X -h i, X -r- -2. i, X -h 3i, ... de la seconde
Enfin, désignons, pour plus de simplicité, [)ar les caractéristiques
A, A', ... les différences premières, secondes, . . . des termes de la pre-
mii're suite, de manient que l'on ait
A l'égard de la seconde suite, il est clair qu'on aui'a A^ = i et A-x:=o, ....
C.cla posé, supposons d'abord que la première suite soit formée de la seconde [)ar cette loi très simple
X = ax,
(i étant un coefficient constant pour toute la suite.
l)i;S l'ONCTIONï^. :>TI
On ;iiira i\i\i\c aussi, en cliaiii;!';!!!! >' en >' cl .r en .r + /, Irijualiuii
f't, coiiiiiic les deux ('(|tiali()iis doivent avoir lini en nirnif Icnips, on pourra, si l'on vciil, en cliniiiicr la conslanlc a.
liclranclianl, pour cela, la prcniière de la seconde, on aura
y — y=z ai ou Aj ai, iWm l'on lire
donc, substituant celle valeur dans la première, elle devien(Jra La première équation
y = ax lionne le terme général de la suite; l'autre équation
donne la loi enti'c les termes successifs ; car, puisque
on aura
yz=y'-\ — ■- ou rr=r — ^: - .>■
Réciproquement, on voit (jue, cette loi des termes étant doniu'c. le terme général sei'a nécessairement
yr-:ax,
a étant une constante arhiti'aii'c, et il est lacilc de s(^ convaincre (jiu' cette expression de y en x est la plus géiu'rale qui puisse repondre à l'équation au\ dillerences
Si la difîéronce / de la progression arithiiKiicjiie (icveiiait iiitinimciil petite, la dilTérence eorrespondante Av deviendrait infiniment petite
Ar aussi, et leur rapport -^? que nous avons vu être égal à la constante
arbitraire a, serait toujours le même. Dans l'infiniment petit, ce rapj)ort devient égal à la fonction dérivée j', en regardant y comme fonclion de .r, et l'équation devient alors
y — xy',
(|ui est l'équation dérivée dont
y=^ ax
est l'équation pj'iniitive, a étant la constante arbitraire. Supposons maintenant cette loi
j'= ax H- a-,
(|ui n'est guère plus compliquée que la précédente. Ou aura donc aussi, en changeant y en y et x en x -h /,
y z=^ ax -\- ai + a- ;
retranchant la première de celle-ci et mettant Ay pour v -^ y, on aura
Aj = «/, d'où l'on tire
et, substituant cette valeur à la place de Y/, on aura
X Ar Ar-
équation aux différences finies, et qui est indépendante de la constante a.
La première équation donne donc l'expression du terme général, et h( seconde donne la loi entre les termes successifs, de manière que, cette loi étant proposée, on aura, par la première, le terme général avec une constante arbitraire a.
DKS FONCTIONS, -HW
l/;iii;iivs(' |)n''C(''(l('iil(' suppose (jnc la (|iiaiilil('! (i csl iii(lr|»ni(laiilc (le .r, j)iiis(|ircll(' (Iciiiciiir la iik'miic dans les driix <''(|iialii)iis siirrcssivcs; mais, si elle (h-jx-iidail de r, de iiiaiiiiMc (juc les deux <'(|iiali()iis (Missent iiéaimioiiis la iiièiiie Iniiiie (|iie dans le cas oii (die est eoiislanle, il csl (dair (|iie ré(jiiali(>n aux dillereiices, (|ni residie de ces deux e(|iiali()ns |»ar ridiiiiinalioii de a, serait encoi-e la iiH'Mie; |)ai' (•()iis<''(jiieiit on aniait pins d'une (''(|nation en .r et v pour la nn-nie é'tjuatioii aux dill'eiHMK'es : c'est le princi[)e qui donne les e(jualions primitives singulières, comme on l'a vu dans la Leçon quatorzii'me.
Supposons donc, en i^i'in-ral, (jue la (|uaiitit('' a, (]iii icjxind a .r, devienne (I, ((, ... lors(|ue .r devient .r + /, .r + y,/, ... ; les deux e(juations successives, dont l'une rt'pond ;i x et l'auti'e à a* -f- /, seront
y = ax -\- (i-,
Il ^ I
Oi', si l'on suppose que les (jnantil(''S (( et a soient l(dles (jue l'on ait
la seconde ('(juation deviendra
y^= alx -+■ i) -r- a-,
comme dans le cas où a est suppos(''e constante; par eonsé(|uent, on aura également, par reliminalioii de a, r(''(|uation aux dillérences
Il s'agit donc de trouver h; terme gén(''r;d de la si'-rie dont les termes
consécutifs <^/ et (/, r(''j)ondant à d- et a- -ht, ont entre eux la iidation (l(''termin(''e par l'éipiation ci-dessus, (pii se r('Mluit ;i cette l'orme
(('- — a--\- [x -\- i) {(i — rt ) = o ,
et (jui est, comme on voit, du geni'e des ecjualions aux dillérences. X. 3">
Cette équation se réduit à
[rt 4- rt + I X 4- / )] (« — a I =: o
et se décompose, par conséquent, en ces deux-ci, « — rt = o, a + n -^ X -\- i = o. La preuiifM'e donne
et, par conséquent, a égal à une constante quelconque; c'est le cas (|ue nous avons supposé d'abord.
La seconde don?ie une relation entre a et a, d'après hujuelle il faut trouver le tej-ine général.
Pour siniplitier cette équation, je suppose d'abord
a =i H -^ mx + n, m et // étant des constantes et a une nouvelle variable; j'ai
c< z= M H- m (^ + /) H- n, et l'équation devient, par ces substitutions,
où je peux l'aire disparaître les termes indépendants de u. Je fais donc
■1 m -i- 1 =r o et '2 « -f- ( m H- I ) i = o,
ce (jui donne
de sorte qu'en faisant
l'équation se réduit à cette forme plus simple
u -^- Uz= o.
DES FONCTIONS. OT'i
J'observe ii);iiii(('ii;iii| (jn'cii sii|»(m)s;iiiI
a := br' ,
If n /• (''t;int (les constantes, on ;i
u = bi-^'-i, t'I l;i siihslitulioii donne
br'^^i + br'-=u,
t'(|uali()n (livisil)l(' {);iiA/', et (jni donne
r'+i = o, d'oii Ton tire
/*' = — I et /•=(—!)".
Ainsi l'expression
U=:b{-iy
snlislait à lÏMjuation avec la eonslanle arhilraire A. Kn ellet, en >u|>|m>sant cette éqnation en. // et j% ponr l'aire disparaître la constante //, on prendra l'équation successive
et. éliminant h, on aura
ecjinition proposée.
Donc l'expression générale de a sei-a
et cette valeur, substituée dans l'expression de r, donnera nn nouveau terme général avec une eonslanle arbitraire A, (|ni satisfera éiialenienl à la même équation aux dillerenees
Pour facilitci' celte sul)sliliili(iii, je mets l'expression (loinire de y sons celte forme
et j'y substitue, pour <7, la valeiii' qu'on vi(Mit de trouver; il vieni celle nouvelle expression de y
fJ 4
Comme h est ici une constante arbiti'aii'c, on peut aussi la l'aire disparaître par ré(iuation successive, dans la(]uelle .r devient .i -h /, et v devient r' ou )'H-A)'; on aura ainsi
^• + Aj
à cause de
Retranchant de cette équation la précédente et observant que la différence des deux carrés est le produit de la somme par la différence des racines, on aura tout de suite
ir = ib
d'où Wm lii'c
b[-iy = -f- -^ H -;
et cette valeur, substituée dans la première é(juation, donne ré(|nali()n
aux différences
Ay x\- X-
savoir,
X \r Ar-
(jui est la même valeur (ju'on avait trouvée dans le cas où d était la constante aj'bitraire.
DES FONCTIONS. iTT
Si m;iiiil('ii;m( on suppose (|ii(' l;i (lill'ci'ciicc / «Icviciiiic inrniliiicnl petite, la (lillereiice eoi'i'espoii(Iante A\' le dexieiidra aussi; mais leur
raj)poi'l -.- ■ (|ui, dans le picnner cas, est éi;al ii <( et, dans le second,
est éij;al à h[ — i)' — - — j-) demeurera lini; ee nippoil devient alors
la (oïietion dérivée de v, re^ardéo eoinrne fonelion de r, et ré(|nation an\ dillereiiees devient, par consé(|in'nt,
(|ui est, en ellél, ré(jnalion dérivée dont la primitive est
jz= ax + a-,
(i étant la constante ai'hitraire.
Car, en prenant les fonctions dérivées, on a
et, substituant cette valeur, il vient
Mais que devient alors la seconde expression de v (|ui conlieMil la constante arbitraire h'I
Suivant les princip<'s des infiniment petits, le ternu- — - doit être
rejeté vis-à-vis du terme tini b[— i)'; ainsi on aniail simplement
a cause de
Mais cette valeur de y ne satisfait pas à réijualion dérivée, à moin^ (]iron ne suppose
car elle donne
Faisant la substitution, on a
et, pai' conséquent,
Ainsi il faut dire (juc le passage du fini à l'infiniment petit anéantit non seulement les quantités infiniment petites, mais encore la constante arbitraire.
Au reste, en faisant 'expression
devient une valeur singulière; car, en prenant les fonctions dérivées rcdatives à a dans l'équation primitive
y ^ ax + a-,
on a
X + ia^= G,
d'oii
et (1(! là
Ainsi on peut regarder aussi la seconde expression de y comme une valeur singulière du terme général; mais, comme elle conserve la constante h tant que les dilTérences i sont finies, il est clair qu'elle a la même généralité que la première, en sorte qu'on peut supposer que la valeur i\c y soit donnée lorsque ^ = o, ce qui n'a pas lieu pour les valeurs singulières des équations primitives ordinaires.
Keu Charles, de l'Académie des Sciences, est le premier qui ait fait cette remarque importante, qu'à une même équation aux différences finies peuvent répondre deux équations intégrales ou sans différ<'nces.
ayant chacune niio conslaiitc ;irl»ilrair('. [Wnez les Màiiolrrs de vv[W Acadcniic jxxir l'iinnce 1783.)
Afais les C()nsc(jucnrrs (|iril ;i voulu eu lir'cr dans la suite (Mémoire de i7.S8\ ndativeinent aux intégrales des équations dillerenlielles, sont tout à lait illusoires; elles |)rouvent seulement (pTon ne peut pas appliquer imuiédiatement à rinliniinen( petit propremciil dit les résultats trouvés dans la supposition du fini, et (jue, dans le passai^c du lini a l'infininient pelil, il l-iut sii|»|irinier entièrement tous les termes qui |)euvent contenir rinliiiiiucui pelil, quoique ces termes |)uissent n'être pas eux-mêmes intiniment petits.
Ainsi, dans la loriunh;
le ternie h{— 1)' ne devient j)as infiniment petil par la supposition de i infininieni jx'tit; néanmoins, ce terme contenaiil la dillérenee /, (jui devient infiniment petite dans l'équation diiïerentielle, doit être supprimé pour avoir un résultat exact. En effet, en ellaçant loul ce qui contient f dans l'équation précédente, on a simplement
comme cela doit être pour satisfaire à l'équation dérivée.
La raison en est que, dans le passage supposé du fini à rinfiniuinii
petit, les fonctions changent réellement de nature, et que le ^-^ (|U(.n
emploie dans le Calcul différentiel, est essentiellement une l'onction différente de la fonction v, tandis que tant que la différence d.v a une valeur quelconque, aussi petite qu'on voudra, cette (juantité n'est (|uc la différence de deux fonctions de la même forme; d'où l'on voit que, si le passage du fini à l'infininient petit peut être admis comuM' rnoven mécanique de calcul, il ne peut servir ii faire ronnaitre la nature des équations dilférentielles, qui consiste en ce {|u'elles donnent des raj»ports entre les fonctions primitives et leurs dérivées.
On |»('iil IroLivei* (l'uiu' autre manière les mêmes expressions de v (jiii salisloiil il ré(]iialioii aux dillerences
Vj\ preiiaiil ré({uali()n successive qui répond à .r -+- /, on a aussi
' (.r -f- /) A)- Ar-
r= r— + ir'
niais
r = r + Aj, A/ = A/ + A -^ j- ;
donc, l'ctranclianl la ])i'('niière équation de la seconde, on aura
Ar = ^ — .^ 4- Ar + A-^ v -\ -^.^ • h r^,
savoir, en nuiUi])lianl par / et réduisant,
■2Ar A-r\ .^
e(|nation (}ui se décompose, comme l'on voit, en deux,
. ., . p Ar + A-r
A- r = o ei X -{- i -^ — = o,
La prcnjièrc^ donne tout de suite
Ak = à une conslanle; faisant cette constante = ai, on obtiendra
Aj = ai;
substituant cette vab'ur dans l'équation aux différences, on aura, comme
plus baul,
j-=z ax H- a'-.
lU'leiions maintenant la supposition
Ar = «/,
mais en regardant a comme une v;iii:il»lc (lr|>cii(l;iiiic de .r; on ;iiii;i
^y--- ai cl A- r - {n — n] i\
donc raiilrc r(|iia(i(Hi dcviciidi;!
(jui es! la même (|ti(' nous avons Iroiivrc pins liani, cl d'on nous avcnis tiré
On aura donc
Ar=/
hi
et, comme l'équalion an\ diflerences pcnl se nicllrc sons la hninc
la substitution de celle valeur de Av donnera
=^-''-ir-f
comme pins liant.
Cette manière de trouver la seconde expression dv v rcvicnl ;i hi méthode (jne nous avons exposée dans la Leçon \V1, poni- les c(| nations primitives singulières.
En supposant / infiniment petit, les valeurs de (t cl a, (jui iep(»ndcnl à .T et .r H- /, ne doivent dilTérer l'une de l'aulrc (|in' d'iine (|nantilc infiniment petite; par conséquent, par le piincipc (\i'^ inlininicnl pelils, l'équation
se réduit à
ce qui (l(»nne
(i'oti l'on lii-c
l'oiiiiiit' (hiiis le cas de
Imi cllet, l"('\j)i'('ssi<)ii (le (/
doiiiu', relativriin'iil ;t .r -f- /,
où l'on voil (|ii(', dans le cas de / intiniiiiciil petit, la diiïei'ence entre (t et (i detneui-e finie tant qne la constante A n'est pas nnlle.
\']\\ liénéral, soit
r("(]nation par laquelle le terme général y est déterminé en fonction de .r-, (t étant une constante qnelconqne.
Cette équation est censée avoir lieu également pour les termes successifs V, V, ..., qui répondent aux valeurs successives .r + /', a -h y/, ...
de r; ainsi on aura
et l'on ponria, par la cond)inaison de ces deux équations, éliminer la constante (f.
On aura, de cette manière, une e(|nation sans r/, mais (|ui sei'a en .r, y el y. et, si ;i la place de v on substitue v -+- Av, l'équation sera en •r, y et Av; ce sera alors proprement une c(jnation aux diU'éi'ences prcmiéi'cs.
De même, si l'équation du ternu' général renfeime deux constantes
(i el />, connue
on poui'ra faire évanouir ces deux constantes |)ar le un>yen d<'s deux équations successives
F X -f /, j, a, b . =z o, F(x + w*,^*, a, b -rzz o.
l)i:S FONCTIONS.
l/('(|ii;ili()ii icsiilhiiilc s('i;i ;iI(MS mire .r, v, >' et i', <»ii liini nilif les (|ii;iiilil('S .r, r, Av cl A" r, en Mllt>^l il ii;iiil v H- A v poiii- \, et r+2A)'-hA'-r jtoiir v; ce sera doin- iiiir ('(jiialioii aii\ diUciciiccs sccdiiilcs, cl ainsi Ai' miiIc.
Donc, rcci|u'()(|iiciiiciil . loiilc c(|iiali()ii aii\ «lillciciiccs |ii'ciiiilTcs, on cnirc (lcn\ Icrnn'S sn('cc>sirs, (•(nn[i(nlcia une conslanlc ailtil taire dans rcciinilioii (In Icrine i^cncral; Innic c(|na(i(Mi an\ dillcrcnccs sci-oiidcs, on cnIrc trois termes snceessirs, eoin|)(n'lei'a den\ eonslanlcs ai'bitraires dans reqnalion du terme i^énéral, et ainsi de suite.
On peut, en circt, se eonvaiiH-rc (|ue e(da doit èti'c, par la nature mcnu' (U- ces (Mjnations.
(Considérons, par exemple, nue é(|uation (|ind((MU|uc anx dillcrcnres premières entre .i-, r et >', et su[)poi;ons (pi'avanl tiré la valeur de vmi ait
Comme la même é(|natiou doit avoir lien dans t(uite retendue de la série, en faisant sneeessivement
la varial)le V deviendra V, V, r, V, ..., et v deviendra en menu- tenip>
Ainsi l'équation proposée donnera cette suite d'é(|uations
r=/(0'/)' r=f[i^y\ r^^fi^ï^r)^
Doue, substituant sneeessivenu'ut les valeurs précédentes, Ions les termes y, v, y, . . . seront donnés par le premier lei'ine v. et un teiine
quelconque v, répondant à .r, sera donné eu .r et v.
Ainsi rex{)ression du ternie i^éiHual contiendra nécessairement la valeur arbitraire et constante du premier terme v.
Si l'équation pi'oposée était anx dillcrcnccs secondes ou entre les lermes successil's )', v, v, (Ui pourrait en tirer la valeur de v, et l'cm
aurait
Donc, l'aisant suceessivcîment
jc = o, i, ?. /, 3/, . . . , on aurait
(le sorte qu'en substituant toujours les valeurs précédentes on aurait
les termes y, y, y, ... donnés en y et y; par conséquent le terme ge-
néral y répondant à x serait exprimé en x, y et y, dans lequel y et y ont des valeurs arbitraires et constantes.
Et ainsi pour les équations aux différences plus hautes.
On voit par là que le nombre de constantes arbitraires qui doivent entrer dans l'expression complète du terme général est nécessairement égal à l'exposant de la plus haute différence qui entre dans l'équation proposée; d'où l'on doit conclure que toute expression du terme général qui satisfera à une équation aux différences, et qui aura autant de constantes arbitraires que cette équation en admet en raison de l'ordre de ces différences, devra être regardée comme complète, de quelque manière qu'on y soit parvenu.
Mais la même équation pourra encore être susceptible d'une autre expression générale, qui répondra à ré([uation primitive singulière, et (ju'on pourra trouver par les mêmes principes.
(An\ si
est l'équation qui donne l'expression générale de y en x avec la constante arbitraire a, on aura l'équation entre les termes successifs y et y, ou y et y -h Ay, en éliminant a des deux équations
et le résultat de cette élimiiuition, qui sera l'équation aux différences.
DES FONCTIONS. iSo
sera la iiirinc, soil (|ii(' la (iiiaiilitc (i soil une coiislaiid' on une (|Nanlil(/ (l(''|)('ii{lanl(' (Ir .r, |M»uiNn (juc, dans ce cas, elle soil Icllc (\\\r Ton ;iiL
F f .r ■+■ / , r , « ^ ----- F ( ^ -4- / , ) -, rt .
(lelle é(jiiali()n, élanl drlivrée des Iraelions cl des radicaux, sera Ionjours divisiltle par c/ - /^/, |>nisqn'en elï'el <^/ <-/ sal isj;)!! ; cl il csl c|;iir (|U(î celle racine donne d égal ii une conslaiile, coninie (Ui TiiNail supposé d'abord .
Si l'équalion ne cou lien I les (|nanlilés <^/ cl mpi'ii la prcmii-re diincnsion, le résultat de la division ne conlicndia plus ces (juanlitcs; ainsi
sera la seule racine, et il n'y aura alors (|iruiie seule expression du terme i>éiiéral.
Mais, si ces mêmes quantités forment plusieurs diniensions dans ré(jiiation dmil il s'aj^it, (dles s'y trouveront encore apirs la division par (i —(f, cl l'on aura une nouvelle équation entre (f cl r/, (|ui sera, pai- <>onsc(juent, aux dillerences premières par rapport ;i la variahie n, et (jui pourra donner encore une ou plusieurs valeuis de a avec de nouvelles constantes arbitraires. C'est le cas de réquation (|iic ikuis avons considérée ci-dessus.
En regardant a comme une fonction de .x-, a (jui répond à x ~t i deviendra, par le développement,
a^= a-\- la -\ « -f- . . . ,
et la fiHiction F(.r, v, a) deviendra aussi
par conséquent, l'équation en a cl (t deviendra
/rt'F'{<T!)4-. ..= o.
J.orsque l devient inlinimcnl pclil, les termes «[ni contiennent /-.
/•'. ... (Icvaiil (Hre négligés vis-;i-vis de ceux (jiii ne coiilicniicnt que /. rt'(|ii;i(i()n précédente se rédnil ;i
ia' V \n: ^ <>, l:i(|ii(dle donne
rt, ();u' ('()nsé(|nent, a constanle, on
F'(rt) = (),
d'oii Ton ùvv (I en l'onelion dear-; c'est le cas des éqnations primitives singniières.
Dans ce cas donc, re\|)ressi(ni de <i lU' j)ent pins contenir de conslaiile ;irl)i(raii'e ni dépendre de la (jnantité /; pai' conséqneiit, il Tant (|ne les ternies qni renfermeraient / dans l'expi-ession générale de a, tirée de l'éqnation en d et (i, disparaissent absolnnient dans le cas de / intiniment petit, (jnaiHl même ces termes ne devieiidi'aient j)as alors infiniment petits, comme nous l'avons vn dans l'exemple précédent.
La plupart des formules qu'on a trouvées par la considération des diflerences finies, et qu'on a ensuite traduites en Calcul difïerenlitd, j)résentent des dilBcultés analogues dans le passage du fini ;i rintiniment petit, et (]n'on ne peut lever (jne par le même principe de i'ejet<'r indislinclenient des Ibrninles finies tons les termes qui contiendraient des différences inlininn'iiî petites, de quelque maniéic que ces diflerences s'y trouvent contenues.
Ainsi, par exemple, on a, en employant les diflerences successives,
' // tf/
y = .>• -f A) -, j;-- = j- + 2 Aj + A- ) ■, j =: j + 3 Aj' + '3 A- j • + A-' j-,
et, en général,
"' . m [m — Ti , uiini — \][m — ?. 1 .
c'est l'expression du terme //i'""' (jui répond au terme ^r + /;// de la
série x, x -f- /, ,r + a/, ....
Si donc on fait
nii = w,
DES FONCTIONS. iST
le Icniic rr|M)ii(l;iiit à -x- -h o sera, par la siihsl iliilidii de '.' an lien de ///,
Ak 0) r,\ — / 1 A- r '.» I ^) — / j I 0» — 9. / ; A'' y X -i-f.}~ -\ ■- -^ H ^ 4 ^ -^ -f-
(Ictlc loiliilllc, (li)llll(M' (TalMiid |»ar Xcwloil ii la lin do l'ilticincs. |»t»iir riiil('i'|»(darMUi des lieux des coiiii-lcs, a rlr ciisuilc apitliiiiicc par Tayloraii «-asoii, les dillerciiccs / dcvciiaiil iiiliniiiiciil |M'litcs d ('Lialc-it <l.v, les dillrrcnrcs \\\ A" >', . . . drviriiiiciil r/r, c/-' v, ....
Alors, (Ml iK'i^liiicaiil les Icriiics /, >/, W, ... vis-;i-\is de o>, on a la
loriniilc
dy (ji- d'-y o)' c/ ' r •^ f/x- 2 f/x- 2 . i r/.r»
(jui cxpriiiic la valeur de ce (juc devieiil v l(irs(|iie .r (le\ ieiil .r ^ r.j.
C'esl la lormiile coiiiiiie sous le nom de l/icoir/nc de 'l'uylor.
Geppudaul, eouiuie les coelïicieuls de / dans les fadeurs sn('eessir> de la |>reniif're torninle V(nil en aui^inenlanl conl inindlenienl . il e>l visible (|ne, (|n(d(|ne pelit (jue soil /, il se Ircnivera a la lin nmlliplie par un eoellicienl si i;i'and, (|ue sa valeur poni'ra devenir eoiuparalde a ('<dle de <■), el ne pourra plus èlrc, sans erreni", néi.;lii;ée vis-;i-vis de (■(die-ci. Mais la suppression de tous- les multiples de /, (pi(d(|ue i:rand> ipi'iis soient, est néanmoins commandée par la nalni'(! de la cliose, alin (|U(! les (juantités -^? — rj-, ••• cessent d'élre exprimées par les dille-
rences finies des (pianlités y, y, y, ..., (|ui son! des loin-tions seml)lables (le .r,.r-^i, .i- h- •>/, ..., el devienm'nl siniplemenl les fonctions dérivées y\ v", . . . de la même fonction v.
l'Ji (dfel, la (|uantité V étant rei^ardée comme une fonction de r. la formule doni il s'agit doit donner la même fonction de .r -h cj, cl n(tus avons denumlré, d'une manif're directe et rii^onreuse, <|ue cette fonction, dév(doppée snivani les puissances de (.), est cvactenu'nl éi^ale ;i la série
La formule des sinus des arcs multiples s'appli(|ue de la même ma-
nière au développement tles sinus par l'arc et est sujette aux mêmes
difficultés.
En effet, on a, comme on l'a vu dans la Leçon X,
sinmx = m cos'" ^ x sin^r ^ r, cos"'~=' j: sin' j:^-
H i '■ , ^ -^ cos'«~-^ :c sin-' ^ — . . . .
Supposons .!• intiniment pistil et ni infini, en sorte que mx ait une
valeur finie z\ donc m = -1 et les coefficients
deviendront, en rejetant vis-à-vis de z tous les multiples de oc, quelque grands (|u'ils puissent être,
D'un autre côté siuj:- se réduit à ce, et cosa? à i; donc, faisant ces substitutions, on a
sin r = z —
formule exacte et rigoureuse, comme nous l'avons trouvé par les méthodes directes.
Ce n'est pas seulement dans le passage des différences finies aux différentielles que les fonctions changent de forme ; cela a lieu aussi dans plusieurs autres circonstances, et nous allons faire voir, par différents exemples, que l'analyse indique toujours et opère ce changement par des expressions qui détiennent alors zéro divisé par zéro.
Considérons d'abord la différentielle d/(x). Suivant les principes rigoureux du Calcul des différences, on a
et, par conséquent,
df[x) f[x-^dx)-f{x\ dx dx
DES FONCTIONS. iHU
/ ' ■ , I , (l fi X ] , . o , ,
(j'ilc \al('Ui' (If -^-7 (Icviciil - l()i'S(|ii(' (ir o; |)()iir savoir ce
