LEÇON DIX-HUITIÈME

DIGRESSION SUR LES ÉQUATIONS AUX DIFFERENCES FINIES, SUR LE PASSAGE DE CES DIFFÉRENCES AUX DIFFÉRENTIELLES ET SUR l'iNVENTION DU CALCUL DIFFÉRENTIEL.

Les premiers auteurs du Calcul tlitrérentiel, Barrow et Leibnitz, out considéré les quantités variables comme croissant par des différences infiniment petites, et ont inventé les équations différentielles pour déterminer les rapports de ces différences. Comme la supposition des quantités infiniment petites répugne à la rigueur de l'Analyse, on a considéré depuis les accroissements des quantités variables comme finis, et l'on a formé, à l'imitation du Calcul différentiel, un nouveau Calcul pour les différences finies, dans lequel les résultats sont rigoureusement exacts. Ce Calcul, dont Taylor avait donné la première idée dans son Methodus iiicrcmentoriim, et dont on s'est beaucoup occupé dans ces derniers temps sous le nom de Calcul aux différences finies, sert h trouver la loi des termes consécutifs d'une série ou progression dans laquelle on connaît l'expression ou la formation du terme général, et réciproquement à trouver l'expression du terme général, d'après la loi des termes consécutifs.

Mais nous observerons que, dans ces recherches, la considération des différences n'est point nécessaire comme dans le Calcul différentiel, et que leur emploi peut même être plus incommode qu'utile, parce que la suppression des termes infiniment petits, qui produit la simplification du Calcul différentiel, n'ayant point lieu dans les différences finies, il arrive souvent que les formules en différences sont

DKS FONCTIONS. 200

plus compliquées que si elles eoiileiKiienl iiiiiiiédiiilciiieiil les leiiiies successifs eu\-mèuies.

D'ailleurs l'analoi^ic! (ju'un a cru pouvoir élaMir entre le Calcul aii\ (liU'éreiiees iiiiiiiiiueut petites et le Calriil aux. (liflerences finies esl plus apparente (juc réelle, niali-ré la conforinité de quelques procédés et de quehpK^s résultats; car, dans eelni-ei, on eonsidi-re les différents ternies de la progression comme représentés |)ar nue même l'onclioii de quantités diirérenles d'un (ei-me ;i l'aiilre, el les é(|(ialions anx différences finies ne sont que des équations entre ces mêmes fonctions: au Heu que les équations difîérentielles, ou aux différences inlinimeni petites, sont essentiellement entre des fonctions ditTérentes de la même varial)le, mais dérivées les unes des autres par des règles fixes et nuiformes.

Les équations aux différences finies ne sont autre cliose (|n'nne suite d'équations semblables entre différentes inconnues, pai- les(juelles on peut toujours déterminer successivement chacune de ces inconnues.

Mais la loi uniforme qui règne entre ces équations fait (ju'on |»eut regarder leurs inconnues comme formant um' suite régulière et susceptible d'un terme général, et l'expression de ce terme donne alors la résolution générale de toutes les équations.

Ainsi le Calcul qu'on a nommé aux différence s Jii des n'est proprenn-nt que le Calcul des suites, et ne peut être assimilé au Calcul diliereutiel, qui est essentiellement le Calcul des fonctions dérivées.

Mais on a pensé que la considération des différences finies pouvait conduire à celle des dilTéi'cnces infiniment j)etites, et (|ue le Calcul aux différences finies conserverait toute sa rigueur, en devenant Calcul différentiel, par l'omission des termes infiniment petits. Kl de là est née la méthode des limites dans laquelle on regarde le rapport des différences infiniment petites comme la limite du rapport des différences finies, et les équations différentielles comme les limites des équations aux différences finies.

Je ne disconviens pas (ju'on ne puisse, de cette manièi'e, démontrer la légitimité des résultats du Calcul difTérentiel ; mais, (|uoique cette

marche paraisse directe et naturelle, le passage du fini à l'infini exige toujours une espèce de saut, plus ou moins forcé, qui rompt la loi de continuité et change la forme des fonctions.

Ayant réduit, comme nous l'avons fait, le Calcul dillcrciilicl à ses véritables éléments, les fonctions dérivées, et l'ayant ainsi entièrement séparé du Calcul aux différences finies, nous avons cru devoir dire deux mots de la nature et des usages de celui-ci, qui n'est, ;i proprciiKMil parler, (jue l'analyse ordinaire appliquée à une suite de quantités (InOii suppose dépendre d'une même loi.

Soil une suite de (juantités

(jiii i'é[)()iident à ces quantités en progression arithmétique

Désignons, en général, un terme quelconque de la première suite par r, et le terme correspondant de la seconde suite par^-; désignons de plus

par y, y, y, ... les termes qui, dans la première suite, suivent le terme r, et qui répondent aux termes