.r'«-3,

et ainsi de suite.

Donc, puisqu'on a trouvé, en général,

/(^ + i) =ju) + ./V) + ^/"(^) + ^/"'(^) -^ • • • '

on aura, pour le cas de/(^) — a?'", la série

/n{rn—i] „ ., m [m— i] [ni — 2] „..,.„ , (^ + ;)"»=: a--'" + /«^•'«-' i H — ^.r'« 2;-2-1 ^ ^ -J^"' ■'/'-I-....

Si Ton divise tonte l'équation par.r'", et (ju'on y mette (îusuite / à la place de -1 on aura

Cette l'ormule résulte de la précédente en y l'aisanl ^= i ; mais il n'aurait pas été rigoureux de l'en déduire de cette manière, puisqu'on a déjà remarqué que le développement de la fonction /(.r -h/) en puissances entières de /peut cesser d'être exact dans des cas parliculiers de la valeur de x.

Si maintenant on multiplie l'équation précédente par a"\ et (pi'on y substitue ensuite b à la place de ai, on aura

[a-{- b)"'= a'" -h ma'" ' ù ^ ^^ a"'~- 6- 4- ... ,

quelques valeurs qu'on attribue aux quantités a, h, ni.

La métliode, (jue nous avons employée plus liant pour trouver direc- X. ' 4

temenl la fonction primitive d'une quantité constante, peut è(re aj)pliquée à d'autres eas. En effet, si dans la formule générale

f[x + /) ^f[x) + if[œ] + ^/"(.r ) + . . . on fait

la fonction /(.r + /) deviendra indépendante de r, et sera par consc- (juent égale à une constante h, laquelle sera j)i'oprernent la valeur de /' .r) lorsque ^ = 0. On aura donc ainsi

d'où l'on tire

b^f[a:]-xf'[x)+-^f"[x)

f[œ]^b + xf'[x]--^f[x)+.

Si maintenant/'(j?) = a, on aura

donc

J'[x) =z b + ax.

Siy'(^) = a.v, on aura

donc

fix] ^z b -\- a x- =^ b -]

'è\f'[x) = ax'-, on aura

/"[x)=^2ax, f"'[x]=ia, /'^{x)=o, f^x) = o,

donc

ax' . ax

/[x) ^ b + ax'-^ — ax'^ h ^r— = b

et ainsi de suite.

En général, si/'(.r) =: ace'', on aura, en prenant les fonctions dérivées,

/"[x) — nax't~\ f""\x) — n[n — ijax"^-', . . .;

l)i:S FONCTIONS.

«Iniic. siilisliliiiiiil CCS valeurs.

J\:r] — h + fi.r"

<>!■ 011 a. par le (léveloppcniciil.

donc

<i, par (onsécjiiciit,

n nia — i ) n { n — \] { n — 7,

(|ii('l (|ii(' soil le iioiiihrc ii\ donc un aura

lin effet, la fonction dérivée de cette quantité sera, par la règle i>énc-

i-ale,

ain-i- I ) jc"

la constante Payant zéro pour fonction dérivée.