IX

(jirt'llc doit Oin' dans cccas-lii, on siiivi'a la ri'glc exposée à la lin de la Leron VIII, cl (pic nous avons dc-duitc dr principes indépendants du (lalcul dillérenlicl.

On prendra donc les fonctions d(''rivécs du mniK-ralciir et du dciiomiiialciii" ((dalivcs à la variable (/v, et l'on y l'cra ciisnilc

(Ix = o.

On aura ainsi /'(.r + dr), el, laisanl dx- — o, ou trouvera y'i^.rj [)our

la valeur de —j — 1 lors(jue

Cette valeui' est, coinuie l'on voit, la Uièuie (juc c(dlc (]iic donne le Calcul dillérentiel, comme nous l'avons observé à la tin de la Le- ("on H.

Si l'on considère de même les difiercnccs secondes, on a d'abord rigoureusement

d- f[x] =^f[x -+- idx) — 'i.f[x H- dx) +f[x];

d(Hic

d- f[x) flx -\- odx) — -ifix H- dx) -\-f{x]

dx- dx^

En Taisant

dx = o,

d- f x] . o cette valeur de — j^— devient -; on prendra donc alors les ronctioii> dx- o ^

dérivées du numérateur et du dénominateur rclativemenl à la variable

d,i\ ce qui donnera

f'{x + id-r) — f'[x -\- dx)

dx

Cette expression devient de nouveau -•> lorsqu'on y l'ait

dx = 0 ;

c'est pourquoi il faudra prendre encore les fonctions dérivées du iininérateur et du dénominateur r(dativement à la même variable d.i \ on

290 LEÇONS SUll LE CALCUL

aiii"a

■?.f" [x-^1 dx ] - /" •^x + dx).

En faisant ici

dx = o,

on a enfin /"(a;) poui' la valeur de / [—' ■> lorsque

dx = o.

(Test, en etlel, la valeur dt; la dillerentielle seconde de /"(a), divisée par dv'-.

On doil conclure de là, en général, que les expressions -7-' 777,' ••-' employées dans le (Calcul différentiel, ne peuvent être prises que pour des symboles des fonctions dérivées r', y",

Nous avons observé plus haut que Taylor n'était parvenu à la formule qui [)orte son nom (jue d'une manière peu exacte. On peut, par b's principes précédents, donner à son procédé toute la rigueur que l'Analyse exige.

Si, dans la forinule générale d'interpolation donnée ci-dessus, on fait

elle devient

fx-^^A=f[x]-\-

dans laquelle

Cette formule est générale, quel que soit /; mais, en faisant