à la place de

luisuite, poui' avoir la valeur de l'autre tbnclion dérivée \—\'> 01» remarquerait (ju'ici la variable x est censée constante, puis(juc r n'est regardée que comnu' foiu-lion de r.

Or, X étant supposée fonction de y et r, on auia, en général,

donc, pour (jue r soit constante, x devra être zéro, ce (jui doimeia l'équation

d'où l'on lii'c

et cette valeur de —, tirée de la supposition de x constante, sera, par

conséquent, la même (|ne celle de ( -ri-

D'oîi il snil que l'on anra ces lianslorméc's

De sorh' (|ii(', si l'on a une équalioii qui t'onlieniu' jc, y, z avec les rouclioiis (h'rivres i^] ■> (—,)'> *'"*' 'i'' <'liîini;<'i'<» p^»^ çssciiticllcinciit

par les substilulions précédentes; seulenieul, au lieu de su|)[)Oser louctiou de x el y, ee sera .v qui sera lonetion de )' el -, et ainsi poulies eas semblables.

Maintenant, puis<)ue f— ] est une fonction à^' x el y, on aura tie inènie, en prenant sa dérivée relativement à /,

mais, comme x' et y' , entre les parenthèses, n'ont qu'une signification do convention, on peut, sans inconvénient, écrire

et, par conséquent,

X y On aura de même

OÙ l'on voit que les symboles

,x y ] \y ex|)rinienl ici ce que nous avions dénoté plus haut [>ar les signes

Donc la dérivée seconde de ::, c'est-à-dire la valeur de ::' ([ue nous avons donnée plus haut, sera représentée ainsi

On v(til ici (jiic (—7:;) cl (—7.;) ^^<»iil aussi les cocriiciciils Ai' .r - i-l v'dans l'expression complète do z", mais (jiie (— r^l n'csl plus le >iniple coeCtii-icnl de .v' y' dans la même expression, comme on -^eiail poilc ii le supposci' d'apri's sa nolalion.

—, — r-l dénotei-a ce (inc nous avions dénoté

x''>ty'iij '

par ::^"''"\ c'est-à-dire la fonction dérivée de :: de Tordre // h- //^i '*•""•, prise /// lois relativement à .i\ et // l'ois relativemcnl :i v.

Cette dernière notation se rapproclie, comme l'on voit, de celle (|iii esl depuis loni^temps en usage chez les analystes pour désigner les dilléreMces (pi'on appelle />c////VV/rv.

l'Ji cU'ei, il est visible {|ue les fonctions dérivées «pic nous désignons

ICI par

ne sont autre chose (jue les (juanlilés

dz (Jz d- z d- z dx dy dx- dxdy

(pie plusieurs géomètres, à l'exemple d'Euler, renfermenl aussi enti-e deux parenthèses.

Ainsi on aura, en général, ces notations correspondantes

dx'» dy"

Après avoir donné la manière de former et de noter les fonctions dérivées relativenjent à différentes variables, nous allons considérer les équations qui contiennent des fonctions de ce genre, et cpTon peut ap[)eler cf/ita fions dcrivces à plusieurs variables.

32Î LEÇONS SIJR Llî CALCUL

l.ECON VINGTIÈME.

KOUATIONS DÉUIYEES APLLSIEUnS VAniAI]LES. TIIEOIIIE DE CES EQUATIONS. METHODES (.ÉNÉRALES POUR TROUVER LES ÉQUATIONS PRIMITIVES DES ÉQUATIONS DU PREMIER ORDRE A PLUSIEURS VARIADLES.

("oiisidérons (ral)ord une LMjuation quelconque entre les trois variables X, y et z, par laquelle z soit une fonction déterminée de x et y. Représentons celle équation par

et supposons, pour un moment, que x et y soient des fonctions données (rime même variable /; alors z sera aussi une fonction de t dépendante de l'équation proposée, et, par [a théorie des équations dérivées exposées dans les Leçons précédentes, lion seulement la fonction F(,r, y, z) sera nulle, mais encore ses dérivées F'(.r, y, z), Y"{x,y, z), . . ., prises relativement à /, seront nulles.

Or, en conservant la notation de la Leçon \ l, on a

¥'[x,r,z] = x' F[x] + / V'ir) + z' ¥'{z);

dans cette formule, x', y', z' sont les fonctions dérivées de x, y, z par rapport à /, et F'(^), F'( y), F'(::) sont les fonctions dérivées de F(ir-, y, z), prises par rapport à chacune des variables x, y, :; en particulier.

Ainsi recjuation

donnera celle-ci

Mais, en considérant z comme fonclion de x el y, on a

«loue, siil)sli(ii;iiil, on ;iiira

Pour (|ii(' les fonctions .r et v de / (iciDciii-ciit iiKlrlcniiiiircs, il (;iii- <li'a que leurs fonctions dérivées .;' cl v' disparaissent de l'équation précédente, ce qui ne peu! avoir lieu (|ir('n faisaiil les deux é([nalions séparées

il <'st visible (juc ces deux ('(inalions ne sont auhr (diose (pic lc> dérivées de l'équalion primitive

prises séparément par rapport à r et par rappoit à y.

En effet, pnis<jNc dans cette équation les deux variables a: et y sont essentiellement indépendantes entre elles, ses dérivées par i'aj)|»ort à .r et par rapport à j auront lieu (diaciinc <'n particulier. Or, la vai'iable z étant, par cette équation, une fonction de .r et y, dont les Ibnclions dérivées sont z'' par rapport à .r seul, et :;•' par rapport à y seul, il est clair que la dérivée de F(^-, y, z) sera F'(.r) + z'^ ¥'[z) par rapport à .r , et (ju'elle sera F'(r) + z'' F{z) par rapport à j; de sorte que l'équation [)iiinitive

donnera ces deux dérivées indépendantes

lesquelles serviront à trouver les valeurs des fonctions :;'• et z'\ et l'on

aura

Ayant ainsi les valeurs des deux premières fonctions dérivées de z, on en déduira celles des fonctions secondes z"\ z''', z'", en prenant les dérivées de z'^ et -•' par rapport à x et >-, et ainsi de suite.

Il suit (le là (juc, ré(iiiation piiniitivc

;ivaii( li(Hi, ses deux dérivées

auront lieu aussi en même temps; par conséquent une conii)inaisnn quelconque de ces trois équations aura lieu aussi, et pourra tenir lien (le ré(jnation dérivée.

Ainsi une équation entre a-, y, z et les deux dérivées z'-, z'', on

'-,]■> par rapport à a- et r, sera une équation du premier ordre

à trois variables, à laquelle répondra nécessairement une équation primitive en .r, y, z.

Soit, par exemple, l'équation

z'--hMz''=N,

iM et N étant des quantités constantes. Son équation primitive sera

z — N cT = 9 ( j- — M ^ ) ,

la caractéristique cp dénotant une fonction quelconque.

En effet, si l'on prend les fonctions dérivées par rapport à r, on a

2'- — N = — M ©'(j— Mx)

et, si l'on prend ces fonctions par rapport à y, on n

de sorte ([n'en éliminant la fonction dérivée o', on a l'équation dérivée proposée;

Considérons l'équation générale de la même forme, dans la(|uelle M et N soient des fonctions quelconques données de .r, v, -.

I)i:S FONCTIONS. :}-i5

Supposons (jiic

soil son (''(|nalion pririiillvc; dii aiir;i, pai- ce (iiToii a vu ci-dessus,

donc, substituant ces valeurs dans l'équation proposée, el iiiiilli|)li;iiil Ions les ternies |)ar' V'{z), on aiii-a, en rlianiicaiit les signes,

F(x) + MF'(j) + NF(z)=o.

Or on a, en général, comme on Ta vu,

\''ix,r,z]^x' ¥'{x) +/ F'(j) + z' F'{z\

en regardant .r, y, z comme des fonctions quelcon(iues d'une aulrc vaiiable /; donc, substituant dans cette formule, à la place de F'^.rj, sa valeur tirée de l'équation précédente, savoir, — M F'(j) — N Y'{z), on aura

On voit, par cette expression de la Ibnclion dérivée F'(.x-, r, z), (jue cette fonction deviendra nulle si l'on établit entre les trois variables ■r, y, z des relations telles, que l'on ait ces deux écjuations parlicii-

lières

j' — M:r'==o, ^'— Nx'=o.

Ces équations, étant entre les trois variables .r, v, z, serviront îi déterminer les valeurs de ces variables en fonctions de la troisième; de sorte que, par la substitution de ces valeurs, la fonction Fi. r,r. r deviendra aussi une fonction de cette troisième variable. Donc. puis(|iic sa fonction dérivée doit alors devenir nulle, il s'ensuit (|ue la variable doit disparaître; d'elle-niénie, et que la l'onction F(.r, v, r i ne pourra contenir, après cette substitution, que des constantes.

Or, les deux écjuations

y — M^-' -— o, z' — ^x''= () élaiil du j)reniier ordre, leurs éijuations [)riniilives coutiendroiil deux

constantes arbitraires que nous désignerons par a et h. En effet, si de

ces deux équations on veut éliminer, par exemple, la variahie z, on

tombera dans une équation du second ordre en x et y, dans laquelle

on pourra l'aire

x' =- I ou y' = I ,

suivant qu'on voudra regarder y comme fonction de j.\ ou .r comme l'onction de y, et cette équation aura pour équation primitive une équation en X et y, avec deux constantes arbitraires.

Ensuite on aura aussi z en fonction de x et y par l'une des deux é({uations proposées.

Il suit de là qu'après la substitution des valeurs de y et z en x, tirées des deux équations du premier ordre dont il s'agit, la fonction Vix, y, z) ne contiendra plus que les constantes a et h avec celles (|ui se trouvent dans les quantités M et N; de sorte qu'elle deviendra simplement une fonction de a et h, que nous désignerons par (p(«, b).

Par conséquent l'équation primitive

se réduira à

j)ar laquelle on voit que l'une des constantes a ci b sera fonction de l'autre.

Mais, à la place des constantes a et b, on peut mettre leurs valeurs en x,y, z, tirées des deux équations primitives, où elles entrent comme arbitraires. Donc, si l'on désigne par P et Q ces valeurs de a et b, l'é- (juation primitive de la proposée deviendra

la fonction désignée par $ étant arbitraire.

Il résulte de lii une méthode générale pour trouver l'équation primitive d'une équation quelconque du premier ordre, à trois variables x, y, z, dans laquelle les deux fonctions dérivées de la variable, qui est censée fonction des deux autres, ne se trouvent qu'à la première dimen-

sion, Icilc (|ii((

c'-+Mz''-i-N,

(»il, ce (|iii est l:i mriiic chose.

M et N (''laiil des ("onclioiis (|iiclc()ii(|ii('s de .r, v, ::. On Irin ces dciiv

(''(|ii;ilions

r' — M:c'=o, z'— Njr'--n,

dans lesquelles on pciil supposer l'une des trois fondions déiivées .r', v', ::' éij;ales à rnnilr, suivant la variable qu'on voudra reifarder coninic principale, et dont les deux autres seront censées des ronclions; cl. ayant trouvé, s'il est possible, les deux équations primitives de ces équations, ou en déduira les valeurs P et Q des deux constantes arbitraires a et h (|u'elles doivent renfermer; ofi aura alors

pour ré(juation j)riniilive cberchée, d'où résulte

la caractéristique cp désignant une fonction (juelconque de O.

L'analyse précédente est plus simple et plus directe (jue celle que j'ai donnée dans la Théorie des fonctions (*); c'est ce qui ni a eiiiiai^e à la mettre ici, d'autant qu'elle s'applique avec la même facilite aux équations semblables entre un plus grand nombre de vai'iables. Dans les Mémoires de Berlin de 1779 (-), je m'étais contenté de pi'ouvef. n posteriori, la légitimité et la généralité de cette méthode.

(Considérons de la même manière l'équation à quatre variables /, .r. y, :? de la forme

L, xM, N étant des fonctions (|uelcon(jues de /, .r, y, z.

(') OEin'ri'S de LMgntrii^c, {. IX.

(2) Ihid., t. IV. p. jkV.

Si l'on représente son équation par

F(/, x,y, z) = o, sa fonction dérivée Y\t,x,y, z) sera, en général,

cl l'on aura, relalivenieiit à chacune tics variables t,JL\y en particuliei', les équations

¥[t)-^-{piF[z) = o,

Tir;mt de ces équations les valeurs des fonctions {y)-> f"^)' ("/l'

et les substituant dans l'ecjuation proposée, elle deviendra, après la multiplication par F'(g) et le changement des signes,

d'où Ton tire

F'[ri=^L F'(^)-M F'(j)-N F[z).

Cette valeur de F'(/) étant substituée dans celle de Y\t, .T,y, z], on an l'a

Si donc on introduit entre les quatre variables /, r, y, z les relations déterminées par les trois équations

la l'onction dérivée Y'[t,x, y, z) deviendra nulle; par consé(|uent la fonction primitive Y[t,x,y, z) ne pourra contenir que des constantes. Or Içs trois équations dont il s'agit, étant du premier oi'dre, auront trois équations primitives qui contiendront trois constantes arbitraires a, h, r, et par lesquelles trois des variables /, jc, y, z pourront être

DKS FONCTIONS. 320

déterminées en fbiictioii de l;i (|ii;iliii'iiie. Doue, si dans la fonction ^{t, a:,y, z) on substitue les valeurs de ces variables, il faudra (jue la variable restante dispjiraissc d'elle-même, et la fonction ne pourra plus contenir que les mêmes constantes a, h, c, avec celles (|ui entreront dans les expressions de L, M, N. De sorte qu'apri's cette substitution la fonction Y{l,jc,y,z) deviendra néeessairemeni de la l'orme <!>(«, />,r). Or les trois écjuations primitives dont il s'agit dctcrminrni les valeurs de (i, h, (• cil fonctions des variables /, .2-, v, z ; de; sorte (ju'en désignant ces fonctions par P, O, H, on peut mettre ces é(|uations sous la forme

Donc la fonction F(/,^,r, c) devra être de la forme <!' l',0, K , puisqu'il n'y a que cette forme qui puisse devenir fonction de a, h, <\ en vertu des trois équations primitives

Donc l'équation piimitive

deviendra

cp(P,Q,R;r=o,

par laquelle on a.jra

la caractéristique (p désignant une fonction quelconque de V et O. Ainsi :

i" L'équation du premier ordre à trois variables

dépend des deux équations du premier ordre entre les mêmes variables

y' —Mx' =^0, z' — ^x'^o,

et, si

sont les équations primitives de celles-ci, a et b étant les Constantin

arbitraires, l'équation primitive de la proposée sera

o(P) étant une fonction quelcon(jue de P.

2^ L'équation du premier ordre à quatre variables

dépend de ces trois équations entre les mêmes variables

x'—t'L = o, j'— f'M = o, 2'— f'N = o. Et, si

sont les trois équations primitives de celles-ci, a, h, c étant les constantes arbitraires, l'équation primitive de la proposée sera

o(P, Q) désignant une fonction quelconque de P et Q, et ainsi de suite.

De cette manière, la recbercbe des équations primitives des équations du premier ordre, par lesquelles une variable est fonction de deux ou de plusieurs autres, est réduite à la recherche des équations primitives d'équations du même ordre, dans lesquelles toutes les variables sont fonctions d'une seule et même variable. Or, en Analyse, on regarde la solution d'un problème comme connue, lorsqu'elle est réduite à celle d'un problème d'un genre inférieur, quoique celle-ci puisse être sujette encore à beaucoup de difficultés.

Supposons, pour donner des exemples très simples, que les quantités L, 31, N soient constantes; les deux équations

j' — x' M = o, s' — x' N = o auront ces primitives

donc l'équation

iiiii-;i ('('lie priiiiilivc

z -— 'Nx = 9(j — M:r),

coiiniio nous l'avons (lrj;i vu plus li;iiil. Les trois t'(|n:iti()ns

jiiiroiil ('(îs priniilivrs