A f\x) \- fix] , . o
les valeurs des expressions --^.^ — '■> — --^ — •,•■• deviennent -•
1 II- o
Or ces expressions sont les mêmes que celles que nous avons considérées ci-dessus, en changeant A en d, et i en dx.
DES FONCTIONS. ocji
Ainsi elles (i('vicini('ii(/'(.r),/"(.r), . . . dinis le cas dr
( )ii a (lune alors
comme nous l'avons trouvé dans la J.eeon (leiixirme, (rune manièie rigoureuse et dinu'te.
On peut coiirlui'e de ce (jue nous venons d'exposeï- (juc ceux (jui, d'après Euler, regardent les dilleicnlielles comme de véritaMes z('tos, et, par conséqueni, leur rapport comme celui de zéro à zéi-o, sont dans toute hi^nigueur de l'Analyse, parce qu'une fonction qui satisCail en général aux conditions d'une question ne saurait changer de forme pour un cas particulier, qu'en passant par l'état de -; comme on neiil le prouver par plusieurs exemples.
On sait que la somme des n premiers termes de la progression geonH''tri(jU(!
est exprimée par
En regardant cette expression comme une fonction de //, on voit ([ne cette fonction est de la forme exponentielle.
Cependant, lorsque
a= I, la série devient
et la somme de n termes est n.
Ainsi, dans ce cas, il faut que la fonction exponenlielle change i\v forme et devienne une simple fonction algéhrique, ce ipii ne peut se faire que par une espèce de saut que l'Analyse indiijue alors par l'expression -•
Kn efï'et, en faisant
nr = r ,
la formuk' ' ~ ' devient -; pour en trouver la valeur, il faut prendre \ — a o ^ ^
les fonctions dérivées du numérateur et du dénominateur relativement à la variable a, ce qui donne nal^~^ et par conséquent /^, en faisant
La fonction primitive de x'\ ou l'intégrale de x"dx, est, en général,
Pour qu'elle commence au point où
il faut en retrancher la constante ? et l'on a alors la fonction
Cette fonction de x est toujours algébrique; mais, dans le cas où
elle devient -^ ce qui indique qu'elle doit alors changer de forme.
Pour trouver la nouvelle fonction, on prendra les fonctions dérivées du numérateur et du dénominateur de l'expression précédente relativement à la variable 71; on aura ainsi, par les formules données dans la
Leçon IV,
x"+^ Ix — ««+' la.
En faisant
on di Ix — la ou /—pour la fonction primitive de —•> comme on l'a
trouvé dans la même Leçon par d'autres principes.
La série
ces" '^sin^— ^ -~ ^cos"~':t: siirx
( n — 1 1 ( n — -2 ] ( /i — 3 ) ( n — 4 ] „ - • ■• + ^ ^-i- — — ces" ■' X sm 'X — . . .
DES FONCTIONS. 2im
csl rcpicsciilcc i;(3n('i"ik'i)i('nt |>;ir ht loiuiioii en simis 5 comme
on le voit par la l'ormiilc lappoilrc |)liis liaul. (!<'!((' fondioii dcviciil - loisiiiic
;iii(|iii'l cas la série se réduit à
sin^ sin''^ sin-'^
delà in(li(nie (jiie la IbiierKHi doit cliaiii^cr de lofiiie dans ce ras; en ellel, si l'on prend, snivant la iri^le, les fonctions dérivées du numérateur et du dénoniiuateur, relativement à la vai'iahle //, la (onetion devient .rcos/?.r et se réduit à la fonction eireulairo r, on faisant
trcst, comme; l'on sait, la valeur rigoureuse de la série.'
lang^ — ^ tang-^x + ^lang'-a; — . . . .
On voit clairement, par ces différents exemples, (|u'il serait aisé
de multiplier s'il était nécessaire, ([ue l'expression - est toujours le
symptôme d'un changement de fonction, ce qu'il me semble qu'on n'avait pas encore remarqué.
C'est })ar les principes exposés dans cette Leçon (|u'on |)eut résoudre, d'une manière satisfaisante, les difficultés qu'on a toujours rencontrées lorscju'on a voulu appliquer à un nombre infini d'éléments les formules qu'on avait trouvées pour un nombre fini quelconque. Le fameux problème des cordes vibrantes en fournit un exemple remarquable, et l'on peut voir, dans les Opuscules Tnathémaliques (t. I et IV), les objections que d'Alembert a faites contre la solution de ce problème, donnée dans le [)remi<M' Volume des Mémoires de V Académie de Turin ( ' % et déduite de la formule générale du mouvementd'un fil chargé d'un luitnbre (jiielconque de poids, en supposant ce nombre infini et eluKjue poids intini-
(') OEuvrcs (le Ltii^'/fingr, l. I, p. 3<j.
29i LEÇONS SUR LE CALCUL
ment polit. Dans la réponse à ces objections, qu'on trouve dans le second Volume des mêmes Mémoires {* ), je me suis contenté de faire voir, par l'exactitude des résultats, la légitimité des suppositions que j'avais employées dans le passage du fini à l'infini; mais la vraie métaphysique de ces suppositions dépend des mêmes principes que celle du Calcul des infiniment petits, sur laquelle il ne peut plus rester maintenant d'incertitude ni d'obscurité.
Nous allons terminer cette Leçon par quehjues remarques sur l'invention du Calcul différentiel.
On peut regarder Fermât comme le premier inventeur des nouveaux calculs. Dans sa méthode de jnaximis et mini/nis, il égale l'expression de la quantité dont on recherche le maximum ou le minimum à l'ex- |)ression de la même quantité, dans laquelle l'inconnue est augmentée d'une quantité indéterminée. Il fait disparaître dans cette équation les radicaux et les fractions s'il y en a, et, après avoir effacé les termes communs dans les deux membres, il divise tous les autres par la quantité indéterminée par laquelle ils se trouvent multipliés; ensuite il fait cette quantité nulle, et il a une équation qui sert à déterminer l'inconnue de la question. En voici un exemple très simple, donné par Fermât.
Soit proposé de diviser une ligne donnée en deux parties, de manière que le rectangle de ces deux parties soit un maximum .
Nommant a la longueur de la ligne donnée et x une de ses parties, a — X sera l'autre, et l'expression dont on cherche le maximum sera ax — X-. Ajoutant la quantité arbitraire e à l'inconnue x, on aura cette nouvelle expression
«(or + e) — [a: + e)-.
Égalant ces deux expressions, on a l'équation ax — x- = a{x -+-e) — [x + e)-, savoir, en développant le carré [x^e)-,
ax — X- ^=z ax + ae — x- — -îxe — e-.
(1) OEuvrcs de Lagrangr, t. I, p. 3 1 g.
DKS FONCTIONS. iU:>
EfTacaiil do j);irl cl (raulic les Icniics coiimiiins a.v -- .r'-, cA divisaiil
les autres piir r, on ;i
où il fiiiit iiKiiiilciiaiil supposer r nul, ce (|iii réduit rt'Mjnalioii à
a — 7.x --= li,
d'oi'i l'on lin;
jr -- -,
ce qui inonlrc (jiie la ligne donné<; doit être partai^éc par le niilicn, comme on le sait d'ailleurs.
Il esl facile de voir, au premier coup d'œil, qu(î la règle déduite du Calcul di(rérenli(d, (|iii consiste à égaler à zéro la difïérenlielle de l'expression qu'on veut rendre un maximum ou un jniuiniuni, pi-ise en faisant varier l'inconnue de cette expression, donne le même résultat, parce que le Fond est le même, et que les termes qu'on néglige comme intiniment petits dans le Calcul difFérentiel sont ceux (jii'oii doit supprimer comme nuls dans la méthode de Fermât.
Sa méthode des tangentes dépend du même piincipe. Dans ré(]uation entre l'abscisse et l'ordonnée, que Fermât appelle la propiiélc spécifique de la courbe, il augmente ou diminue l'abscisse d'une quantité indéterminée, et il regarde la nouvelle ordonnée comme a()partcnant à la fois à la courbe et à la tangente, ce qui fournit une équation qu'il traite comme celle de la méthode de îna.rimis et mininiis.
Ainsi, .r étant l'abscisse et y l'ordonnée, si / esl la sous-lang«Mile ;im point de la courbe (jui répond ;i .r cl v, il est facile de voir (juc les
triangles semblables donnent — — - — — pour rordonnée ii la tangente.
relativement \\ l'abscisse x -\- e, et cette ordonnée doit être égalée ;i celle de la courbe pour la même abscisse .r -\-e. On aura donc rc(|n;ilion dont il s'agit en mettant dans ré(|ualion de la courbe .r -h c ii l;i
place de r, et r -+- " - à la place de r. Celte ccjuation, api'ès les léduc-
tions, sera don<' divisible pai' c: on divisera donc tous les termes pai" c,
cl l'on supprimera ensuite comme nuls tous ceux où l'indéterminée c se trouvera, parce qu'on doit supposer cette indéterminée nulle. L'équalion restante donnera la valeur de t en x et y.
Ainsi, dans la parabole, par exemple, dont l'équation est
y- — ax =: o,
en mettant y h- ^-^ à la place de y, et x -i- e à la place de x, l'équation devient
y- H =^ h ax — «e = o.
Mais
donc, eHa(;ant ces termes et divisant les autres par f , on aura
el, effaçant encore le terme ^—1 qui s'évanouit en faisant e nul, on aura simplement l'équation
t d'où l'on tire
On voit encoi'e ici l'analogie de la méthode de Fermât avec celle du Calcul difFérenticl; car la quantité indéterminée dont on augmente
l'abscisse x répond à la différentielle dx, et la quantité ~— ? qui esl
l'augmentation correspondante de y, répond à sa différentielle dy.
Et il est même remarquable que, dans l'écrit qui contient la découverte du Calcul différentiel, imprimé dans les Actes de Leipzig du mois d'octobre 1684, sous le titre ; Nova methodus pro maximis et minimis, etc., Leibnilz appelle dy une ligne qui soit à la ligne ar])itraire dx conmie l'ordonnée y h. la sous-tangente, ce qui rapproche l'analyse de Leibnilz de celle de Fermât.
On V(til (jiK' F(M'in;it ;i onvcrl la cai rirrc par une idée très originale, mais (III |>('ii oiisnirc, (|iii i-oiisislc ;i iiitroiliiiic dans r(''(|iiali(iii iine iii(i('>l('niiiii('(' (|[ii lioil rire iiiillc par la iialiirc de la (|iir>(i(iii, mais qu'on lie lait évanouir (|ira|»r('s aM)ir (li\isi' loiilc ré(j!iatM)ii par- rctlc même (juantité.
(Icllc idée est dcveiiiic le i^crmo des nouveaux calculs (|ui oui fail l'aire tant de proi^rès à la Géométrie et à la Méeaiii(|ii('; mais on peni dire (iiTelle a porté aussi sou ol)seuri(é sur les principes de ces calculs.
Mainlcnaiil (luOii a une métaplivsi(jiie lueii (daire de ces piiiici[)es, ou voit (pie la (piantile indéterminée (|ue l'Crniat aj(Mitai( ;i rinconniic no servait (pi'ii loruier la rouclioii dérivée (jui doit être nulle dans le eas du maximum ou minimum, et <|ui sert eu i;éii(''ial ;i dclerniiner la position des tangentes des courbes.
Mais les géomètres contemporains de Fermât ne saisirent point l'espiit de ce nouveau genre de calcul; ils ne le regardèrent que comme un artifice particulier, applicable seulement à quelques cas et sujet à beaucoup de diniciilli's. On peut Noir, dans b; Iroisii-ine Tome des Lctlres de Descartes, sa longue dispute avec Fermât sur ce sujet. Aussi cette invention, (jiii avait paru un peu avant la Géométrie (Xa Descartes, deiueiii'a-t-elle stérile et pres(|ue dans l'oubli pendant près de (juaranle ans; car, si l'on excepte la règle de Sluze pour trouver les tangentes, qui parait déduite de la métbode de Fermât, et la méthode donnée par W allis pour le même objet, laquelle n'est que celle de Fermât présentée d'une manière moins abstraite, cet espace de temps n'ofl're rien qui ait rapport à la découverte de Fermai.
Knfiu Barrow imagina de substituer aux ({uanlités (|ui doivent être supposées nulles, suivant F\'rmat, des (juanlites reidies, mais iiiliuiiiieiil petites, et il donna en \G-j\ sa 3Iétbode des taugenles, (|ui n'est (|iie la construction de c(dle de Fermai, j)ar le uioveu du triangle iiili-
iiimeul petit, formé des côtés e et -yt et du côté inriuimeiit petit de la
courbe, regardée comme un polygone. II donna ainsi naissance au svsli'iiie des iutininienl petits et au Calcul dilléreiiti(d. .Mais ce calcul
n'était encore qu'ébauché, car il ne s'appliquait qu'aux expressions rationnelles, et exigeait le développement des termes, pour qu'on pût négliger ceux qui contiendraient le carré et les puissances supérieures (h's (juanlités infiniment petites.
Il restait donc à trouver un algorithme simple et général, applicable à toutes sortes d'expressions, par le(juel on pût passer, directement et sans aucune réduction, des formules algébriques à leurs différentielles. (Test ce que Leibnitz a donné dix ans après dans l'écrit cité ci-dessus, (|ui renferme les éléments du Calcul différentiel proprement dit. 11 j)arait (jue Newton était parvenu, dans le même temps, ou un peu auparavant, aux mêmes abrégés de calcul pour les différentiations. Mais c'est dans la formation des équations différentielles et dans leur intégration que consiste le grand mérite et la force principale des nouveaux calculs; et, sur ce point, il me semble que la gloire de l'invention est presque uniquement due à Leibnitz et surtout aux Bernoulli.
Mais, tandis que cet édifice s'élevait à une hauteur immense, l'entrée en demeurait toujours mal éclairée. L'emploi de quantités qui doivent s'évanouir d'elles-mêmes, ou qui doivent être négligées en raison de leur petitesse, n'offre à l'esprit des commençants que des idées peu satisfaisantes et, par conséquent, }>eu propres à servir de base à la partie la plus importante des Mathématiques. Pour lever tous les scrupules et dissiper tous les nuages, il ne faut rien faire évanouir ni rien négliger; c'est ce qu'on obtient par la considération des fonctions dérivées.
DES FONCTIONS. -im
IKC.m DIX-NEIÏVIUME.
nr.S FONCTIONS DE DFAX 01' l'LUSIELRS VAr.IAIM.ES ; DE LEUIIS FONCTIONS DEKIVEES. NOTATION ET FORMATION DE CES FONCTIONS.
Nous n'avons encore traite que des fonctions d'une seule variable; car, lorsque nous avons considéré des fonctions de deux ou de plusieurs variables, nous avons regardé ces variables elles-mêmes comme fonctions d'une seule et même variable. Or, si l'on considère une fonclioii de deux ou de plusieurs variables indépendantes, il est clair que cette fonction pourra avoir dilTérentes fonctions dêrivccs relatives aux dillcrentes variables, et (}ui naîtront de la fonction primitive par le simple développement, en attribuant à cbaque variable un accroissement paiticulier.
Ainsi le calcul des fonctions dérivées relatives à une seule variable conduit naturellement à celui des fonctions dérivées relatives à diffcrentes variables, lequel n'est, comme l'on voit, qu'une généralisation du [)r{'mier, et dépend des mêmes principes.
Si les inventeurs du Calcul différentiel l'avaient regarde d'aixird comme le calcul des fonctions dérivées, ils auraient été conduits naturellement et immédiatement au calcul des fonctions dérivées relatives à plusieurs variabb's, et il ne se serait pas passé un demi-siècle entre la découverte du Calcul diflerentiel proprement dit et celle du calcul aux différences partielles, qui répond au calcul des fonctions dérivées relatives à différentes variables. A plus forte raison, au lieu d'envisager ce dernier comme un nouveau calcul, on l'aurait seulement regardé comme une nouvelle application ou plutôt comme une extension du
Calcul dilTérenticI, et l'on aurait, dès le commencement, embrassé sous un même point do vue et sous une même dénomination les dilférentes branches du même calcul, (jui ont été longtemps séparées et comme isolées.
Soit d'abord/(^, j) une fonction quelconque de deux variables x et >', que nous regarderons comme indépendantes l'une de l'autre. Si dans cette fonction on substitne à la fois .r + / à la place de a-, et Y -\- o à la place de y, les deux quantités / et o étant indéterminées, (|u"ensuite on développe la fonction /(.r + /, r + o) suivant les puissances ascendantes de i et de o, il est clair (juc le premier terme sans / ni o sera la fonction proposée /(.r, y), et que les autres termes seront (le nouvelles fonctions de a: et de r, multipliées successivement par /, o, i-, lo, O' , i\ . . . .
Ces fonctions seront aussi dérivées de la fonction primitive /(^,7), et l'on trouvera la loi de leur dérivation en considérant successivement les dérivées relatives à chacune des quantités i et o.
Pour cela, on commencera par supposer qu'il n'y ait que la variable x (|ui devienne œ -+- i, la variable r demeurant la même, et l'on développera la fonction /(j:' H- i,y) comme une simple fonction de ao. On supposera ensuite que, dans les fonctions dérivées relatives à œ, la val'iable y devienne j + o, et l'on développera chacune de ces fonctions comme des fonctions de r, en regardant alors la variable a- comme une constante.
Il naîtra ainsi, du développement de /(.r + /, y + o), diflerentes fonctions dérivées de la fonction primitive /(£c,j), dont les unes seront relatives à la variable œ, les autres seront relatives à la variable y, et d'autres enfin seront relatives en partie à la variable x et en partie à la variable y, la loi du développement étant toujours la même, mais appli- (juée successivement aux différentes variables.
Mais, pour ne pas confondre dans la notation ces différentes fonctions dérivées, on pourra dénoter les fonctions dérivées, relatives à la seule variable x, par des traits appliqués, comme à l'ordinaire, à la caractéristique de la fonction, et suivis d'une virgule; les fonctions
dérivées rclalivcs ;i la variable v, |>ai- des (rails a[)|)li(|iiés îi la riiriiic faractérislicjiic, mais précédés d'uiu! virgule; eiiliii les ronelioiis dérivées relatives en partie ;i la var'iaide .r et en jiai lie ;i la variaMe )', par des traits séparés par une virgule, de luanicrc (jue ceux (jui pi-éei'deni la virgule se l'apjjortenl ii la variable Xy etceux(iui la suiveut se rapportent ;i la variable v.
('<'tte n()lali(ui conserve mieux ranab»L;ie cpii doit réi;nei' eiilre les fonelions dérivées et la l'onction |)rimilive /"(.r,!'), dan^; la(|Melle la virgule sépare les deux variables indépendantes .a? et >', (pie c(dle (pie j'avais employée dans la ibéorie des fonctions, en ai)pli(piaiil an bas de la caractéristiqueyles traits relatifs aux fonctions dérivées par rapport ;» la seconde variable y.
D'ail leui's nous trouvons plus convenable d'employer, comme nous l'avons déjii fait dans la Leçon XVII, les traits inférieurs pour désigner les fonctions primitives d'une fonction donnée.
De cette manii'ic on aui-a donc, en premier lieu,
f[x + i,r) =f[x,r) -f- if'^[x,r) + '■^f"-[x,r] + A^f"-{x,r) -h. . . .
Substituant maintenant partout v -i- o à la place de r, on aura
f{x + /,r + o) =f{x,x+o) -f- if''[x,r H- o)
+ Çr- (^.r +«) + :f^.r (-^^r + « ;+••••
Développons successivement les fonctions
f[x,y-V'o], f''[x,y^o], f"'[x,y^o), ... comme des fonctions de r + o; on aura pareillement
f[x, y-^o] =f[x,y] + of''>x,y] -f- jf"',r,y) + ^/'"'.^'r -I- ■ ■ • '
f'-[x,y-^o]=f''[x,y)-^of'-'[x,y] + -f'''\x,y)+..., f"-[x,y+o]=f"'[x,y) + ...,
et ainsi d(^ suite.
Faisant donc ces substitutions et ordonnant les termes par rapport aux puissances et aux produits de / et o, on aura ce développement ('()nij)let
f{x + i,X-ho] ^f[x,Y) + if''[x,y) + of'[x,x)
i-o „„ ,, , lO
dans lequel la forme générale du terme est
Dans ropératiun que nous venons de faire pour avoir le développement de /(^ + /, r + o), nous avons commencé par substituer, dans /■(.T, r), X + i pour iT, et nous avons développé suivant /; nous avons ensuite substitué, dans tous les termes de ce développement, y -h o pour y, et nous avons développé suivant o.
Or il est visible qu'on aurait identiquement le même résultat si l'on commençait l'opération par la substitution de y -^ o à la place de y, et par le développement suivant o, et qu'on fit ensuite la substitution de X H- i pour x, et le développement suivant /.
De cette manière on aurait d'abord les fonctions primes, secondes, ... relatives à y, c'est-à-dire, suivant la notation que nous venons d'em- [)l()ver, les fonctions
Ensuite on aurait les fonctions primes, secondes, ... de celles-ci relatives à x, et qui seraient désignées par
et l'on obtiendrait ainsi la même formule (jue ci-dessus, comme cela doit être.
DES FONCTIONS. 'Mr.]
.Mais il faut l'crnaiwjm'i' (jiic, dans le pi'ciiiifr procrdr, la foiidioii /'''{^ + y), l'L'iative à la l'ois à jc et à r, s'ohlicnl en prenant d'alxiid la fonction pi'iin<' (]o f[x, y) relativement à ^, ce (pii donne/'» (x,v^, et ensiiile la foiiclioii prime de c(dle-ci ndativement ii v, d'où résnite la l'oiiclion seconde /'■' r, y ; e(, dans le second jM'Océdé, la njème lonclion s'(d)lieiit en |)renanl d'ahord la fonction ()rinie de /"(.r, r) rolativenn-nl ;i v, ce (|ni donne /'(.r, r), el ensnile la fonction prime de c(dle-ci rcdalivement il .r, ce (jni donne éi;alement /"'-Y^, y ).
D'où il snil cpTil esl indillej'enl dans cpnd ordre se fasse la donhic opération nécessaire pour passeï- de la fonction primitive/f.r, y; à la d 0 u I ) I e dé ri vée 7 '• '( <r , y ) .
Kl, comme on doit dire la même chose des autres fonctions dérivées dénotées par des traits séparés par une viri'ule, on en peut conclure, en général, que les opérations indicjuées par les traits placés avant et après la virgule sont absolument indépendantes entre (dies, et qu'elles conduisent aux mêmes résultats, quelque ordre qu'on suive en prenant les fonctions dérivées rcdalivement à .r et y, indiquées par les traits (jui précèdent ou (jni suivent la virgule.
Ainsi on aura également la valeur de la fonction déi'ivée triple /"''(j-, j), en prenant la fonction seconde de/{x,y) relativement ;» .v, et ensuite la fonction prime de celle-ci relativement à y, ou en prenant d'abord la fonction prime de/(^, y) relativement à v, et ensuite la fonction seconde de celle-ci relativement à x, ou bien encore en prenant la fonction prime de/(^,7) relativement à .r, ensuite la fonction pi'ime de celle-ci relativement à y, et enfin la fonction piime de cette d(;rni('re relativement à jc, et ainsi de suite.
Soit, par exemple,
on aura les fonctions primes, relatives à -r et y.
La prcinicro donnera, rclativcmont à r, la dérivée
et la seconde donnera également, relativement à .r,
/■■'(x,j) = -— ; eusnite on aura, relativement à x et à ■>' seuls,
La dérivée, relativement à r, dey"'(£c, y) sera
cl la dérivée, relativement à ^r, de/'- '(j:-, y) sera aussi
et ainsi des autres.
A l'imitation de ce que nons avons fait sur les fonctions d'une variable, si l'on suppose (jue la variable :; soit une fonction de (\v\\\. variables x et y, soit explicite, soit donnée simplement par une écpiation (|U(dcon(jue entre x, y et :;, on pourra désigner |)ar
ses dilférentes fonctions dérivées, en appliquant à la Icttic z les traits avec la virgule qu'on applique à la caractéristique /!
Ainsi, X devenant x -h i et y devenant en même temps i' h- o, la valeur de z deviendra
:; + /:;'■ -1- oz-' -A z"-+ loz ■ -i z'" ^ r- ;: ' -\ z ■ ■
cl le Iciino général de cette série sera
^irn.it)
Oii voit (lue les forK'tioiis de deux variables eiii-eiulrenl, par le développement, différentes sortes de fonctions dérivées dont la dérivation répond ;» chacune de ces variables, et (jue ces fonctions déiivées se Ibrnient de la même manière et par les mêmes règles (juc celles (rime seule variable, en considérant chaque variable séparément et successivement; d'où il suit ([ue tout ce que nous avons démontré sur les fonctions d'une seule variable pourra s'appliquer de môme aux fonctions de deux variables, relativement à chacune d'elles.
On pourra donc aussi étendre la théorie des fonctions dérivées aux fonctions de tiois variables ou d'un plus grand nombre; car il ne s'agira (jue de répéter séparément, pour chaque variable, les mêmes opérations, et de les désigner par une notation semblable.
Dans les Leçons précédentes, où nous ne considérions que les fonctions dérivées relativement à une seule variable, lorsqu'il s'est présenté des fonctions de plusieurs variables, nous nous sommes contentés de renfermer, sous la caractéristique des fonctions dérivées, la variable par rapport à laquelle nous voulions avoir la fonction dérivée.
Ainsi, pour ne pas anticiper sur ce qui regarde les fonctions dérivées relatives à plusieurs variables, nous avons dénoté jusqu'ici par /'(a-), f"[oc), ... les fonctions dérivées de/(^, j) relatives à la seule variable ,r, qui, suivant la notation précédente, seraient /''(.r, y), /".(.r,r), ....
Cette manière de noter les fonctions dérivées relativement \\ une seule variable nous suffisait alors, et nous pourrons l'employer encore quel((uefois, pour plus de commodité, pourvu qu'on soit prévenu de son identité avec la notation que nous venons d'établir.
Quoique, dans les fonctions de deux variables que nous considérons ici, les deux variables soient censées indépendantes, et que ce soit même cette indépendance qui produise les différentes espèces de fonc- X. 39
lions (Iri'ivôcs dont nous venons de parler, lien n'enipêelie cependant (jii'on ne puisse i'ei;ai'der ces variables elles-mêmes comme des fonctions d'une autre variable quelconcjue, mais fonctions indéterminées et arbitraires.
Par cette considération, on peut ramener, en quel(|ue manière, la théorie des fonctions de deux variables à celle des fonctions d'une seule, et applicjuer, surtout au développement des fonctions de deux 011 de plusieurs variables, ce (|ue nous avons démontré dans la Leçon XVIII, sur le développement des fonctions d'une seule variable.
Soit :: une fonction de deux variables x et r; sup{)OSons que cbaeuue de ces variables soit elle-même une fonction d'une autre variable /, de manière que z devienne une; simple fonction de /; sous ce point de vue, lorsque / devient / -i- /, z deviendra, par la formule i^énérale (Leçon II),
z + iz H ;; + — -
Et si, dans ce développement, on veut s'arrêter au terme [j."""" (Leçon IX), on aura les limites du reste par le terme qui suivra, savoir.
en mettant / -h / à la place de t dans la fonction zS^'^ et prenant la plus i;i'ande et la plus petite valeur de cette fonction depuis f = o jusqu'à la valeur donnée de /, ou des valeurs quelconques plus grandes et plus |)elites que celle-ci.
Or, X et r étant supposées fonctions de /, lorsque t devient / + /, r et y deviennent, par la même formule générale,
et l'on trouvera les valeurs des fonctions dérivées z\ z", . . . en .r, y, x', y, x", y", . . . par les procédés exposés dans la Leçon M.
Si Vi)\] lie vent ;ivoii' le «lôvt'loppciiiciil de 3 (|ih' |);ti' i"i|)[»oii ;iii\ îicci'oissenKîiits i.i' el iy' <lo .r t'I -»', il n'v ;mi';i (|ir;i supposer .v' et v' • ■onstnnis; pur ronsr(|ii('nt
et x' cl y' poiJiTOMl rd'c des coefficiciils (|ii('l('(»ii(|ii('s.
Si, dans les acci'oissL'mt'iUs de .r et r, on vonlail considérer !(■> dcnx termes
/^-'h Z-", iy -\ >",
on ne l'erait alors qne
et .r', x", y' , y" pouri'aient être prises poni' des constantes (|n('lcoii(jnes, et ainsi de snite.
Soit, par exemple,
on anra, en prenant les dérivées d'après la Leçon VI, et supposant. r',v' constantes,
z' = 2ni[ xx' -\- yy' ) [x--{- y-] "' "" ' , z" = 7. ni ix'- -\- y"-) [x- -+- y^ )'"- '
+ 4 "■' ( '« — I ) ( ^^' + yf ]- [x- -h y-)"'~-, z'" = 11 m I m — i) [x'- -h y-) [xx' + yy' ] [x- -\- y^ "i—-
H- 8 /?i ( m — I ) [m — 2 ) ( xx' -+- yy' ) ^ [x- -{- y- )'"~-'' ,
el ainsi de suite.
Donc, lorsque oc et y deviennent x h- ix', y + iy', ou anra
[{a:-hix')--h[y-hiy)-]"'
:= [x--hy-)"' ^im [xx' -h ry') {x- + y-]'" ~' /
-^[2m{x''--\-y"-] (^- + j- )'""-' + 4 '"(/« — i) [xx'-hyy')- [x- -h y- ]"'-'] . •
Si l'on vent s'arrêter à ces trois premiers ternies, alors, le ternir
suivant étant -^z'", on aura les limites du reste en substituant ^-h/>',
y-f-ij', au lieu de x et de >', dans l'expression de z'", et prenant la plus i>rande et la plus petite valeur de cette expression depuis i = o.
Si 7/1 — 3 est un nonibi-e positif, et que x' et v' soient aussi des (juautités positives, il est facile de voir (jue la plus petite valeur de z'" sera
1-2 m [m — \) [x"- -h y-) [ûcx' -h ff' ) [X- -\- y-)'"-- -+- Sni [m — i) [m — 'i) [xx' + y-yy [x- -]- y-]'"^'^,
qui répond à i= o, et que la plus ij;rande sera cette même quantité, (!n y mettant jc h- ix' et y -h îy' à la place de x et y.
Si l'on voulait avoir le développement de z répondant à .r + / et y -+- o, comme dans le commencement de cette Leçon, il est clair (ju'il u'y aurait qu'à faire
x' = l, iy = o;
on trouverait des résultats semblables.
(]ar, en désignant par des traits sans virgule les fonctions dérivées par rapport à la variable principale /, et par des traits séparés par une virgule les fonctions dérivées relativement à chacune des variables x vXy, comme nous l'avons fait ci-dessus, on aura, suivant ce qu'on a vu dans la Leçon YI sur les dérivées des fonctions composées d'autres fonctions,
de là, en prenant les fonctions dérivées par rapport à la variable principale t,
Mais, Z' et z'' étant aussi regardées comme des fonctions de x et y, leurs dérivées relatives à / seront
■ yz''', {z^'Y = x'z'''+y
Donc, substituant,
z" = x"z''-h)'"z-'-f- x'^z"^ 4- ix'y z ''' + /- s ■ ", et ainsi de suite.
Si les fonctions dérivées .v' et r', l'clnlivcnicnl ii /, sont consliinlcs, en sorte (|n(' .r"= o, y"= o, .r"'= o, ..., on ;iiir"i siMipIcmciil
z' =x''z'' +yz",
z'" =x'^z"'' + 'ix'-^x'z"^' -\- 3 ry-'s''"+/'''2'"',
('es valeurs, substituées dans la formule générale
Ion non t
z + iz'-^ -z"-\ -z'"^-- -,
+ - {x'^-z"'-i--?.x'yz'-' 4-/2 2'")
-f- ^,{x"^z"''-^- ^x'-^fz"'' + 3xy^z''"^y'^z'"']
Et, si l'on fait
on aiu'a la même formuhî trouvée plus haut pour le dévelojjpcmciil
de :;, suivant les puissances de i et o.
Les expressions des fonctions z', z'\ . . . que nous venons de (ronvcr
donnent la composition des fonctions dérivées de fonctions (jut'IcoïKjues
des deux variables 07 et y.
Ainsi, en faisant
ce qui revient à prendre oo pour variable principale, c'est-à-dire à rei^^arder y comme fonction de .r, si l'on veut que
soit une fonction dérivée d'une fonction de .r el r, en la comparant ;i
rcxprcssion de z', il faiidi'a que l'on ail
^{x,)'-) = z'', o{a:,jr] — z-'.
Pour éliminer z de ces deux équations, il n'y a qu'à prendre leurs déi'ivées par rapport à y pour la première, et par rapport à .r pour la seconde; on aura ainsi
d'où Ton lire
(^est ré(juation de condition connue poui' que la formule
puisse être une dérivée exacte d'une fonction de x et r, indépendamment d'aucune relation entre ac et y.
Ainsi, sans cette condition, il serait illusoire de supposer l'équation
l\ moins d'admettre en même temps une relation quelconque entre .r et y, ou entre x, y, z.
En général, si l'on avait l'équation
on trouverait, par les mêmes principes, la condition nécessaire pour (ju'elle pût avoir une équation primitive indépendamment d'aucune relation particulière entre oo, y, z.
Car, en comparant cette expression de :;' avec l'expression générale de z' donnée ci-dessus, on a pareillement
Pour que ces deux équations s'accordent, il faudra que la dérivée de •\i{x,Y, z) par rapport à j soit égale à la dérivée de ç(.t, y, z) par rapport à a-, puisque l'une et l'autre deviennent z'"'.
Or, z étant censée fonction de ^, y (puisque, si l'équation proposée
DKS FONCTIONS. ;U l
a iino primitive, la valeur de z sera déterminée par eelte priiiiilivc «'ii IbiKiion de .r et v), il faudra la regarder comme telle dans les lonclioiis y^.i-, )', c) ct9(.r,y,G); et, d'après notre notalioM, il est clair (jiie la dérivée de ^{x,y, z), par rapport à j, sera exprimée par
et (jU(! la dérivée de <p(.r, y, z), par raj)port à r, sera
On aura donc l'équation de condition
^'{r) + Y[z)z-' = o'{x) + <^'{z]z'-, savoii', en substituant pour z'- et z-' leurs valeurs,
4^'(r) + 'y{2) o[x,x,z)~o'{x) -h(i>'{z) ii/(:r,j, z);
et cette équation devra avoir lieu d'elle-même, c'est-à-dire être identique pour (jue la variable z puisse être une fonction de x et y, et (jue, par conséquent, la proposée ait une primitive en x, y et :;. Dans ce cas, on trouvera facilement cette primitive au moyen de l'une ou de l'autre des deux équations
('ar, prenant, par exemple, l'équation
dans laquelle z'' est la dérivée de z en y regardant y comme coiisliinl, ou |)Ourra la traiter comme une équation du i)remier ordre en Ire r et z, l'autre variable j étant supposée constante; et, ayant trouve sa piiniilive dans cette supposition, il faudra regarder la constante arbitraire comme une fonction inconnue de j, qu'on déterminera ensuite par le moyen de l'autre équation
Mais, lorsque l'équalion de condition (jue nous venons de Irouver
n'iima i>as lieu d'elle-même, l'équation proposée ne pourra pas subsister, il moins qu'on ne suppose une relation queleonque entre x^y, z-, (le manière que deux de ces variables deviennent fonctions de la troisii'ine.
Ainsi, dans ce cas, en supposant
on aura
et, substituant ces valeurs dans l'équation ci-dessus, on aura alois une équation en ce, y et y', par laquelle on pourra trouver la valeur de y en X, et l'on aura y et z en fonctions données de œ, la fonction /(.r,j) demeurant indéterminée.
Mais, comme on pourrait avoir ainsi une équation du premier ordre en X et y, dont il serait difficile et peut-être impossible de trouver l'équation primitive, on a cherché les moyens de donner à la fonction arbitraire une forme telle que l'on ait immédiatement, pour la détermination de y et z en x, deux équations entre ces variables.
Pour en donner un exemple très simple, supposons l'équation
on aura ici donc
z' = xy[x +yj' ;; ^[x,y']=x'^X, o[x,y)=xy-^
^'[y)=ZX-, 9'(^)zzzj2.
Ainsi il est impossible que z soit une fonction de x et j, regardées comme indépendantes entre elles.
On fera donc
et l'on aura
donc
par conséquent z sera égal à la fonction primitive de
Mais (ni jx'iil (''\il('i' la n'clinrlir de crllc luiirlioii |)iiiiiilivc, en met-
ce (jiii irdiiil r(''(jiialioii ;i celte l'oriiie
et supposant ensuite
iiioNeiiiiaiil (juoi elle devienl
(loîit la primitive est
Ainsi ees deux équations remplacent oonjoiiiteiiieiit recjuation pi<>posée, la (onction/( a?) demeurant arbitraire.
On doit dire, ii plus loite raison, la même eliose des équations (jne l'on pourrait supposer entre x, y, z et y', z', dans iesipudles les l'onelions dérivées y', z' monteraient à des puissances (|U(dcon(|nes.
Ou'on suppose, par exemple, l'équation
en faisant on aurait
Kl il faudrait, pour avoir z en x, li-onvei' la Ibnetion primitive de
\/i -\-f''-[x), ce qui est impossible tant (pie la fonction /(.r (lemeur<'ra indéterminée, ii moins (Templover les séries.
Mais, en introduisant une troisii'me variable, on peni avoir d«'s expressions finies de .r, r, r en fonetion de celte même variable.
Poni' cela il l'ant rétablir la fonction |irime .r', (jui est -: i lors(pie v
est la variable principale, et substituer, par conséquent, -, et ^ ii la X. ic
place (le y' el :', conformément aux pi'incipes établis dans la Leroii septième. Ainsi l'équation sera
Pour résoudre cette équation de la manière la plus géuérale, nous emploierons un principe dont nous fei'ons, dans la suite, un plus grand usage, et (jui consiste à trouver d'abord des expressions de x, y, z (jui y satisfassent avec des constantes arbitraires, et à rendre ensuite ces constantes variables, de manière (|ue les expressions des dérivées .r', )'', ::' restent h^s mêmes.
Prenons un augle arbitraire co; puisque
sin-c) + cos-w = I, en multipliant le second membre de l'équation proposé(! par
sin-o + cos-o),
le premier ne changera pas.
Or le produit de x'- + y"- par sin-oj H- cos-oj peut se mettre sous la forme
[y cosc) — x' sino))--!- [y sino) + se' coso)-;
de sorte que l'équation proposée deviendra
^'- = [y' coso) — x' siiir,))- -i- ( j' sin w + x' coso))-.
Supposons
y sinw 4- x' cosw = o,
ce qui est permis à cause de l'indéterminée co; on aura, eu extrayaul la racine carrée des deux membres,
z' = j' coso, — x' siiio).
Regardons d'abord l'augle o> comme constant; les deux équatious ((ue nous venons de trouver auront pour primitives ces deux-ci :
z = j-^cosci) — X sino) -h n, y sin w -h x cosoj = b,
a et b étant deux constantes ai'bitraires.
Ainsi ces deux (MUialioiis (loiiiiciil des valeurs de y et z en .r (|ni satisConl à l'(''(|iiati()ii proposée, quelles que soient les valeurs des liois constanles c/, A cl <>,, eoninie on peiil s'eji assurer pai* la suhstitiilioii.
Or il est l'aeile de eoneevoir (jue ces inènies valcuis satislcioril encore à la proposée, en supposant (|ue les (juantités t/, ù cl t.j soient variables, poiir'vii (|nc les dérivées .t', r', :;' restent les mêmes, ee qui aura lien si, en prenant les dérivées des deux éfjualions précédentes, les lernies i\n> aux dérivées de a, h et (o se détruisent.
Il n'y aura donc (jii'ii prendi'e les deiivées des mêmes é(juations par rapport ;» (t, h cl o, et déterminer, [)ar leur moyen, les variables a et h.
llei;ardons dans ces dérivées la variable (•> connue la principale: nous lérons
et I on aura
— j sinw — X cosco -!- Il' = o,
/C0S&) — X sine.) := //.
Mais nous avons déj;»
r sin&j + X cosco — h;
donc ou aura
ce (jui donne
et, par conséquent,
Ainsi on aui-a ces trois é(}uations
z = y cosw — .r sinco -f- o, T sioM -+- X cosw ^ a' , r cos&j — X sine.) = a" .
Mais, <7 étant nue fonction qucdeoucjue de w, si on la dénote par/ico),
Oïl au l'a
cl les trois é(jiialions précédentes fourniront ces expressions de a, y, :■
en (->,
X = ces w /' I oj ) — sin w f'\ m ) ,
r= sin&)/'(w) + cos &)/"(&)),
l;i foiiclion /((oj denicuranl ai'bitrairo.
Ces l'ormulcs pourraient servir à trouver des courbes rectifiables; caj', si .r et y sont les coordonnées rectangles d'une courbe plane, et z l'arc correspondant, on sait, par le Calcul ditl'érentiel, et je l'ai démontré rigoureusement dans la T/icorie des fonctions ('), que l'on a
en regardant .r et v comme fonctions d'une mèflie variable quelcon<juc. Si l'on fait /'(toj = ;??, on a
y"( &j ) = o cl /' Cl) ) =: m r.) -+- n ;
l(;s formules précédentes donneront
. x^^mcoso), y ^= m s\no), c =: /;? o) - /? ,
ce (jui est le cas du cercle.
En prenant poLiry(co) des fonctions quelconques de sinto et cosco, on aura autant de courbes algébriques qu'on voudra, dont la rectification scia algébrique aussi, problème sur lequel les géomètres se sont autrefois beaucoup exercés, et dont on peut voir différentes solutions dans le tome V des Nouveaux Commentaires de Pétersbourg.
Les équations dont nous venons de nous occuper sont connues sous le nom iV équations qui ne satisfont pas aux conditions d'intégrabilitè. On trouve des solutions élégantes de plusieurs de ces équations dans un Mémoii'C de Monge impi'imé dans le Recueil de l' Académie des Sciences pour rarméc 178/1.
La notation (jue nous avons employée pour désigner les fonctions
(' j 0£ livres de Lagnifior, t. IX.
(Ici'ivc'cs (le r |»;ir r;i|»|)()rl à .r cl v, |»;ir des Iriiils s(''|);in''S pjir une viri^'iilc, est, coiiimc l'on voil, Irl's siiii|ilr cl ((niroriiic ;i la nature Ai' l;i chose; mais clic iic lucl pas en évidence les variaMcs aux(juellcs cIuhjik' i,M'Oui)e (le traits doit se rapporter; cl, si l'on avait des Ibnelions de pins de deux variahles, la inulliliidc des virgules pourrait rendre la nolalion ineoniniode et causer de la confusion par rapport aii\ variables aii\- (|(iellcs les diUcrentes fonctions dérivées l'épondraienl .
On pourrai!, dans ces cas, employer avec avanlaiic la nolalion (pic j'ai déjii pi'oposcc dans l'Onvrai^c sur la lU'solution des ('(iiialions nuinciKiucs ' , cl (|ui dérive aussi de la uainre de ce caliMil.
I^n «'Ile!, la lormnlc donin'c plus liant
fait V(nr (|ue, si l'on veul i-onsidérer à part les dérivées relatives à .v et y, on a, |)ar rapport à a\
donc
ici z' ne doit être pris que |)ar rapport à la variable /, en tant ([u'elle est renfermée dans la l'onction x; et, pour indiquci- ce point de vue, il
n'y a qu'à enlérmer l'expression —, entre deux parenthèses, ce (|iii donnera
On ania pareillement, par rapport à v,
^ — r 2' ; donc
en renfermant l'expression ^ entre deux parenthi'ses. poui' iiidi(|inT
(') OEuvrcs de /.(ignin^^r, t. VIII.
(\u\r\ la dérivée z' n'est relative à la variable t qu'autant (iircllc est i("iiteiin(k' dans v, on aura
De cette manière, l'expression de la dérivée :;' prendra cette forme
oii l'on voit que \—,\-> (^) »t' sont proprement que les coelficients
de x et de y' dans l'expression de la dérivée z' .
Comme la variable /, dont on suppose que x et y sont fonctions, demeure indéterminée, en prenant x pour /, on aurait
l'expression (%) deviendrait alors simplement [z), et indiquerait,
comme elle le doit, la fonction dérivée de ' par rapport à la variable principale x\ de même, en prenant y pour /, on aurait
et l'expression (—A deviendrait aussi (g'), et indiquerait la fonction
dérivée de z par rapport à la variable principale y.
Mais, pour distinguer ces fonctions l'une de l'autre, nous retiendrons toujours les lettres x et y' sous z\ et nous entendrons simplement
par (^1' ( ^ ) les fonctions dérivées de z par rapport à x et y.
D'ailleurs cette manière d'exprimer les fonctions dérivées a l'avanlafîfe de faciliter la transformation de ces fonctions lorsqu'on veut les rapporter à d'autres variables.
Ainsi, comme l'expression (^j indique que z est regardé comme
fonction de x, l'expression réciproque (^j indicjuerait que x serait regardé comme fonction de z\ et il est facile de se convaincre, par la
DKS FONCTIONS. :3ll»
iiiiliii'c (If CCS expressions, (|iic Ton a, <'ii cHel,
comme si les pnrciilhf'ses n'existaieiil pas, de sorte <|iie l'on aura
si tlonc, au lieu de re^ai'der - comme l'onclion de .r cl v, on voulait l'Ogai'dcr x coiinne fonction de ^ <'t v, ou substilueiait d'altonl
