y-dx'- -h y dy dx [ p -h q — 2.x) — 2/r dx- = o

d'où l'on tire

dr 2 f A" — y- )

dx y[p-T-q — 2x) ' mais la même équation donne

dy )•{ i> -h q — ■>■ X ]

dx il/i — [p — x] [q — X}]''

donc, comparant ces deux valeurs et multipliant en croix, on auia celle-ci :

XHP + 9 - 2x]-' = /i[k-y-')[k -[p~x)[q- x)],

laquelle se réduit à

oti, plus siinplf'inciit encore, ii

équation à nne ellipse dont le carré du deini-petit axe est /•, el le eiiiré

(In (lerni-i^rand axe est /• H- ( \ ? de soile (jue '^ — '- sera la distance

du eenli'e an foyer, et, comme le centre de l'ellipse répond ;i l'ahscisse - — ^ 1 il s'ensnil (|ue les deux loyers répondent aux abscisses y>» el y, et

sont, par eonsé(juent, dans les deux points donnés.

Kn effet, on sait, par lif théorie des sections coni(jues, que le [)roiluit des perpendiculaires menées de chacun des foyers sur une tangente quelconque est constant et égal au carré du petit axe.

L'équation (|ue nous venons de trouver ne renferm<; point i\o constante arbitraire, puisqu'elle provient de deux équations difféientielles

du premier ordre par l'élimination de -j-; mais on aura une autre

é(juatiou, avec une constante arbitraire, par le moyen de l'autre faeleur (l-y, lequel donne l'équation du second ordre

d'où l'on lire

dy = adx,

a étant une constante arbitraire; cette équation étant combinée <le nouveau avec la proposée, on aura celle-ci :

[y — ax + ap] [y — ax + aq) =k[i + a-),

d'oLi l'on lire

y'—ax+ '-^ = ± k/ [\ -\- a-) h -^ n- [ ' ^ ' ,

équation ;i deux ligues di-oiles.

Il est visible, en efTet, (|ue la ligne droite satisfait aussi au même problème, [)ourvu (|u'elle soit placée de manii-re (jiie le prodiiil des

deux perpendiculaires menées des deux points donnés sur cette ligne soit égal à /•.

Si, dans les expressions générales de ces perpendiculaires trouvées

ci-dessus, on substitue pour / sa valeur ^ ou l)ien r ^5 suivant la no-

talion du Calcul difréreuliel, ou a

ydx — xdy -^ pdy ydx — xdy~hqdy

sjdx- H- (ly- sjdx- + f/j--

Soit

y- =z nx + h,

en général, l'équation à la ligne droite; on aura

dy = a dx ; •

substituant ces deux valeurs, les deux perpendiculaires deviendront

h ~h ap h ~\- an

^ . et — ^ ■>

et l'on aura l'équation

{b -^ ap) [b -^ aq) = h [i -^ a-], d'où l'on tire

b = ~a f^-^^ ± i /(i + a^) h ^ cC- ' ''

ce qui donne les mêmes lignes droites que nous venons de trouver.

Telle est l'analyse d'Euler, que j'ai rapportée en entier, et même avec un peu plus de détail, pour servir d'exemple dans une matière qui est encore peu traitée dans les Ouvrages élémentaires.

On voit que ce problème admet réellement deux solutions très différentes, puisque l'une donne des lignes droites, et l'autre donne une ellipse.

Euler n'a pas chercbé à rapprocher ces deux solutions et ii les faire dépendre l'une de l'autre; il s'est contenté de donner cette duplicité de solutions comme un paradoxe de Calcul inlégral, par la raison que l'équation qui contient une constante arbitraire, et qu'on doit, par

conséqueni, rci^iirdcr coiiiiiic l'iiilriirMlc complète, lu- i-cnrcriiic ccitcn- (laiil |);»s riiiid'c tMjiiMlioii liiiic, (|iii s;ilis(';iil ('Lialciiiciil ;i l'équation diirérciilicllc, {•{' (]iii |>ai"ii(, en cll'cl, coiiliaiic aii\ |)rii)ci|)('s du dalciil dinV'i'ciilici.

JMilcr regarde aussi coinine un j)aradoxe (jue la dillereiitialion puisse suppléer à riutégraliou, ee qui iw doit s'euleudre eepeudaut (ju<' <le l'intégrale sans constante arbitraire, (|ui résulte innnédiatemenl de la dillerentielle de ré(|uali(m proposée, combinée avec celle inènic é(jiialion; car, pour l'aiilre intégrale (jiii dépend d'one inlcLtralion subséquente, elle est conforme aux principes généranx du calcnl.

D'après la théorie que nous avons donnée sur les écjualious primitives singulières, on voit clairement (pie ces paradoxes d'I^nler ne sont que des résultats particuliers de celle ibéorie.

Il est évident (jue ré(juation à l'cdlipse, qui est sans con>lanle arbitiairc, n'est que l'équation primitive singulière de l'équation du premier ordre, donnée par les conditions du problème, puis(|u'elle résulte "du fadeur du nuMue ordre (jui multiplie la déiivée de la même équation; et que ré(jualion à la ligne droite, ([ui vienl de l'aulre j'aclcnr du second ordre, est donnée par ré(juation primitive complète, avec une constante arbitraire, conformément à la tbéorie développée dans la Leçon seizième.

Si de l'équation à la ligne droite

y z=: ax -r- b et de sa dérivée

ou tire les valeurs des constantes a et b, on a

a=y, b=y — xy',

et ces valeurs, substituées dans l'équation donnée par les conditions du [)roblème, savoir,

[b -\- ap) [b -\- aq] = k [\ -\- a-),

fournissent cclle-ri :

(x - xy + pr' ) (r — ^r' + qr' ) = />■ i • + r' - ) »

qui esl, coninic Ton voit, l'équation du premier ordre à laquelle le

problème eonduit directement. Ainsi cette équation aj)partient ;» la

classe que nous avons examinée dans la L(u;on précédente, dont la l'orme içénérale est

et qui est toujours susceptible d'une équation primitive singulière, (ju'on peut obtenir par l'élimination de y', au moyen de la dérivée relative à y', ce qui redonne le résultat que nous avons trouvé.

Si l'on voulait tirer l'équation primitive singulière de l'équation primitive complète, d'après la tbéorie de la Leçon quinzième, il n'y aurait qu'à substituer d'abord, dans l'équation de condition en a et b, la valeur d(! h tirée de l'équation

y =1: ax + h,

ce qui donnera celle-ci :

[f—ax-hap] ( j- — «X H- aq ] = A- ( i -i- a- ],

qui est à deux lignes droites, et qu'on peut regarder comme l'équation primitive» du ])roblème, dans laquelle a est la constante arbitraire. Ainsi il n'y aura qu'à éliminer a au moyen de cette équation et de sa dérivée, et l'on aura encore le même résultat, puisque l'équation en y' a la même forme que l'équation en a, ce qui sert de plus en plus à l'approcbér les différentes méthodes que nous avons données.

Nous avons démontré, à l'occasion du problème de Leibnitz, que toute équation primitive singulière représente la courbe formée par l'intersection continuelle des lignes représentées par l'équation primitive complète; ainsi on peut dire que l'ellipse qui résout le problème d'Euler est formée par l'intersection continuelle de toutes les droites représentées par l'équation

{y—ax-\-ap) [y — ax -^- aq ) =. k[\ -^ n-), eu suj)[)osant que la constante a varie de l'une à l'autre.

DKS FONCTIONS. 267

Par cette considération on poiiirail donc anssi résoudre le proldénic

d'Kiiler, coniirie Lcil)iiilz avait résolu c(dui dont nous avons parle ;ni

coiiinienceinent de cette Leçon, et parvenir direelenient ;i l'ellipse, (|ni

n'est donnée par l'analyse que d'une manière indirecte.

Jus(jue-I;i on n'avait considéré les équations primitives sin-nliere^ que comme des soiulions parlienlii-ics (|ui se |u-esenl;iienl d'ellesmêmes et sans inléi^ralion, et l'on n';ivait encore auenii nioveii jionr reconnailre, rz/^/zo/v, si une |)areille solnlion pouvait être comprise ou non dans la solution généi'ale donnée par rintéi>rale complète de recpiation ditlérentielle du problème. Euler a donm'' le |>i'eniier' une ri-i^le iienerah; |)Our cet objet dans le premier Volume de son Calcul inlc^raL el Laplace a montré ensuite comment on peut déduire de ré(]uation dilférentielle les solutions particulières (jui échappent à l'intéi^Male complète, comme nous l'avons rapporté à la fin de la Leçon quinzième.

Il restait à découvrir la liaison entre ces intégrales particnlii-res et les intégrales complètes, ainsi (ju'eiitre les courbes données par les unes et les auli-es, et à rappeler toute la théorie de ces ditrérentes intélii-ales aux premiers principes du Calcul difîérenticd ; c'est ce (|ir(ui a lait dans un Mémoire sur ce sujet, imprimé dans le Recueil de l' Académie de lierUn de 177/i, et dans un autre Mémoire imprimé dans le même lltxueil [)our i yycj ( ' ;.

('omme ce point d'analyse est un des plus intéressants par ses dillérentes applications, j'ai cru devoir en développer toute la théorie dans ces Leçons, en y joii^nant des considérations nouvidles el des détails histori(jues qui peuvent l'aire plaisir aux analystes et sei-vii-ii l'Iiistoir»' de cette partie des Mathématiques.

(^j OEuvrcs de Lai^mw^v, l. 1\'. p. 1 cl p. 58;").