LEÇON SEIZIÈME

ÉQUATIONS DÉRIVÉES QUI ONT DES EQUATIONS PRIMITIVES SINGULIERES DONNEES. ANALYSE d'une CLASSE d'ÉQUATIONS DE TOU^ LES ORDRES QUI ONT TOUJOURS NÉCESSAIREMENT DES ÉQUATIONS PRIMITIVES SINGULIÈRES.

Si les équations primitives singulières ont moins d'étendue que les équations primitives proprement dites, parce qu'elles ne renferment aucune constante arbitraire, on peut les regarder, sous un autre point de vue, comme plus générales que celles-ci, parce qu'une même équation primitive singulière peut répondre à une infinité d'équations dérivées; et c'est un problème indéterminé de trouver une équation dérivée qui ait une équation primitive singulière donnée. Comme ce problème est curieux, et qu'il peut être utile dans plusieurs occasions, nous allons en donner ici une solution, pour servir de complément à notre tbéorie des équations primitives singulières.

Représentons par

une équation primitive entre ûc, y et deux constantes a et h, dont l'une soit une fonction quelconque de l'autre, ou qui dépendent, en général, l'une de l'autre par l'équation

On aura l'équation dérivée qui en résulte, en éliminant ces deux constantes au moyen des trois équations

DKS FONCTIONS. 221

Donc, si l'on lire «les deux prciiiii'rcs les v;il('iii's de a cL h en Ioir-lions (le .r, y, y , cl (iiToii désigne ces valciiis \y.\v

9(-3^.r.r') el ^[x,y,y'),

on ani'a l'éipiation dérivéo on substituant ros fonctions w la place de c/ el h dans ré(juation de condition

Ainsi, en incitant siniplenicnto el 'l pour les fondions dont il s'aiiil.

ré(|nalion dérivée sera

Donc, réciproquement, toute équation dérivée de cette forme aura

|)our équation primitive

les deux constantes a et b étant liées par l'équation

*^[ci,b ^ o;

et l'on aura en même temps les deux équations

Donc toute valeur de y en x qui satisfera à la même équation

et (jui ne rendra pas les fonctions 9 et 'l constantes, ne pourra pas être comprise dans l'équation primitive générale, et sera par conséquent une; valeur sinn;uli('re.

Soit

cette valeur singulière, i;(.x) étant une fonction donnée de x\ en substituant i(.r) et ^'(oc) au lieu de y et y' dans les fonctions o et 'l, elles deviendront de simples fonctions de œ\ el, éliminant .r entre elles, on aura une équation o et i, qu'on prendra pour l'équation

ainsi l'équation

SMlisfern à l'équation

niais, ne rendant pas les lonctioiis o et I^ constantes, elle ne sera pas comprise dans l'éqnation primitive générale, et ne sera, par conséquent, (ju'une équation primitive singulière. La s(dulion se réduit doni,' à ceci : soit

la valeur singulière donnée de y, en l'onction de a:. Ayant pris une

équation quelconque

en X, Y et deux constantes a et h, de cette équation et de son é(j nation

dérivée

on tirera les valeurs de a et /> en fonctions de œ, y, y'; on substituera dans ces valeurs l{x) et -'(.r) à la place de y et y', on aura deux équations qui, par l'élimination de .r, en donneront une en a et b, que je

repi'ésente par

Si maintenant on substitue dans cette équation à la place de a et h leurs premières valeurs en fonctions de œ, j, y' , on aura l'équation dérivée dont

sera l'équation primitive singulière, et dont

sera l'équation [)rimitive ordinaire, les constantes a et b étant l'une fonction de l'autre déterminée par ré<juation

<I)(rt, /;) = o.

Prenons, par excnnple, l'équation

y- — ax- — 6 = 0;

son (''(|ii;ili()ii déiivée sera

L't l'on lire du ces deux cqiiatiuns

Su|)|)osons niaintrnant (pic l'on ail l'iMinalion priniilivc siniiuIitM'c

elle donne

y := \x -h IJ,

donc

f- = \-x- -\- rf.XKx -4- H-,

et

j/ = A2j: + AB;

de sorte que, par ces sul)stitutions , les valeurs de a el l> deviendront

rt = A- H 1 ^ - - AB X 4- B- ;

d'où l'on tire, en éliminante, cette é(juation en a et />,

savoir,

ab - - B- rt — A- b = o.

Donc, substituant ici les premières valeurs de a et h en a?, y, y', on aura récjuation du premier ordre

dont celle-ci

sera l'équation primitive sini;uliére.

Son équation primitive ordinaire sera

•- — ax- — b ^^ o.

en supposant ontrt' a et /> rt'(|iiatioii ci-dessus

(ib — W-n — h.'-l> = o; (le sorte que, comme cette équatioji donne

récjuation primitive sera

y'-— ax-— =^0,

a étant la constante arbitraire.

En effet, si l'on cherche l'éciuation primitive singulière d'après celle-ci, on aura, en prenant les fonctions de;rivées par rapport à a,

d'où l'on tire

Substituant cette valeur dans la même équation, on aura

j- — A- x-^11 AB.r — B- = o, ce qui donne

yz=-±z\x± B,

OÙ les signes ambigus sont à volonté.

En général, il est facile de voii' qu'on aura le même résultat

en substituant d'abord, dans l'équation supposée

la valeur donnée

et éliminant ensuite x par le moyen de son équation prime, relative

Or. si l'équation

(loniic '

cl (uTon substitue cette valeur à la place; d»' A, il s'ensuivra «juc l'cqua-

(iou

aura lieu en même temps que son équation prime relative à x. Mais, a étant alors une fonction de x, l'équation prime relative à x v\ a doit avoir lieu; donc la partie relative à a aura lieu aussi en particulici-; rv qui est le caractère de l'équation primitive singulière.

Ainsi, ayant pris une é(|uation primitive (|uelconque en x, y, a et h, il n'y aura (]u';i éliminer van moyen de l'équation [irimitive singulière donnée, ensuite éliminer .r par celle-ci et par son équation prime r(dative à .r; on aura sur-le-champ une équation en a et h qui sera ré(juation de condition

par laquelle il faudra déterminer l'une des deux constantes a ou h par l'autre. Ensuite on pourra, d'après la même équation primitive, chercher, si l'on veut, l'équation dérivée par l'élimination de la constante arbitraire.

Dans l'exemple précédent, en substituant Aa? + B pour v dans l'équation

on a

( A- — « ) X- + 2 AB jc 4- B- — b = 0,

dont l'équation prime est

(A- — rt)x H- AB = o ;

celle-ci donne

Ali

et cette valeur, substituée dans la première, donne sur-le-ehamp réipia-

lion de condition

(A'^-rt)(B2-^)-A-B-=o,

comme plus haut.

En prenant d'autres équations en œ, y, a ot h, et opérant de la même manière, on trouvera autant d'équations du premier ordre qu'on voudra, dont la même équation

X — A.JC — B = o

sera l'équation primitive singulière.

On voit aussi que la même équation en x, y, a et b pourra donner telle équation primitive singulière qu'on voudfa, suivant la relation qu'on établira entre les constantes a et b.

Enfin on voit que, par ce problème, on peut toujours trouver la relation entre deux constantes a, b d'une équation donnée en oc\ y, a et b, pour que cette équation soit l'équation primitive ordinaire et complète, répondant à une équation primitive singulière donnée.

On peut appliquer la même métbode à la recberche des équations (lu second ordre ou des ordres supérieurs dont l'équation primitive singulière sera donnée.

Supposons que cette équation soit du premier ordre et représentée par

On prendra une équation quelconque en oc, j, et trois constantes arbitraires a, b, c.

On tirera de cette équation et de ses équations prime et seconde les valeurs de a, b, c en fonctions de a:, y, y' et y".

On substituera dans ces fonctions les valeurs de y' et y" en x etv, tirées de l'équation primitive donnée, c'est-à-dire —f{x,y) à la place de y', et —/'{■r) +/'(y)/('^' j) ^^ ^^ place de y"; on aura a^ b, c exprimées en fonctions de x et y, ce qui donnera trois équations, d'où, éliminant x et y, il résultera une équation en a, b, c, que je représenterai par

Cette équation, en y substituant les premières valeurs de a, b, c en fonctions de x, y, y', y", sera l'équation du second ordre dont la proposée

DES FONCTIONS. il'

sera l'équation primitive siiii^ulii'rc, et l'équation en or, y, a, h, <■ en sera l'équation [)riniitive en as- et j, en su[)|)osant entre les liois ((instantes a, h, r la relation donnée par ré(|nalion

<^[a,byc) = o.

Si l'équation singulière donnée était du second ordre, on picndiail une é(juation en x et j, et (juatre constantes a, h, c, d, et aiii>i de suite.

Supposons que l'équation primitive singulière soit

r' = A r, et [)renons ré(|uation

Y .r- — ox — c = o,

d'où l'on tii-e les deux dérivées, prime et seconde, y' — ax — 6 = 0, y'' — a == o ; ces trois équations donnent

« = j" , b ^=y' — xy" , c ^y — xy' -1- y" .

jMais la proposée donne

y = A;-, y" =z A/ r 3 A 2 j^ ; donc, substituant ces valeurs, on aura

a = A.-y, h =: A r [\ — Xx], c =^ y (\ — kx -\- -- x-\ .

Kliminant a? et y, on trouve l'équation

a- 4- A- ( b'-~ lac] --=^ o,

dans laquelle, en substituant les premières valeurs de r^ A, r, il vient l'équation du second ordre

dont la proposée j' = A y sera l'équation primitive singulière, cl

l'équation supposée

- X- — bx — c = o

sera l'équation primitive en x et y, en supposant l'équation

a- -\- A- ( //- — 9. flc ) = o ;

(le sorte que, comme cette équation donne

on aura

a , , a'^ + A^-lr-

r X- — bx r- = o,

■2 lA-a

a et l> étant les deux constantes arbitraires. Les équations de la forme

que nous venons de considérer, dans lesquelles les quantités a, h, c, .., sont les valeurs en x, y, y', ... des constantes a, b, c, ..., tirées d'une équation primitive

Y[x,y,a,h,c, . . .) = o et de ses dérivées

constituent une classe remarquable d'équations dérivées qui ont toujours une équation primitive singulière, parce que la dérivée d'une équation de cette classe a nécessairement un facteur du même ordre que l'équation.

Pour le démontrer, soit d'abord

une équation quelconque en œ, y et deux constantes a et b.

En regardant ces constantes comme arbitraires, l'équation dont il s'agit sera la primitive d'une équation du second ordre en^, y, y' et v", qui résultera de l'élimination de a et b au moyen des deux équa-

lions (l(''i'iv(''('S

et celte équation ponif;! (oiijonrs, comme nous l'avons vn, se mellrc

sous la forme

)"-^f{jr,r,y]^o.

-Mainlriianl, si l'on roninicnrc pur tirer les valeurs de a et /> dus deux

équations

F{-3^,r, «»^) =o Cl V'[x,x]=o,

cl (jueees valeurs soient représentées par les fonctions

o{x,x,y') et <I>{^,7,r'), il est clair que les deux équations

a = (f{x,);y) el b = 'yx,x,y),

où a et b sont des constantes arbitraires, seront les deux équations primitives du premier oidre dv ré(juation précédente

par conséquent, leurs dérivées

o'{x,r,X') = o et y[x,x,y) = o

devront coïncider avec cette même équation, en donnnnt la même valciiide y" en x, y et y'.

Or

et

suivant la notation al)régée que nous avons adoptée; donc on aui'a

y - cp'(/) - y(r) - '^'""'^'^ >'

expressions der", qui seront nécessaii'emcnt identiques.

On aura donc

o' ( ^•, r) = o'iy ) /( X, j, / ) ,

pai* conséquent, si l'on substitue ces valeurs dans les expressions précédentes des fonctions dérivées o'{a:,y, y'), '\>'{x,Y,y'), c'est-à-dii'c de a' et b', et, regardant maintenant a et h comme fonctions de x, y,

y', on aura

Cela posé, soit ([>(a,b)=o une équation du premier ordre; sa dérivée sera

et, par la substitution des valeurs de a', h' qu'on vient de trouver, elle deviendra

Cette équation a, comme l'on voit, deux facteurs, l'un qui n'est que du premier ordre, comme l'équation proposée; l'autre qui contient y", et qui donne proprement l'équation dérivée du second ordre.

(]elui-ci donne l'équation

r"+f[3c,y,y') = o, de laquelle résultent

par les formules trouvées plus haut, de sorte que les fonctions a et h seront constantes.

Prenant donc a et h pour des constantes arbitraires, on aura ces deux équations primitives du premier ordre

d'où, éliminant la fonction dérivée j', on aura une équation en x,y, a et h, qui sei'a l'équation primitive de la proposée, et qui sera évidemment la même que l'équation

Y[x,y,a, h] = o, d'où l'on avait déduit les fonctions ?(-f» v. j) et 'l[œ, y,y').

Mais il faudra que les constantes a cl h de cette équalioii satisfassent à l;i coiidilion

doiiiK'c |)ar l'équation proposée; ce qui les réduira à une seule, qui sera par conséquent la constanlc arbitraire de l'équation |)riniilive de la proposée.

\a\ facteur du premier ordre

9'(r')a>'(«) + ^'(/)^l>'(^) donnera, de son côté, i'écination en .x-, y etj',

9'(/)cI>'(a) + ^'(r')^I''(^) = "'

cil supposant qu'on y mette pour a et h leurs valeurs ^(.r, j, v'j et '^(^, y, y'); et cette équation, d'après la théorie exposée dans la Leçon précédente, donnera sur-le-champ l'équation primitive singulière de la même équation proposée, en éliminant y' par le moyen de ces deux équations.

Or il est facile de voir que, si l'on représente par

la fonction donnée $(«, />), dans laquelle

a — 9(.r,r,/) et

le facteur dont il s'agit se réduira simplement à »F'(.y), puisque les expressions <p'(7') et f (/) ne sont que les fonctions dérivées de a et h, prises par rapport à y' seule.

Ainsi on aura la primitive singulière de léquation

dans le cas où elle est réductible à la forme

en éliminant / de cette équation au moyen de sa dérivée, prise relativement à y seule.

En appliquant les mêmes principes aux équations des ordres supérieurs, on prouvera que, si l'on a une é({ualion du second ordre, représentée par

■ dont le premier membre puisse être une fonction quelconque ^{a, b, c) de trois fonctions a, b, c, déterminées par une équation quelconque

r{^, j, a, b, c) ^= o entre .r, y, a, b, c, et par ses deux équations dérivées

prises en regardant a, b, c comme constantes, l'équation proposée aura nécessairement une primitive singulière du premier ordre, qui sera le résultat de l'élimination de y", au moyen de son équation dérivée

relative à y".

El l'on aura l'équation primitive en jo et y, par l'équation même

en prenant les constantes a, b, c de manière qu'elles satisfassent à l'équation donnée

de sorte qu'il en restera deux «l'arbitraires. '

Et de mémo pour les équations des ordres supérieurs.

Prenons l'équation