X- ; TT, — ^ - "j

oii /> esl nne conshinle (|iiel(on(|ne.

Ainsi on ;inr;i loiil de snile s;i primitive siiiiiiilii're. en élimi :in moyen de re(|n;ilion deriv(''e |)rise r(d;ilivenienl ;i v', hnpp'

miiil y' Ile ser;i

•y.xy IX-

d on I on lire

en siibsliluaiil celle valeni' de >', on ;i

comme on l'a déjii Ironvé par d'anlres voies. Prenons em-ore re(|ini(ion

y X or — 6' = o;

on aura les deux dérivées

y — ax — /; =^ <), y" — n = o,

d'oii Ton lii'e

'xa = r", f> - r' — xy", c z= 7' — xy' -{- — )".

Soit, par exemple,

on aura rcMpialion du second ordre

y — xj'-\ y" — y' — xy" Y — y"'- ~ <>,

donl la [)i'iniilive sini^nlière resullera de ridiminalioii (\v y , an moyen

(le sa dérivée relative à y", savoir,

— ^ix[f' — xy" ) — iy" = o ;

ce qui revient à ce que nous avons déjà trouvé. Lorsqu'on connaît l'équation primitive

'^'[x,y,(i, ^, . . . =o, avec l'équation

({ui donne la relation entre les quantités a, h, c, ..., on peut trouver directement l'équation primitive singulière sans connaître les valeurs de ces quantités en fonctions de j?, j', j', ... ; car, ayant réduit les quantités «, h, ... à une de moins par le moyen de l'équation de condition

il n'y aura qu'à appliquer à l'équation primitive

la méthode générale exposée dans la Leçon quinzième.

Mais la difficulté consiste à reconnaître a posteriori si des fonctions données, dont une équation proposée est composée, dépendent d'une même équation primitive, de manière qu'elles puissent représenter les valeurs des constantes tirées de cette équation et de ses dérivées.

Pour la résoudre, j'observe que la propriété caractéristique de ces sortes de fonctions est que leurs dérivées ont entre elles des rapports expiimés par des fonctions du même ordre que les fonctions dont il s'agit. En effet, relativement aux fonctions du premier ordre, nous avons déjà vu plus haut que les fonctions o[x,y,y') et è(j:, y, y'), qui représentent les valeurs des constantes «et h tirées de ré(juation générale

et de sa dérivée

DES FONCTIONS. 2:i:i

soiU telles (|iie leurs dérivées ^'(a:, j,/) et ^(.i-, v,/ ), que nous av()ii> désignées |t;ii- d' et //, oui la l'orme suivante :

cp'(^,r,/) = 9'(r')[r" + /(^,r'/ ].

de sorte (jne Ton a simplement

(>(i l'on voit que les fonctions dont il s'ai^it ont la propriété (pu- la fonction seconde y" disparait du ra(>port de leurs dérivées, et (pie ce rapport est le même (pie si l'o.i piciiait ces dérivées relalivenicnl ;i la variable y' seule.

Soit, par exenq)le, l'écpiation à la lii^^ne droite

y -\- ax + b =^o;

sa dérivée sera

ainsi on aura

On aura donc, en dénotant simplement par o et 'l ces expressions de

a et h,

prenant les fonctions dérivées, il viendra

o=-r", 'Y^xf;

donc

q7 ~~~ x' Si l'on ne prenait 9' et y que ndativement à v', on aurait

?'=-!, 4^' = ^: cl ^,^ ^.

comme précédemment.

Soit encore l'équation

J-- -h X- — o.ax -\- a- — b'-= o,

(jui est à un cercle dont le rayon = h, et dont le centre est dans l'axe <les abscisses à la distance a de leur origine. La dérivée sera

■y-y -\- X — rt =^ o,

d'où l'on tire

a — x+ jj' = 9 ;

de là on aura, par les substitutions,

Si maintenant on prend les dérivées de © et 'l>, on aura

9' = '+j"''-+-rj"' ^'=r's/'+j''

yr r

<'t de là

si l'on ne prenait les dérivées cp' et V que relativement à >', on aurait

donc

comme ci-dessus.

On pourrait prouver, par une analyse semblable, que les fonctions

de X, y, y' et r", qui expriment les valeurs des quantités a, h. r, tirées

d'une équation

et de ses deux déi'ivées

dans lesquelles ces quantités sont traitées comme constantes, ont des dérivées dont les rapports sont indépendants de la fonction tierce >',

cl (|iii sont les iiirmcs (|ii(' si l'on ne |)i('ii;iil ces d ('rivées (| ne rehiliveiiicni il l:i foiietioii seediide r", parce (|ireii (l(''si,uii:iiil ces (uiiclioiis par

les trois ('(jiialioiis

oii <"/, A, c seraient des conslantes ai'liilraires , sei'oiil les (rois |iriiiiiii\ es d'une même é(|naiion dn troisième oidre, tidie (|ne

à la(jiie!le les dérivées de ces équations devront |iar consé(|nenl saiisfaire; et de nn-nie pour les (onctions du niènu' ^cnre des ordres supel'icui's. Maison peut s'en eonvainci'e encore d'une nianii-re jdus directe (jue voici :

Eu dénotant simplcniont par 9 et j/les fonctions o(j?, j, v), y .i, ), v , (jui expriment les valeui'S des constantes r/ et h tirées de réquation

et de sa déi'ivée

il est clair que l'équation

Y[x,y',(D,Y) =f> sera identiqne; que, par consé([nent, sa déi'ivée

V'[x,y) 4-cp'FVv) + 'V ^'\'^) =•' aura lien d'cdle-mème; mais on a dejii

donc on aura sé[)arément l'écpialion

9' F'. 9; H- vL' F'j -J; ' -- o,

laquelle donne

Or, comme o et à ne contiennent que ac, y et v', il est visible (|ue la valeur de — ne sera (lu'une fonction du premier ordre. Ainsi, dans le dernier exem})le, où

F ( .r , y, a, h ] = >-- -h x- — 'i.ax -{- n- — b-, si Ton change a en o, et h en 'h, on aura

donc

par conséquent

(]; . cp — X

comme nous l'avons trouvé par une autre voie.

De même, si 9, J/, c sont les fonctions de j:', y, y' et y" qui expriment les valeurs des constantes a, b, c, tirées de l'équation

. F{x,y,a, b,c] = o et de ses deux dérivées

en substituant ces fonctions à la place de a, b, c, on aui'a des équations identiques, dont, par conséquent, les dérivées auront lieu aussi. On aura donc, en premier lieu,

('!, par conséquent aussi,

F'i>, r) + 9' F'(9) -;- ^' F'(^) + r F'(^) = o, mais on a déjà

donc' on aura l'équation ,

9'F'(9)H--yF^^)+rF'(^) = o.

DES FONCTIONS. i:îO

l'jisiiilc, coiiinie rrcjiKitinii

contient, outre les quantités.!, r, r', les trois fonctions o, -l, ;, si on In (Iriiolc |)ar/(.r, y, v', o,'l,l), on ani-i l'cMpiation idcnrKiiic

cl, |iai' cons('(|UtMil, la (Irrivrc

/>,r,/) + cp'/'(?) + -V/'l'I.) + ^'/ (I) = o;

mais on a déj;»

|)nis(jn'il est visible (jue /'(jt, v, y') es! I;i inènic chose (|iie P'-r, Vy*, donc on aura aussi l'équation

Si l'on conil)ine celle équation avec la précédente, il est clair <jue, puisque les quanlilés o', V, l' n'y sont qu'à la première dimension, el en multi|)lienl tous les termes, il est clair, dis-je, qu'on en tirera les

valeurs de 77 et de jr, en fonctions des nuanlités ,r, y, y', o, v et £; de

soiie ((ue ces fondions ne passeront pas le second ordre, et ainsi de snile.

Si les loiiclions o et i exprimaient les valeurs des conslanles a el A tirées de l'équation du premier ordre

¥ix,x,x',(i, b) = 0

et de sa dérivée

ces ibnclions seraient alors du second ordre; el l'on Ironvci-ail, par le même raisonnement, (jue le rapport ^, de leurs dérivées sérail expiimé également par — i??-^' de soi'le que ce ra|)poi-l serait une l"o«iclion du

second ordre, et, ])ar consé(juenl, du même ordre (juc les lonclioiis o

et 'l.

2i0 LEÇONS SUR LE CALCUL

Kii i;(''n('V;il, il irsiillc do l'analyse précédente que, si o, à, c, ... sont (les Ibnclions (Vun ordre quelcon(|ue, qui expriment les valeurs des constantes a, h, c, ..., tirées d'une équation en .T,Y,y, y", ..., ((, h, r, . . ., et de ses dérivées successives, les dérivées de ces fonctions auront toujours entre elles des rapports du même ordre que les fonctions elles-mêmes.

Je dis maintenant que, si des fonctions quelconques de .r, r, v', v' . . . . sont telles que leurs dérivées aient entre elles des rapports du même ordre (|ue les fonctions elles-mêmes, c'est-à-dire, dans lesquels il n'entre <jue des fonctions dérivées de )' du menu» ordre, ces fonctions pourront toujours exprimer les valeurs d'autant de constantes tirées d'une équation primitive et de ses dérivées successives; et il sera ;iJors facile de retrouver cette équation primitive génératrice.

(lar, si l'on désigne par 9, '|, ;, . . . les fonctions dont il s'agit, et <jue M, N, . . ., soient les valeurs des ra])ports des dérivées 'V , ;', ... à la dérivée o', ces valeurs étant, par l'hypothèse, des fonctions du même ordre que les fonctions données 9, 9, ;, ..., on aura donc les équations

Supposons

on aura

donc

aussi

donc

- ft.

a, />, r, ... étant des constantes.

Ces différentes équations seront donc autant d'é<|uations primitives

de la même é(juation

j)nis(jirelles ont lien en même temps (|u'elle; par conséquent, en éliminant de ces mêmes é(iualions

les plus hantes fonctions dérivées de la variahie v, (Ui aura une é(|ua-

DES FONCTIONS. 2k\

tioii |)riiiiiliv(' (rmi oidrc iiilriiciii', (jiii coni iciidra les constantes a, h, (\ ..., cl (jiii sera rcujiialion priinilivc génératrice de h loi'nic

d'oii résultent les fonctions o, '1,1, . . ., en les prenant poiii' les valcnrs (les constantes a, h, c, ..., tirées de cette é(jiiati()n et de ses dcrivées successives

Ainsi, si l'on avait entre ces fonctions une équation quelconque

et que l'on reconnût que leurs dérivées 9', '!>'., ;', ... ont entre elles des rappoi'ts du même ordre que ces fonctions, on aurait tout de suite les équations primitives

o = a, ^--b, ç = c, . . . , et de l;i l'équation primitive principale

dans la(]iielle les constantes a, h, c, ... seraient arbitraires, hors

liiic, (jiii devrait être déterminée par l'équation donnée, laquelle se

réduit alors à

On aurait ensuite l'équation primitive singulière par les méthodes exposées plus haut.

Par exemple, si l'on proposait l'équation àw premier ordre

sans qu'on sût que les deux quantités qui sont sous la fonction peuvent exi)rimer les constantes tirées d'une équation primitive <'t de sa dérivée, on examinerait d'abord leurs dérivées, qui sont

rr'y"

■Ik'î LEÇONS SUR LE CALCUL

comme rollc-ci so réduit à -^ '^ ■'^ ' ^^ • , on voit d';il)or(l (jiic son

VH-j'-

iMonoi'l il la ni'cniii'i'o sera cxpi'imô simplcmciil |)ai' - — ' :^ sans (inc

la loiu'lion seconde v" puisse y enlrei'. On est donc assuré par lit (pie les deux fonctions x -h vv' et r y i -\- y'' peuvent provenir (rniie e(|natioii pi'imitive (ju'on Irouvera en faisant les deux é(|uati(ms

et éliminant v', c<' ([ui donne <'(dle-ci

y^- + [a - xy =^ b-\

la(iu(dle coïncide avec celle d'où nous avions déduit les expressions de a et h dans le dernier exemple.

Maintenant ré(iualion proposée deviendra simplement

pai' laquelle ou déterminera b en a; de sorte que l'équation précédente ne contiendra plus que la constante arbitraire a, et sera alors la primitive complète de la proposée.

On pourra tirer de lii la primitive sinij;uli('re, en éliminant (/ au moyen de la dérivée prise par rapport ii a seul, suivant la méthode de la Leçon quinzième, ou bien il n'v aura (ju'ii éliminer v' de la proposée, au moyen de sa dérivée [)rise par ra})port ii y' seule, comme nous l'avons vu plus liant l'elativemeut aux é(|uations de ce genre.

I)i:S FONCriONS. '2\:\

Ufm Di\-si:i'Tif:

srii DiirKKKNTS iM'.oni.i.MKs r.r.i.ATiis A i.A iiii.omr. di.s kqiations I'HImitivks

siN<;ii,iKKi:s.

Prcscjiic (l('s la naissance du Calcul dillcrcuticl, il s'csl picscnlc aux i>éoin('tres des pruhlènjcs (jui dciMMidoul de cette lliéorie, cl (|u"ils oui résolus par des artitlces particuliers.

Leibiiitz, dans un .Mémoire intitulé \ova Calcii'i dif(^rcn/i(//is a/)/)//catio, et inséré dans les Actes de Leipzii^- de i()94 [voyez le u" lAI des Oluivres de Jac(|ues HernouUi), donne la manière de trouver la coiirlie formée par l'intersection conliiin(dl<' d'une inlinilé de courhcs rciilciiiiées dans une même équation, en faisant varier dans cette équation le paramètre qui les différencie, ce qui produit une nouvelle é(iualion |»ar laquelle on a une valeur du paramètre en fonction des coordonnées, et cette valeur, étant sul»s(iluée dans l'écjuation proposée, donne tout de suite une équation tinie |)our la coui'he cherchée.

11 applique ensuite cette méthode à une question (ju'on regardait alors comme tri-s dilïicih', et (jui C(msiste à trouver la courhe dont les normales ou perjx'ndiculaires ont une relalion donnée avec les parties de l'axe interceptées entre l'oriiiine des abscisses et les normales.

I.eihnitz ciuisidî're cette courbe comme lormée |)ar rintciseclioii continuelle d'une intinité de cercles qui ont leurs centres sur l'axe; alors les rayons des cercles deviennent les normales ;i la courbe, el la relation donnée par le problème, entre les normales et les i)aities correspondantes de l'axe, a lieu entre les rayons et les abscisses qui répondeni aux centres des cercles.

24i LEÇONS SLK LE CALCUL

Nommant a-, y les coordonnées du cercle, a l'abscisse qui répond au centre, et b le rayon, on aura

savoir,

J-- -\- X- — 2 asc + a- — b'-^^ o,

pour l'équation du cercle.

Maintenant l'équation proposée entre h et a donnera b en fonction de a; il ne restera ainsi que le paramètre a, qu'on déterminera comme on vient de le dire, et l'équation en ac et y deviendra alors celle de la courbe formée par l'intersection de tous les cercles, et aura, par conséquent, la propriété demandée.

Supposant, avec Leibnitz, que l'équation entre a et b soit celle de la

parabole

b'-=^ ak,

k étant une constante, l'équation en x, y et a sera

y- -\- X- ~ lax -\- a- — aK=o.

Faisant variera seul, suivant la notation du Calcul différentiel, on a

( — 7.x -{- ia — /,) d(i = o, d'où l'on tire

k -r- IX

substituant cette valeur dans l'équation précédente, on a

pour la courbe cherchée, qu'on voit être aussi une parabole.

On peut s'assurer a posteriori que cette courbe résout le problème.

En effet, on sait que, y étant l'ordonnée qu'on regarde comme fonction de l'abscisse x, la fonction prime y' exprime le rapport de l'ordonnée à la sous-tangente, lequel est le même que celui de la sous-normale à l'ordonnée; de sorte que yy' est l'expression de la sous-normale;

DES rONCTIOXS. 2V5

pur <'Oiis(''(]ii('nt y \/i -I- j'- S('r;i crllr de l:i normale, vt x -h yv' «m'IIc (l(^ la j)ai'ti(' (le l'axe comprise! ciilrc l'urii^iiH; cl la normale. | \'(>Yrz la s(>con(lc I^n'lic de la llicoric des fonctions analytùjues [^ ).\ Oi' rc([na(ion (|M'on vient de trouver donne;

et, ])renanl la dérivée, donc la normale sera

et la partie de l'axe sera

sj

laquelle, étant miilti[)lice par /•, devient, comme l'on voit, égale au carré de la normale.

Le problème est donc résolu de cette manière; cependant on doit être surpris que Leibnitz n'ait pas remarqué que sa solution n'admet point de constante arbitraire dans l'équation de la courbe, tandis qu'il est évident que le problème conduit naturellement à une équation différentielle, dont l'intégrale ne peut être complète que par l'introduetioii d'une constante arbitraire.

En effet, nommant a la partie de l'axe qui répond à la noimale, ei h la normale, on a, comme on vient de le voir, les expressions

donc, si l'on veut que ^ = F(«), on aura l'équation dérivée

dont il faudra cbercber l'équation })iimilive.

Suivant la notation du Calcul dillérentiel , on aurait ii intégrer ii

(') OEuvns (le Loi^rdiii^c, t. IX.

2VG LEÇONS SI II LK CVLCLL

r(Mjii;i(i()!i (lillrrciiticlle

/ (Ir- ,. / (h

I);iiis rrxciuplc proposé, on a

b --^ ah ,

pal' c'onsc'cjLK'iil

F(fl]-= vôÂ,

cl rcMiualion (Icrivéc devient

y sji -^ y'- = v-^' +/j' •^*'- Si Ton tire de cette équation la valeur de yy' , on a

2 V 4 on i)ien

A- — o.j7'-f- 1 i/ -^ -^ kx — r-

bivisant toute l'équation par 2 W-V -i-Âœ—y-, ou aura

é(juation dont la primitive est visiblement

i /-^ + /rx — y- -+- X — /i,

h étant une constante arbitraire.

Cette équation devient, en faisant disparaître le radical,

-V -^ Iix — y- = i/i — X-)-,

é(juation au cercle.

Si I on l:iil

i>i:s roNCTioNs.

'IKl

(i ùliUll la coiislaiilt' ailMliairc, on a crllc-ci

) -' -i- X- — lax -;- a- — aJi ~- o.

(Ici te (M|iiali()n csl, (•((ininc l'on \()il, la iiK-nic (jnc l'iMinal ion an ccirlr (Ion! I.cihnilz a lirr sa solution [»ar la variation de (i\ ainsi on jicnt diic (|n(' l'iM] nation an ccrclt', dans la(|n(dl(' r/, abscisse (|ni répond an rcniri'. est la constante aihitiairc, et dont le rayon est \a/{, est rr(jnation pii- Miilive (jui l'ésuut le problème dans toute sa généralité; il est évident, en efïet, (|tie tont eerele dont le centre sera snr l'axe, et dont le ravon anra, avec la distaïu-e {\\\ centre à Torii^ine des abscisses, la redation (jn'on snpposo entre la normale et la partie de Taxe correspondante, satisfera ;» la (jneslion.

L'équation ;i la parabole, trouvée par J.eibnilz, lU' |)ent donc être (|n'nne é(ination primitive singulière; en effet, en jtrenant dans la même é(|uation an ceride les fonctions dérivées r(dativemenL à la constante arbitraire a, comme on l'a enseigné au commencement de la Leçon qninzi(Mne, on a ré(|mdi(Hi

Ia(jn(dle donne

valeur (jui, étant substituée dans ré(|uation au icri le, donne

Il X ■- =: O.

comme Leibnitz l'a trouvé; d'où l'on doit conclui'e <|ue la solution de Leibnitz n'est donnée cjue par l'équation primitive singulièi'e.

On a vu que Leibnitz avait déduit sa solution de la considération de la courbe formée |)ai- l'irUersection continindle de tous les cercles que \\)\\ ani'ait en faisant varier continn(dlemenl la existante r/ ; c'est, en

effet, uiH' propriété générale des équations primitives singulières d'appartenir aux courbes formées par l'intersection continuelle des courbes représentées par l'équation primitive complète, en faisant varier continuellement la constante arbitraire qui différencie toutes ces courbes.

Gomme cette propriété est, pour ainsi dire, la caractéristique de cette espèce d'équations primitives, il est intéressant d'en avoir une démonstration.

Pour cela, on remarquera que la courbe formée par riiitcrscction continuelle d'une série de courbes infiniment peu différentes l'une de l'autre n'est autre chose que la courbe qui embrasserait ou toucherait toutes ces courbes, et qui aurait, par conséquent, dans chacun de ses points, une tangente commune avec une de ces mêmes courbes.

Or, soit

l'équation générale des courbes dont il s'agit, a étant le paramètre, qui est constant dans chacune d'elles, mais qui varie de l'une à l'autre; comme la courbe qui doit les embrasser a un point commun avec chacune de ces courbes, elle aura aussi les mêmes coordonnées x et r et la même équation entre ces coordonnées, mais avec cette différence que le paramètre a sera variable dans l'équation

tant qu'elle appartiendra à la courbe qui embrasse toutes les autres.

De plus, il faudra que la position de la tangente soit la même dans la courbe où a est constant et dans celle oii a est variable.

Or on sait que cette position ne dépend que de la fonction prime r',

puisque ^ est l'expression de la sous-tangente; donc il faudra que la valeur de r', tirée de la dérivée de j'équation

soit la môme, soit qu'on y regarde a comme constante, soit (ju'on la regarde comme une variable fonction de x, ce qui ne peut avoir lieu, à moins que la partie de la fonction dérivée relative à a ne soit nulle.

Ceth' |»;irli(' est, siiiv;iiil l;i ii(il;ili()ii ;i(l()|)|(''<', F'(rt); donc on ;i(ir;i r(''(|ii;ilioii

l;i(|ii('ll(' s('ivir;i ii drlciininci' a v\\ .r cl y. Or cette éqii;ilion csl, comme I on voit, la mcmc (|iic celle (jui donne r(''(|natioii |)iimilive sini^ulii-re,

loi'S(|ne

F(.r,7, rt) = o

csl ré(|nalion primilivc ordinaire, dans hupudie a est la conslanle aihiti'aire, comme nous l'avons vu dans la Leçon cilée.

Donc l'identité de l'équation primilivc singulière et de l'équation de la courbe, qui end)rasse toutes celles qui sont comprises dans l'équalion j)rimitive ordinaire, est démontrée et résulte des principes mêmes de la chose.

Cette considération géométrique est très imporlanic pour la théorie des équations primitives singulières; elle sert à lier entre elles les courbes représentées par l'équation primitive ordinaire et par l'équation primitive singulière, comme le principe analytique (|ui sert de base à cette théorie sert à lier entre elles ces mômes équations par la variation de la constante arbitraire.

Ainsi le problème analytique que nous avons résolu au commencement de la Leçon précédente se réduit à trouver des courbes qui, ayant un paramètre variable, puissent former, par leur intersection mutuelle, une courbe donnée.

On peut donc présenter ce problème ainsi :

Axanl deux courbes doiil les équations soient données, et dont l'une contienne deux constantes arbitraires, trouver la relation nécessaii'e entre ces deux constantes, pour (ju' en faisant carier celle qui denwure arbitraire, on ail une infinité de courbes du même genre qui, par leur intersection continuelle, forment toujours l'autre courbe donnée.

Pour le résoudre, il n'y aura (|n';i chercher, par les méthodes exposées dans la Leçon [)récédente, la rtdalion entre les constantes a X. 32

et h (le l'équation donnée

pour qu'à cette équation, regardée comme une équation primitive ordinaire, l'éponde ré({ualion primitive singulière

qui sera celle de la courbe qui doit être formée par l'intersection continuelle des courbes données par l'autre équation.

Le problème résolu par Leibnitz l'a été aussi par Jean Bernoulli, dans ses Leçons de Calcul intégral (tome III des OEuvres de Jean Bernoulli, Leçon XIY), mais ])ar une autre voie qui l'a conduit au même résultat. En considérant deux normales infiniment proches, il observe que l'accroissement infiniment petit de la normale est à l'accroissement de la partie de l'axe qui répond à la normale comme la partie de l'axe comprise entre l'ordonnée et la normale est à la normale même, ce qui est facile à voir par la similitude des triangles.

Il a ainsi, suivant l'esprit du Calcul différentiel, en nommant, comme

plus haut, a la partie de l'axe qui répond à la normale et h la normale

même, l'équation

db n — X ' (la b '

d'un autre côté, la considération du triangle rectani^le dont h est l'hvpoténuse et y et « — £r les deux côtés donne

De ces deux équations il tire

, db

b —, da

I db'

Or les conditions du problème donnent h en fonction de a\ ainsi on aura x et y en fonction de a, et, chassant a, on aura l'équation de la courbe cherchée en * et )'.

En supposant, connue dans rcxcniplc dr l.ciltnit/.,

h z^- \ ha,

on a

(la ~ ■>. V a '

donc, l'aisanl ces snltslihitions dans les valenrs de .r cl r, on ania

d oîi, cliininanl a, il vienl

y-^=. Ux + -r

poni' l'équation de la courbe cherchée, qu'on voit être la inTine parai)ole que Lcihnitz avait Iconvée par une méthode loni ;i l'ail diflérente.

Telle est la solution de Jean Beinonili, (|ni coïncide, coninie on le voit, avec celle de Leihnitz, et sur huiuellc, par consé(pu'nl, on peni faire les mêmes observations.

D'abord on peut être étonné que iiernonlli n'ait [)as remarqué que ce problème appartient essentiellement à la méthode inverse des tangentes, et que, par conséquent, la solution générale dépend d'une intégration (jui doit nécessairement introduire une constante arbitraire dans l'équation entre x et r, et cela peut surprendre d'autant plus (ju'il avait donné auparavant, dans les mêmes Leçons, les expressions dillereutiidles de la normale et de la sous-normale, et que le problème ne consiste qu'à établir entre ces quantités une relation donnée.

Ensuite il est clair, par ce que nous avons vu plus haut, que la solution (le Bernoulli dépend d'une équation intégrale ou primitive singulière, et, pour le démontrer par sa propre analyse, il suf'iit de considérer qu'on aura directement l'écjuation en x et v en substituant la valeur de h en a, donnée par le problème, dans les deux é([uations

db a — X ., , > „ , „

Ta= HT' ;-+(«-;r)-=4-,

et éliminant ensuite a.

Ainsi, en supposant

h = sjha,

ces deux é(jiiulions deviennent

la prcjnière donne

ff , k

- =1 a — x; flonc a^x-\ 5

ce qui étant substitué dans la seconde, on a

r- -h -T- = kx -\ 5 (1 ou y- = kx H 5

comme on l'a trouvé.

C)i' je remanfue que l'équation différentielle

— - = — -, — 5 ou hdb^^ [a — x] da,

da 0

n'est autre chose que la différentielle de l'autre équation

en faisant varier seulement a et h.

Ainsi, comme h est supposé fonction de a, la solution se réduit à faire varier a seul dans l'équation

j- + .r- — lax -{- a- — b- = o

et à éliminer ensuite a au moyen de cette nouvelle é(juation, ce (]ui revient, comme l'on voit, au procédé de Leibnilz, puis({ue ré(|uation est la même que son équation au cercle; on voit aussi ([ue ce j)i'océdé coïncide avec celui qui donne l'équation primitive singulière de ré(|ii;itioii dérivée ou différentielle, dont la même équation

y- ~\- X-— -lax + «- — />- = o serait l'équation primitive, a étant la constante arbitraii'e.

On ;mi'a donc cctlc (''(|ii;ili()ii (Irrivt'-c en ('•limiinml a dt- l'r(|ii;ili(ni |ti'iiiiiliv(' |i;ir le /ii<i\cii de sa délivre

rr' -\-x — a = o,

ou Itieii en delei'iiiinanl a el h ywv le nioven de ces doux ('(jiialions, cl substiliiaiil leurs valeurs dans celle (|ui renlei-me la rcdaliou eiilre les (juantilés a el A, donnée par les coudilions du j»i'ol)li'nie. Or ces é(juations doniieut

expressions (jii'oii voil èli'<' les mémos (pie uous avons Iroiivt'es plu> iiaiil pour la norinal(! h el pour la partii; de l'axe <i (pii répond ;i cette uorinalc; de sorte que, si la rtdation entre ces deux quantités est représentée, en général, par

l'équation dérivée, qui répond à la primitive

y- -{- X- — "iax + a- — 6- = o, sera

C'est l'équation générale du problème de Leibnitz et de Bernoulli. dont ils ont trouvé l'un et l'autre, par des méthodes dilTérentes, l'équation primitive singulière, sans se douter de l'espèce de contradiction que leurs solutions présentaient avec les j)rineipes mêmes du Calcul différentiel.

Avant de ({uitter celle analyse, il est bon de montrer (i priori ponr- (pnii les expressions des constantes a et />, tirées de l'équation au

cer(de

y--{- X- — "fax + (•/-— h- = o

(!t de sa déi'ivée

yy' -\- j: — <7 = o,

sont les mêmes (|ue celles (ju'on trouve pour la normale el pour la partie correspondante de l'axe, dans une courbe quelconque rapportée aux coordonnées .r, y.

2oV LEÇONS SUR LE CALCUL

Si ron eonroit un cercle qui toiiclic une courbe dans un poini, il esl clair (|ne son rayon, dans ce point, deviendra la norniale ;i la courbe. Or rcMjuation dont il s'agit est, comme nous l'avons déjà vu, celle d'un cercle donî le centre est dans l'axe cl répond ;» l'abscisse a, et dont le rayon est h\ et, pour que le cercle toiicbc une courbe donnée, il faut pre- Uïièrement qu'il ait un point commun avec elle, dans lequel, par conséquent, les coordonnées .r, y seront les mêmes; il faut ensuite ({ue la valeur de r' soit aussi la même dans le cercle et dans la courbe, comme nous l'avons démontré rigoureusement dans la seconde Partie de la Thcoiic (les fonctions analytiques : ainsi, pour que i> devienne la normale à la coui'be et que a soit la partie de l'axe qui y répond, il faudra

(jue ré(|ualion

et sa dérivée, prise en regardant a et h comme constantes,

yy' H- ^ — (i =^ o

aient lieu en même temps, par rapport aux coordonnées a-, y de la courbe; d'oii l'on tire, pour a et h, les valeurs données ci-dessus.

Les solutions de Leibnitz et de Jean Bernoulli offrent les premiers exemples des équations primitives singulières; mais Taylor est peulêtre le premier qui ait trouvé directement une équation primitive singulière d'après l'équation dérivée.

Dans son Ouvrage intitulé Mcthochis incrementorum, qui a paru en 171 5, Taylor étant parvenu (p. 27 ), pour la solution d'un problème, à cette équation différentielle (j'emploie ici, pour plus de commodité, la notation différentielle à la place de la notation fluxionnelle des Anglais, ces deux notations exprimant la même cbose dans le fond),

dans laquelle r est fonction de z; il la dilTérentie en faisant dz constant, et il obtient l'équation

d'oii il tii'C

Cette (It'iiiii're é(|ii;ili()ii doiiiHî

dy zy

dz~ \ -\- z-

ce qui i'é(

Uni h

\ [)i'()[)()sce à

savoir,

(|ui est, dit-il, si/i^u/d/is r/uœda//i solulio problenialis.

Considérons l'antre é(juation d-y — n, où dz est constant: en picnant successivement ses deux ()i'iMiilivcs ou intégrales, on a

y=za-\-bz,

où a et A sont deux constantes aihilraires; mais la proposée ii'élanl (|ii(' du jH'eniicr ordre n(; comporte (|u'une seule arhilraiic; il laiit donc y substituer celte valeur de y pour avoir la relation qui doit avoir lien entre a et h, et pour cela il suffît de supposer partout 3 - o, au(|uel cas on a

^'- = "^ dz=^' et l'équation devient

donc

el, par conséquent,

Il est évident, par ce que nous avons démontré dans les dernières Leçons, que la solution (|ue Taylor nomme singulière n'est auli'e chose (|u'une équation primitive singulière de l'équation du premier oidre

ioG LEÇONS SUR LE CALCUL

dont

est l'équation primitive complète; car la dérivée de cette équation du preniicr ordre étanl, en faiscint c' = i ,

[— 2 ;r + 2 ( I + s2 ) jr'-^y — o,

le facteur du premier ordre — 2sy h- 2(1 -\- z-)y' donnera l'équation primitive singulière, et l'autre facteur j" donnera l'équation primitive complète, comme nous l'avons montré dans la Leçon seizième.

On peut aussi tirer la première de la seconde par les principes exposés dans la Leçon quinzième; car, l'équation primitive complète étant

sa dérivée relative à a sera

za

elimiiianl a de ces deux équations, on a

Longtemps après, en 1734, Clairaut, en résolvant quelques problèmes sur des courbes, fut conduit à une équation différentielle, dont il obtint aussi deux intégrales différentes par le moyen de la différentiation ; il était parvenu à ces deux équations

m) n(M; =j — <Ï>(m) et c/y ^^ Il {u)dx,

ll{u) et <î>(w) étant des fonctions données d'une variable // (ju'il s'agissait d'éliminer.

L'élimination étant impossible en général, il eut l'idée heureuse de diff'érentier la première et d'y substituer la valeur de dy, tirée de la seconde; ou a ainsi cette équation

[Tl[u) — [x — m) n'(M) — $'(«)] ^/'/ =0,

d'où l'on déduit deux valeurs de 11, l'une donnée par l'équation

11(^0- ix-u)U'(u) -$'(a) = o,

l'autre par l'équalion

du = o,

laquelle (loiiiie, |);ii' l'intégration,

a étant nne constante arhitraii'c.

Ces deux valeurs de //, élaiil substituées dans la prenjii'ie é(|ualion

(^ — m) II(m) =j — (I)(a),

donneront deux intégrales en .x et y, l'une sans conslaulc ailtiliairc, l'auti'e avec la constante arbitraire a, et qui sera

[x — a) n(a) =y~ <l>(rt),

laquelle ne représente, comme l'on voit, que des lignes droites.

Clairaut examine ensuite (|U('l(jues cas particulici's du niénie j)r(>hlènie, où il fait voir comment le Calcul intégral ne donne jamais (juc les lignes droites exprimées par l'équation générale

xn[a) — ail (a) =j — <!)(«),

et comment les équations trouvées par la première méthode échappent à l'intégration.

« J'ai été bien aise », dit-il, « de niontrei* cette singularité de calcul, qui s'est présentée (rcdle-niènie; on pourrait l'énoncer, indépendamment du problème présent, de cette manière :

» Il y a des équations diffèrcnlieUes capables d'avoir deiiœ solutions différentes l'une de l'autre, dont l'une [et même dans ce cas-ci la plus générale) n'a pas besoin du Calcul intégral; telles sont les équations

X dydx — dy- := ydx- — dydx, à laquelle

[^y z=i x- -h 7. X -\- 1 et inx — o.x -=■ — ^y -\- \ — a-

satisfont également; et

a dy- + X dy- — y dy dx = x dx dy — y dx- , X. 33

qui donne mmr solutions

—^ — \Jy^^Jf\a et b-y — ibx + o.by = — ^a.

» En irénéral, . , ' • , = à une fonction quelconque de x, y, dx, dy

sénat de celte nature; intégrée, elle donnerait une équation; et. sans aucune intégration,

serait l'autre (' ). »

En nippi'ochant ces différentes solutions de notre théorie, il est évident que celles qui ne renferment point de constante arbitraire ne sont que des équations primitives singulières, et que les autres, qui contiennent une constante arbitraire, sont les équations primitives complètes; mais Claii*aut a tort de regarder ces dernières comme moins générales, })arce qu'elles ne représentent que des lignes droites.

A l'égard de l'équation différentielle

on ne peut pas dire, en général, avec Clairaut, que l'équation Unie

est de la même nature que les intégrales qu'il avait trouvées auparavant sans constante arbitraire; car cette intégrale peut être une équation primitive singulière ou simplement un cas particulier de l'équation primitive complète.

Car, si l'on fait, pour abréger,

et ((u'on suppose qu'ayant tiré de cette équation la valeur de y en ; on la substitue dans la fonction Fl.r,r, -y-j? on aura une éqnalion

(') Voyez les Mcmoires de V Académie des Sciences pour lySj, p. lïZ.

en .r et r de la (orinc

(Ml l)i<>n

PoiiiMjuc 3---=()S()i| une é(niali(>ii piiiiiitivc siii^milii'rc, il famlra (|m'

comme nous l'avons vu dans la Leçon sci/irnic; or, en prcnaiil la dcl'ivée (le {'('"(jualion précédente, on verra (jiie cette condition ne penl avoii' lien (|im' lorsque z- = o donnera

Dans les autres cas, l'équation z — o ne pourra donc être (|n'nn cas particulier de l'équation primitive complète.

En effet, en regardant d'abord z comme très petite et négligeant :;

dans la fonction /'(j:-, z, z'), on aura simplement

z' = zf{x], d'où l'on tire

et, ]>i'enant les fonctions primitives,

Iz=f,[:v )-+-/,-,

/• étant une constante arbitraire.

Je dénote par/^, avec un trait placé au bas de la caractéristi(jue /i la fonction primitive dénotée par la simple caractéristique /"; on pourra de même dénoter, dans l'occasion, par r, la fonction primitive de v; par y,^ la fonction primitive de j,, c'est-à-dire la fonction |)rimitive seconde de y, et ainsi des autres. Cette notation, (|ue j'avais déjà proposée dans l'Ouvrage sur la Résolulion des équations namériques [ ' j, me

(') OEuvtes de. Ldfçrangc, l. VIII.

parait aussi propre, pour désigner les fonctions primitives, que la notation ordinaire l'est pour les fonctions dérivées. Maintenant il est clair que, dans l'équation

lz=f,[x] + h,

on aura

en faisant la constante k infinie, puisque

Ainsi

sera alors un cas particulier de l'équation primitive complète.

Euler avait aussi trouvé, dans sa Mécanique, différents exemples de cette duplicité d'intégrales; il avait même donné des règles pour les découvrir dans quelques cas, comme on le voit dans les articles 2C8, 303, 335 du second Tome de la Mécanique; mais ce n'est que plusieurs années après qu'il s'est occupé, ex professa, de cette partie du Calcul intégral dans un Mémoire intitulé Exposition de quelques paradoxes du Calcul intégral, et imprimé dans le Recueil de V Académie de Berlin poui' 1756.

Dans ce Mémoire, Euler se propose différents problèmes relatifs aux tangentes, qui conduisent naturellement à des équations différentielles, et il remarque qu'ils ont chacun deux solutions, dont l'une résulte de l'intégration et admet, par conséquent, une constante arbitraire, et dont l'autre est indé})endante de l'intégration et peut se trouver même par la différentiation de l'équation.

Voici un de ces problèmes :

On demande une courbe telle, que, tirant de deux points donnés des perpendiculaires sur une quelconque de ses tangentes, le produit de ces oerpendiculaires soit une quantité constante.

Faisons passer l'axe des abscisses par les deux points donnés, et soient/; et q les deux abscisses qui répondent à ces points et / la sous-

tangente ii un poiiil (|ii('lc()n(|ii(', c'csl-à-diic l:i [Kirlic dr l'axe conî[)i'is(' cnli'c la laiii;rnl(' cl roidonnt'c \'; on ;iiii"i / — .x pour la parlic comprise entre la tangente et l'origine des abscisses; doin: l — x -\- ]> et / — .i-'r~(j seront les |)ar(ies de l'iixc comprises eiilre les deux pctinls donnés et la tangente.

Ayant abaissé de ces points di's perpendiculaiics sui' la tangente, on lorniera par l;i deux triangles rectangles semblables au tiianiile rectangle formé par la tangente, l'ordonnée y <'l la sous-tani^tiite /; il est visible (jue, dans ces triangles, les lignes / — x -\- p et l — x -\- q répondront il la tangente même, qui est vj"H-^'> et que les perpendiculaires dont il s'agit répondront à l'ordonnée r, de sorte (|u'o;i ;iur;i pour ces [)erpendiculaires les valeurs

\lr- + ^'- s/y- + i-

par conséquent l'équation du problème sera

k étant une constante donnée.

Or le rapport de l'ordonnée à la sous-tangente étant exprime par la l'onction prime y' , on a

[)ar conséquent

cette valeur étant substituée dans l'équation précédente, elle se réduit ii (r —y' ^ + py ) [y —y x -t- <// ) __

équation du premier ordre.

Cette équation, étant mise sous la l'orme diirérenti(dle et mullipliée

par dœ--^dy-, devient

[ydx — xdx -\- p dy] [y clx — x dy + q dy) — k ( dx- + dy- ) = o ;

c'est l'équation donnée par les conditions du problème.

Euler remarque qu'il serait difficile d'intégrer cette équation directement, mais qu'on y peut parvenir facilement en la difïerentiant.

On a ainsi, en prenant dx pour constant,

[ydx — xdy-{- qdy) [p — x) d'-y+ [ydx— xdy^ P^^x) [fj —Jc)d^y— 2 kdyd-y =z o,

équation toute divisible par d\y.

En la divisant d'abord par d'y, on a celle-ci :

[ydx — xdy -t- q dy] [p — x) + [y dx — x dy -^ p dy) [q — x] — 1 k dy = o ,

qui n'est que du premier ordre, comme la proposée, et qui, étant combinée avec elle, donnera, par l'élimination de dy, une équation finie en oc et y.

En effet, cette dernière équation étant multipliée par r// et retranchée de la première multipliée par 2, on aura celle-ci ;