X - lA - a, y — M / — - b, z — N / = c

et Téqualion

îuira rctte primitive

z — N / = 9 (a-- — L /, r — ^I ' • 11 est bon de l'cniaïquer (jue les équations

oîi a, h, c, :.. sont des constantes arbitraires, donnent cbaeune iinr solution particulière de l'équation proposée, ce qui est évident par la forme même dema solution générale

(I'(P,Q)=o ou (I>iP,Q,R)=o;

car, i>uis(|ue la fonction désignée par 'I' est aibiti-aire, on peut ((injonr> réduire ces équations ii

l' — a = o, ou Q — /> = o, ou H — c = o, ....

Ainsi il est facile de voir que l'équation

satisfait à l'équation dérivée

cai' elle donne

(Jonc

Mais, si l'on piciiait l'autre équation

y — Mx = a,

on no v(M'rait pas d'aljord comment elle y peut satisfaire, puisfpir la variable z n'y entre pas. Comme cette équation ne donne qu'un rapport (Mitre jo et y, par lequel .r est fonction de r, ou y fonction de œ, il faudra changer l'équation dérivée de manière qu'au lieu des fonctions dérivées de z, par rapport à a- et y, elles contiennent les fonctions dérivées de .r par rapport à y et z, on de y par rapport à ^ et ^, ce qu'on obtiendra par les substitutions que nous avons indiquées plus liant.

Nous allons donner ici cette transformation pour servir d'exemplt^ dans les cas semblables.

On mettra donc à la place de (^) et ( ^) les quantités

et l'équation dérivée ci-dessus deviendra, en multipliant tous les termes

dans laquelle .r est maintenant censée fonction de y et z. Or l'équation

j^ — ^Ix := a

donne

d'où l'on tire

valeurs qui satisfont évidemment à l'équation précédente.

Nous vonons de voir-, <l;iris les t!X(Mii[)Ies précédents, (]ii(' l'éfiiKilioii primitive renferme, dans 1(! cas de trois variables, une roucliou arltitraire d'une quantité composée de ces variables, et, dans le cas de (juatre varial)les, une fonction arbitraire de deux (jnanlités coniposccs de ces variables.

Nous allons déinonircr (jnc (•('!(<' proposition est i^éiiérale, (|ncllc (jiic soit la forme de rcfjiialion d(''i'i\é(' du prmiicr ordre.

En ap[)li(|uant an\ é(|uations ;i trois variables la tliéoiie (jue non> avons donnée, dans la Leçon Xli, sur les é(|ualions dérivées ;i i\c\\\ variables, il est aisé de voir (|ne, pnis(ju'nne é(|nation ;i trois variables a deux équations déi-ivées, on pourra, par le moyen de ces trois e(jua- . lions, qui ont lieu simultanément, éliminer deux constantes à volonté, et parvenir ainsi à une équation du premier ordre, (|ui contiendra deux constantes de moins que l'équation piimilive.

D'où il suit réciproquement que l'équation primitive d'une écjnalion du ju'emier ordre à trois variables doit contenii- deux constantes de [)lns (jue l'équation du premier ordre, et que ces constantes seront nécessairement arbitraires.

Prenons pou|^équation primitive l'équation à trois variables

en regardant :; comme fonction de ^- et y, on aura ces deux dérivées, l'une relative à x et l'autre relative à y.

Éliminant, par le lïïoyen de ces trois équations, les constantes a et A, on aura l'équation du premier ordre

à laquelle répondra l'équation priïuitive

z = ax -h by, les constantes a et h demeurant arbitraires.

Mais il n'en est pas ici comme dans les équations à deux variables, où, dès qu'on a trouvé une équation primitive avec une constante arbitraire, on est assuré qu'elle a toute la généralité que l'équation du premier ordre peut comporter; car on peut trouver une infinité d'équations à trois variables qui, par l'élimination de deux constantes au moyen de leurs dérivées, donnent la même équation du premier ordre.

Par exemple, l'équation

donne ces deux dérivées

z = ay-]

bx ( z'\ hx-

d'où l'un Lire, par l'élimination de a et A, la même équation

On pourra trouver autant d'autres équations primitives qu'on voudra qui redonneront la même équation du premier ordre; mais, dès qu'on en a une avec deux constantes arbitraires, on peut en déduire la formule générale de toutes les autres par des principes analogues à ceux qui nous ont conduits aux équations primitives singulières, et que nous avons exposés dans la Leçon XV.

En effet, si l'on considère une équation primitive à trois variables,

telle que

dans laquelle il y a deux constantes a et b, qu'on se propose de faire disparaître au moyen de ses deux dérivées, il est visible que le résultat de l'élimination de ces constantes sera toujours le même, soit que les constantes aet b soient constantes ou non, pourvu que les deux dérivées soient les mêmes, ce qui aura nécessairement lieu lorsqu'en regardant les quantités a et b comme variables, les termes provenant de leur variation, dans les deux équations dérivées, seront nuls.

DES FONCTIONS. :{3:i

Or, l;inl (|ii(' (i cl }> soiil coiishiiils, r(''(|ii;il ion

F(.r,r, z,(ub] — o

(loiiiic, (■oiiiiiic (»n l'a vu plus liant, ces deux (Irrivées, riiiic pai- ra|)|)<irl à r et l'autre par rappoi-t à }',

Mais, en regardant n et b comme fonctions de ou et v, ces dérivéits deviendront

Kt il est clair qu'elles se réduiront aux précédentes, en délcrniinanl a et h de manière (|ne l'on ait les deux éciuations

Il est d'aboi'd visible ({u'on peut satisfaire à ces deux conditions, en faisant

ce qui donue deux équations par lescjuidlcs on pouira déterminer n et h en fonctions de x, y, z.

Cette solution répond évidemment à celle (|ui donne les e(|nali()ns primitives singulières des équations à deux variables, cornmi' nous l'avons vu dans la Leçon XV.

Ainsi on pourra ajipeler aussi équation prirnilivc sùiii-ulicrc V('(\\\:\\'\[)\\

dans laquelle on aura substitué pour a et h les valeurs tirées des deux équations

Mais il y a une manière plus générale de satisfaire aux mêmes conditions.

Supposons que h soit une fonction quelconque de a, que nous dési-

j^-nerons par o(«), alors b' deviendra 9'(«).«'; par conséquent (-,j

deviendra cp'(«).(^);. et ( — J deviendra 9'( «;).(—,] •

Faisant ces substitutions dans les deux équations de condition, elles deviendront

[F'(fl) + F'(6:,.9'(a)]('^) = o,

et l'on y satisfera par cette équation unique

F'(«)+F'(6).cp'(rt) = o,

laquelle servira à déterminer la valeur de «, et la fonction cp(rt) demeurera arbitraire.

En effet, si dans l'équation primitive

F( X, >', z, a, ^) := o on fait

i = cp ( « ) ,

elle deviendra

et, si l'on désigne par F[r/, o(«)] la fonction dérivée de F[x, r, z, a, 9(«)], prise relativement à a seul, il est facile de voir qu'en faisant

les équations dérivées de la proposée, prises relativement à .r et à v, seront les mêmes, a étant variable, que si elle ne variait pas; (jue, par conséquent, l'équation du premier ordre, déduite de celle-ci par l'élimination de a et 9(rt), sera encore la môme.

DKS FONCTIONS. 337

fl rsl visiltic (|ii(' rr(|il;i(i()ii

n'est aiilrc cliosc (jiic rr(jii;i(i()ii ci-dessus

cil Faisant

Si donc on a une c(|Nation du |ii'cinicr oi'drc à Irois vai'ialdcs, (elle que

on peut supposer (jn'cdie ait pour écjuation primitive

où a (i A soient deux constantes arl)itraires.

Nous app(dle''(»ns celle-ci àjuallon prirnilivc coniplrlc. à laison des deux conslanles ai'biti'aii'cs qu'elle contient, et (jni ne |)ciiveiil dispal'aitre (jne pai' le moyen de ses deux déi'ivées. S'il arrivait (|ne les {\('[\\ constantes s'en allassent à !a lois au moyen d'une seule i\v ces dérivées, elles ne pourraient alors tenir lieu (pie d'une seule conslanic. cl l'équation |)i'imilive no serait pas coniplî'te.

Dès ([u'on aura trouvé une équation primitive complète, on en pourra déduire une autre plus générale, et qui contiendra un<' fonction arbitraire.

(lar il n'y aura qu'il faire

et il déterminer ensuite a par la condilitui

Nous nommerons C(dle-ci cf/ua/io/i /)n//ii/i\<' <^i'/n'/(iic\ pour la distinguer de la précédente.

Eiiiiii, la iiiènie équation juiinilive complète donnera encore Vcqiuiflon priniilnc suii^ulièfw en déterminant a et b en fonction de x, y, z par les deux condilions

Par exem{)le, nous avons vu plus haut que l'éijuation du premieiordre

a pour é(|uation primitive complète

z =z ax -+- by.

Pour en déduire l'équation primitive générale, on fera

et l'on prendra les fonctions dérivées par rapport ha seul; on aura les

deux équations

z =: nx -h y (!j>{a), x -\- y o'[a) =: o,

d'où il faudra éliminer a; comme la fonction o{a) est arbitraire, on peut, en lui donnant différentes formes, en déduire une infinité d'équations primitives complètes différentes, avec deux constantes arbitraires. Soit, par exemple,

cp(a,=A-p,

les deux équations deviendront la seconde donne

2Bx

i'X cette valeur, substituée dans la première, la réduit à

qui est l'autre forme d'équation primitive que nous avions trouvée.

DKS FONCTIONS. 339

On [)()iirr;i, de l:i iik'-iiic iniiiiirrc, en li'oiivci' l;iiil (riiiiti'cs {iiToii voudra; mais il csl r<'m:ii<|ii;ii)l(' (pic la iircmicrc ('(jualioii piimiliM conipli'tc, d'oii rc(piali()ii piiiiiilivc i^ciii'ralc a clr (h'diiilc, ii v ol jamais (.'ompiisc.

Ainsi, il est im[)()ssil)lt' de détciiiiinci- la ronchon o (i de manicrc (\\\v. les deux équations

■ z -= ax -\- y' ^[a], x -^ y (^' [a] ■-=^ o

donnent c(dle-ci

A et B étant des constantes arbitraires.

Car supposons la eliose possible; en substituant dans la picinièi'c la valeur de z, on aura à satisfaire à ees deux équations

kx -r-^y^--=^ nx -\- y (^[n], .r + j cp'(a) = o,

La seconde donne

x — — yo'[a)',

cette valeur, substituée dans la première, la rend di\i>iblc par r, et il

en résulte ^

B — A cp'(a) = <p(a) — rt o';rtj,

d'iui Ton tire

divisant par o[a) — B, on a ré(|ualion

y («) __i__ <f)(tf) — B a — A

dont clia(|ne mcnd)re est uiu' lonctifui dérivée cxaclc.

La fonction primitive du prcmici' mcmbic est I\"j d - IJ |. et celle du second membre est l[a — A), la earaclerisliipn' / denolanl le loiiarillime hyperbolique (Leçon IV ; donc, prenant les fonctions primitives et ajoutant la constante arbitraire //•, (ui aura

/[9(rt)-B]i-^/;«- A) + //.-,

d'où l'on tire

cl, j);u' conséquent,

Telle devrait donc être la forme de la fonction o{a); d'où l'on déduit

Ces valeurs étant maintenant substituées dans les deux équations cidessus, elles deviendront

[a — A) [x -+- kj'] = o, se -h /»■;•= <>,

;uix(juelles on ne peut satisfaire qu'en faisant

X + kr= o, ce (jui ne donne rien.

Jusqu'à présent on avait cru que toute équation primitive qui satisfait à une équation du premier ordre à trois variables, avec une fonction arbitraire, est aussi générale que celle-ci peut le comporter. L'exemple précédent met cette proposition en défaut, et nous prouverons plus bas la même cbose d'une manière générale et directe.

Il est viai (jue, dans le cas que nous venons d'examiner, on peut donner à l'équation primitive une forme plus simple et plus géiu'rale.

Car, en considérant les deux équations

z =z ax ■+- y (o{a), x -^ y (j'[a) := o, on voit que la seconde donne

d'oii il résulte nue a est une fonction de -■ ' ï

raisons donc

nous aurons

I)i:S FONCTIONS.

mais il l'audra (|iril y ail ciilic les loiicLioiis ■l{^] <'l <^(-) uiit' rclalion (irpciidaiilc de Trijualioii

\']i\ ('(Ici, si, CM rc^ardaiil a ('(iiimic une v;iii;d)lc, on prend les loin

lions dérivées rtdaliveuK.'iil ;i la (iiiaiililé —, les é(|iialioiis

(loinKU'oiit

donc, suhslilnanl dans la seconde, jtour d' cl pour o' r/ , leurs valeurs, on aura l'équalion de condilion

3Iainlcnant la prcniii-re ét|uation dcvie/il, pai' la subslilulioii des valeurs de a et de o{a),

et, si l'on mol celte équation sous la forme

il est visible (ju'clle se réduit à c(dle-ci

La lom-lion 'l'(~) demeure absolument arliilraire, |)nis(|ue les deux lonetions y ( -) <'l— *ÏM— ) n<' foi'incnl (ju'une lonclion de •^; en sorli- (juc la ndalion liouvée entre ces Ibnclions devient ici innlile.

Va il osl bon de remarquer que cette dernière solution est précisément celle (jue l'on trouve directement par la méthode générale exposée plus haut pour les équations du premier ordre de la forme

Car l'équation proposée

étant divisée par .r et comparée à la formule précédente, donne

de sorte que les deux équalions particulières

deviennent

, TX , zx

Chacune de ces deux équations, étant divisée par œ, tlevient um^ dérivée exacte, et l'on a les deux primitives

On a ainsi

d'où résulte l'équation primitive

(]ui s'accorde avec celle que nous veiious de trouver.

On voit aussi que cette forme renferme l'équation comjdèle

z = ax-^by, .

:JV:J

(•;ii' il II y ;i (ju a supposer

Si l'on aviiil l'iMpialKni du prciiiici' oïdi'C

la caractôristiqnc/driiolaiil iiiic loiiclioii (|ii('lc<)ii(jiic (loiuicc des drii\

rouclions dérivées [",,)■> (/)' *^" trouverai I aisriiiciit pour son ('(ina-

lion j)ririiitive eouiplète i'érpiation

z ^= ax -h by +f[fi, b),

(i et. h t'taiil deux eoiistaiiles arbitraires.

1^11 ellet, (M) pi'euant les deux dérivées de cette équation par rapjjoil à X et à y, ou a

et, substituantfes valeurs de a et b, il vient l'équation proposée. Maintenant, pour trouver l'équation primitive générale, il n'y aura

qu'à l'aire

et déterminer ensuite a par la dérivée, prise relativement à a seul. Ainsi on aura le système des deux équations

z — ax +f o[a) +f[a,o[a ], x 4- 7 o'(rt)*-!-/' [rr, 9(a)] -- o.

Enfin, pour avoir l'équation primilive singulière, on (diiiiiiicra c/ cl A au moveu des deux dérivées, l'une par rapport à a, et l'aiilre |)ar i-apj)orl il L'. Ces dérivées sont

Comme relimiiiation de (i et if est iiiipossilile tant (ju'oii ne jiarticularise pas la fonction f{a, b), si à la place des variables .i- cl v on

:m LEÇONS SUR LE CALCUL

introduit les deux variables a et h, on aura

v\ de la

z=f{n,b]- af'[a]-bf'[h\

pour ré(|ualiou primitive singulière.

Si l'on coîisidère ces trois espèces d'équations primitives, il est (acilc de voir qu'elles sont essentiellement distinctes l'une de l'autre, et que chacune d'elles ne peut être renfermée dans aucune des deux autres, ni les renfermer; car, dans la première, les quantités a et h sont constantes, au lieu qu'elles deviennent, dans la seconde et dans la troisième, des fonctions différentes des variables x, y, z.

Mais on peut s'en convaincre d'une manière })lus sensible, par la considération des surfaces représentées par ces différentes équations primitives. Pour cela, je considère d'abord l'équation générale du plan

z = ax + b)' -T- c,

dont la position par rapport aux trois plans rectangulaires des .t, y, des r, z et des y, z est déterminée par les constantes «, b, c.

Car il est facile de prouver que a est la tangente de l'angle (jue l'intersection de ce plan avec le plan des .r et z fait avec l'axe des r; (jue h est la tangente de l'angle que l'intersection du même plan avec l'autre plan des y et z fait avec l'axe dey; enfin que ce plan passe par le ])oint de l'axe des z, qui est éloigné de l'origine commune des trois axes de la quantité c. Ainsi on peut regarder a, h, c comme les éléments du plan, puisque sa position par ra}>port aux axes des x, y, z en dépend entièrement.

Si l'on combine l'équation du plan avec ses deux dérivées, prises séparément par rapport à x et r, on peut déterminer les valeurs des trois éléments a, h, c en fonctions de x, y, z, et l'on trouve

Or nous avons démontré rigoureusement, dans la T/icoric des Jonc-

lions an(ilyli(jncs (' ), (|ii(', |t;ir i-ipporl ;i une sihT;ht (]IIcI(()ii(|||(' doiil on ;i r('M|ii;ili()ii (Ml .1', )', -", les ('\|>i'('ssi()iis pri-crdciilcs des (|ii;iiililcs <'/, A, c (loiiiiciil ('•i^;il('iiH'iil les rlr/iH'iils du phiii lîiiii^ciil de l:i siii-riicc :iii point <|iii irpoiid ;iii\ coordoiiiircs x, y, z\ d'oii il suit (pir deux siirlaces (pii, potii' les iiiriiics coorditniKM'S, aiiroiil ;iiissi les iik-iiics valeurs

des foiKiioiis (h'i'ivées (— ,| et 1^,) se loindicroiil ii(''C('s>;iirciiiriil ;iii

point (|ui rrpond à ces coordonnrcs, puis(|n'(dlrs auront rniic cl Tautir le nu'mc plan tangent.

('(da posé, ré([nation |»i'iniitivo ('Oin|)i('te

dans hupudic c/ et h sont des constantes arbitraires, représente une surl'acc dont la nature et la position dépendent de ces constantes; en sorte (ju'en taisant varier ces (U)nstantes la surface varieia aussi successivement.

Oi', si l'on fait

et (|u'on déteriï iUe a en l'onction de .i', y, z, de inanii're que les deux é<|uations dérivées restent les mêmes (jue si a ne variait pas, ce (jui donne ré(|uation primitive générale, il est visible (jue cette écpiation re]»résentera une surface tout à l'ait dilféi'ente, mais (|iii aura, en ( lia([ue [)oint, le même plan tangent que si la ([uantité a demeurait

constante, puisque les expressions des (juantités f^j et (-""-) restent

les mêmes. Doiu- cette surface sera touchée en chaque point pai- la surface de ré(juation primitive complète (|ui répoiul à

b = 9(rt), et ou (I aura une valeur constante détei'ininée par ré(juation

F'[fl, 9 («;]—(),

(jui est la condition de ré(|nalion primitive générale, les valeurs de .r.

( ' ) OEiu'rrs de Ldi^rangc, t . 1 X .

y, z, dont a devient fonction, répondant au point de contact des "deux surfaces, et étant censées constantes par rapport aux surfaces touchantes.

.Afais, en regardant a comme constante, l'équation

représente aussi une surface; et son intersection avec la surface représentée par

sera une ligne tracée sur cette même surface, dont chaque point sera, par conséquent, un point de contact des deux surfaces dont il s'agit. D'où l'on peut conclure que la surface représentée par l'équation primitive générale sera touchée, dans toute l'étendue d'une ligne, })ar une des surfaces représentées par l'équation primitive complète, dans laquelle on supposera l'une des constantes

de manière que l'équation primitive complète

où a est constante, donnera, en faisant varier successivement la valeur de a, une intinité de surfaces successives dont chacune aura une ligne d'attouchement avec la surface représentée par l'équation primitive générale, et il est aisé de concevoir que ces lignes ne pourront être (jue les intersections mutuelles des mêmes surfaces; que, par conséquent, la surface représentée par l'équation primitive générale ne sera formée elle-même que par toutes ses intersections successives.

Maintenant il est évident que la nature de cette surface est suhordonnée à la fonction 9(«), et qu'elle n'a de contact qu'avec celles des surfaces de l'équation primitive complète

pour lesquelles

Mais, si, en regardant a et /> comme variahles, on les détermine par les

DES FONCTIONS. 3i7

deux CMjuations

ce ([iii (loimc alors r(''(|ii;ili(in |H'iiiiilivf' siiii^iilirrr, l:i surface représcnlôc |)ai" rt'l(<' (Icriiii'i'c t''(jiialioii sera aussi loiicliùc j)ar la siirlacc de {'('(jiialion primitive compli'lc, dans hupudlc rt el h auront des valciii's

constantes, puisque les valeurs des expressions (^J et (^j sont encore les mêmes, soit ([uo a et A soient constantes ou variables, et les points d'attouchement pour des valeurs données de a et h seront drtei'minés par les deux é(jualions

F{a)=o, F'(6) = o, combinées avec l'équation primitive

de sorte que, pour chaque valeur de a et />, il n'y aura qu'un point de contact déterminé; d'où il est aisé de conclure que la surface jreprésentée par l'équation primitive singulière ne sera touchée en chacun de ses points ^e par une des surfaces de l'équation primitive complète

inais qu'elle sera touchée par toutes celles qui peuvent être représentées par cette équation, en donnant ii a et b des valeurs constantes quelconques; de sorte (ju'on pourra regarder cette même surface comme formée par l'intersection mutuelle et continuelle de toutes les surfaces dont nous parlons, en faisant varier successivement les valeurs des constantes a et />.

Cette théorie n'est, comme l'on voit, qu'une généralisation de celle que nous avons donnée dans la Leçon XVIII, sur les courbes représentées par les équations primitives ordinaires ou singulières des équations du premier ordre à deux variables.

L'équation primitive complète

2 = rta'H- Or +J\a, b].

(lue MOUS avons traitée plus liaul, représente, comme Ton voit, un plan dont la ])osition dépend des deux constantes a et h.

Si l'on fait

et (|u'on détei'inine a \y,\v réijualion

[)oui' avoir l'équation primitive générale, la suri'aee représentée pai' cette équation sera touchée et formée par l'intersection mutuelle et successive de tous les plans représentés par l'équation

en donnant successivement à a toutes les valeurs possibles, et cette sui'face sera développable dans le sens le plus étendu, ^[ais, si l'on détermine a et h par les deux é(|uations

ce qui donne l'équation primitive singulière, la surface représentée par cette dernière équation sera formée et touchée par tous les plans (jui peuvent être représentés par l'équation

z=ax -^ hf-hf[a,l}),

en donnant successivement h. a et h toutes les valeurs successives possibles.

Et toutes ces différentes surfaces seront représentées à la fois par l'équation du premier ordre

On peut voii*, dans les écrits de Monge, la théorie de la génération des surfaces et des é([uations qui peuvent les représenter, développée dans toute son étendue, et avec des considérations particulières et ingénieuses qui lui appartiennent.

DES FONCTIONS. :]Vî) *

L()i'S(|ii(' rrciiKilioii (lu piviiiicr oïdic icnrciiiicr;! plus de dois v;iii;il)l('s, ou ()(»uri';i ;ius.si l:i su|»|M>scr drduilc d'uuc (miu;!! i(Mi cuire ces nièiiies Viii'iahlrs, cl :iul:iul de coushiulcs aihiliaiics (|u'il y ;iui;i <lc vai'inhics moins une; (mi- alors cette é(iuali(.u luuruira aulaiil (Triiualiuiis dérivées (jifil y aura de couslaiiles, par lcs(|U(dlcs ou poui'ia, eu éliminant ces conslanLes, parvenij- à l'écjuation du premier oidre.

L'éqiialiou avec les constantes arbitraires sera doue re(|uali(.u primitive compli'le de ré(|iuili(ui du premier «u-dre: et l'on eu jx.urra de- •liiire des é(|ualions primitives |)lus ou moins -éuérales par la variation de ces C(mstanles, en supposant rime, ou (|U(d(jiies-iiiies d'eulre elles, lumiions de toutes les antres, et les delermiiiaiil par les e.|iialioiis dérivées prises |)ar rapport à eliaeiiue de e(dles-ci.

Iintin SI, sans éta])lir aucun rapj)ort entre ces constantes, ou les détermine toutes par les équations dérivées prises par rap|)ort à cliacune d'elles en particulier, on aura l'équation primitive sin-nliére; car, par ces déterminations, les équations dérivées resteront les mêmes, et le résultat de rélimiuarion sera, par conséquent, le même que si les variables étaient demeurées constantes.

Ainsi l'équation entre quatre variables /, x, y, z et trois constantes a, h, r,

sera la primitive complète de ré(|iiatiou du premier ordre entre /, .r. y, z. et les trois (onctions dérivées [Çy {^^V (i^j, déduites i\v.^ trois dérivées j)rises par rapport à /, x, y,

Fit

en éliminant, par leur moyen, les trois constantes a, h, r. De là, en regardant a, A, c comme variables, et faisant

on aiiia re(|uation primitive générale par les deux étjuations dérivées

relatives k a ci b,

et, si l'on fait à la fois

c = 9(rt), b = ']>{a],

on aura une autre équation primitive moins générale, en déterminante par l'équation relative à a

F» + d;» F'(6) + o'(fl) F'(c) r^o.

Enfin on aura l'équation primitive singulière par les trois équations dérivées relatives à a, h, c,

On voit par là qu'en général toute équation du premier ordre entre trois variables, dont une est censée fonction des deux autres, peut avoir pour équation primitive une équation entre ces mêmes variables, contenant une fonction arbitraire; que toute équation du premier ordre entre quatre variables, dont une sera censée fonction des trois autres, pourra avoir pour équation primitive une équation entre ces quatre variables, contenant une fonction arbitraire de deux quantités formées de ces variables, et ainsi de suite : l'introduction de ces fonctions arbitraires dans les équations primitives et leur évanouissement dans les équations dérivées sont le vrai caractère qui distingue les équations dérivées à plusieurs variables de celles qui n'ont que deux variables, et OLi l'équation primitive n'admet que des constantes arbitraires.

Nous avons donné plus baut une méthode directe pour trouver l'é- (|uation primitive de toute équation du premier ordre à un nombre quelconque de variables, lorsque les fonctions dérivées n'y passent pas le premier degré. On peut, par une considération fort simple, que j'ai proposée il y a longtemps [Mémoires de Berlin de 1772 ( ^)], rendre toute équation du premier ordre à trois variables susceptible de cette méthode. Mais il se présente alors, dans l'application de la même mé-

(') OEin'ics de L(i^r(ing(\ t. III, p. 549-

DES FONCTIONS. :}ol

lliodc, (les difficullés (|iii oui ('■(■Ii;i|)|k'' ii ceux (jiii ont firjii r;iil ci-llc ;i|)|)lic;i(ion, et (|ii(' j(! ir;ii |):ts clicrclir à it'SoikIic (I;iiis I:i 'Vliroric des /bnclions {*), en trailanL le; idùiik; siijcl, jiaicc (|in' je n'avais encore rien trouvé de satisfaisant. C'est ce qui in'engajjje ii tcvciiir sur rv\ objet pour n'y plus rien laisser à désirer. Faisons, pour plus de simplicité,

toute é(jualion du premier ordre à ti'ois variables sera repiésenlée par

et l'on aui'a la formule

z' = px'-^(jy',

à lacjueile il i'audra satisfaire par le moyen de l'une des indéterminées /) et q, l'autre étant donnée par l'équation du premier ordre.

Comme les quantités p et q ne peuvent être que des fonctions de .v, y, z-, si l'on suppose

on aura l'équation

z' = x' 'li[x,y, z) +j' o{x,y, z),

(jui ne peut avoir une équation primitive qu'autant (jue les fonctions désignées par ^ eto satisferont à la condition

comme nous l'avons vu dans la Leçon précédente. Or, puis({ue

^(•=^»r'2)=/> CL o.x,x,z]^q, on aura

(') OEtH'ies de Ldgrnnge, l. IX.

donc, fitisant ces substitutions, on aura, pour l'équation de condition, celle-ci (lu premier ordre

ou hicu

L'équation donnée l'ournil ces trois dérivées, relatives à x, y, z,

par le moyen desquelles on pourra éliminer les fonctions dérivées de p ou de f/.

Kliniinons celles de q; on aura, par la première et la troisième,

g'\^ F-(^) ¥'ip)/,y

et, substituant ces valeurs dans l'équation ci-dessus du premier ordi'c, elle deviendra

F{x)+p ¥'{z] + Y'ip] (|-!) + FVy) (^') + [p ¥'[p] + g F(^)] (f^) =o,

où Ton voit que les fonctions dérivées de l'inconnue /< ne sont (ju'à la première dimension, la quantité <y étant d'ailleurs une fonction de p, r, y, z, donnée par l'équation

DES FONCTIONS. :yô.\

I.ors(|ir()ii îiiira (IcIcniiiDc, |t;ir ces ('(|ii;ili()iis, 1rs foiiclioiis /; <■( «y,

z' ^ px' -V- qy

;iiii;i ii(''('('Ss;iir(Mii('iil iiiir (''(iinilioii |iiimil ivc, (jiii sci-i en inriiic triiipri'(|ii;ili(iii priiiiilivc de l;i pi'ojjusrc du pif-iiiicr nidrc

(!()iii|>;ii'(His iii;iiiil('ii;iiit r(''(jii;ili(>ii ci-flcssiis, (|iii roiiliciit les (uim- (ioiis (Icnvccs (le p rchilivciiiciil ;iii\ Mois varial)l('s .i\, y, z, avec la loi'iiinlc

rh'-^

(]ii(' lions avons déjà liailcc dans ccUl' J.cçon, cl dont lions avons vu (jnc ré(}nalion priniilive dépend des trois équations particulières

se' — i'L=^o, y' — /'M--=^o, s'--/'N = o;

lions aurons, en prenant respectiveiiHint les variables x, y, z, p ;i la place des variables /, .i\ y, z, les valeurs

ï f"(^) AT— P l^>)+</ F'((y) Y[x)-^p F'i'z-:

de sorte (jue les trois équations particulières deviendront

/ Y'{p]--x' F'(g) = o, y V{p) - x' \p ¥'(p) + g F'(7)] = o, p'F{p)-r^x'[V'{x) -i^pV\z)] = o.

Comme ces trois équations ne renferment (|n(' (juatre variables ^r, v, z, p, on pourra les réduire à une seule entre deux variables; ainsi la difticulté est rabaissée aux équations de ce genre.

Supposons donc qu'on ait trouvé leurs équations primitives (jui rentermeront nécessairement trois constantes arbitraires a, h, r; on j)oiii'ra en tirer les valeurs de ces trois constantes en .r, v, z vl p\ et, si l'on \. 45

dénote ces valeurs par P, Q, R, on aura sur-le-clianip, conmie nous l'avons démontré, ré(]iiation

pour l'equalion primitive de l'equalion du prentier ordre en .r, y, : et /}, la l'onction 9(P,Q) étant une l'onction arbitraire quelconque de P ci de Q.

dette équation, combinée avec l'équation donnée

donnera les valeurs de /; et q en -x-, y, z, qui, étant substituées dans

ré(juation

z' = px' -{-qy',

la rendront susceptible d'une équation en .r, y, z, qui sera l'équation chercliée.

Comme juscju'ici rien ne limite la l'onction o(P,Q), il s'ensuivrait (jue l'équation primitive d'une équation du premier ordre à trois variables pourrait renfermer une fonction arbitraire de deux ([uantités, tandis que, dans les cas (jue nous avons examinés, nous n'avons jamais li'ouvé que des fonctions arl)itraires d'une seule quantité: il est d'ailleurs facile de se convaincre qu'il est imj)ossible de faire disparaître d'une équation à trois variables une fonction arbitraire de deux (] uantités, par le moyen de ses deux équations dérivées.

Cette difficulté, je l'avoue, m'a. longtemps tourmenté; entin je suis parvenu à la résoudre par les considérations suivantes.

Je remarque d'abord que, comme les trois équations

satisfont, par l'bypotbèse, aux trois étjuations du pi'cmier oi'dre

p'F[p) + x'[ ¥[x]-,-pY'[z)-\^o,

avec It's constaiilcs ai-ldlraircs a, h, r, si l'on (ir-c de ces iiiriiics ('(jiiatioiis

les valeurs de .r, y, z en loiiclioii de />, cl (iiToii les siil)slitii(' dans les (''(jiialions ])r(M'(''d('n(('s, (dics dcviciidioiil iirccssaii-cinciil id('nrK|iH's : de sorte (jiic, |)ai' ces suhsLiliihoiis, les pi'emicrs iiiciiilM'es des ('(jiialioiis doiil il s"ai;il deviendronl id('iili(jiieineiil mils, (]ii(dles (jue soient les valeurs de /^ a, h, c \\\\ p;é!iér;il, comiiic les xanaltles r, r, ", /> sont reiiardées eoniine indépendantes, il ser;i indill'erent de snltstilner les valeurs de trois de ces vai'iahles exprimées en lonclions de <•/. />. r el de i;i (|u;ilriéme vai'iahle.

Or le premier membre de la première, étant mulli[di<' |)ar (j et relranelié du picmier membre de la seeonde des mêmes éfjuations. donne

V \p) .[z' ~ p x' — qr').

Donc, si dans la l'ormule z' ~ p.x' — (jv' on l'ait les mêmes substitutions des valeurs de .r, r, c en y-», le résultat sera encoi'e identicjuemenl nul.

A la place des variables r, r, ; on peut, sans nuiie a la i;énér;ilité. introduire les (|uantités«, h, r, regardées comme vai-iablcs, en conservant les niénies expressions de .r, v, z en a, h, c Aloi's, dans la formule z' — px' — qy\ les termes provenant de la variabilité de p se (bMruiront mutuellement, puisque ces mêmes expressions l'cndcMit cette l'ormule nulle dans le cas où a, h, c sont constantes; elle deviendra donc de la forme Arz'-i- B/>' -h Ce', dans laquelle A, B, C seront des fonctions de /^ a, b, c.

Donc ré({ualion

z' — px' — qy' = o

deviendra

\(i -\- !>// + Ce' =: o;

et la condition (pii doit la rendre susceptible dune equali(Ui primitive sei'a, par ce (jue nous avons trouvé.

puisque la substitution des valeurs de .r, y, z en /;, a, b, r donne

d'oii ces valeurs sont supposées tirées.

Oj-, en })renant les fonctions dérivées, on a

c' =^ a' 9'(rt) + l>' ^V-*)-

Donc, faisant ces substitutions, récjuation

aura nécessairement une équation primitive, ce qui ne peut avoir lieu (|u'autant que la variable p disparaîtra d'elle-même de ré({uation, puisque sa fonction dérivée/?' a déjà disparu.

Alors ré(}uation sera entre les deux seules variables a et h, et aura toujours une équation pi'iniitive, par bujuelle h deviendra fonction de (( seul; et cette fonction sera arbitraire, à cause de la fonction aibitraire o{a, b).

Ainsi les deux quantités h et useront nécessairement, l'une et l'autre, fonctions de a seul; mais il faudra qu'elles satisfassent à l'équation

Aa'4-R6'4-Cc'=o.

Soient donc

h z= f\)[a), c = cp ( rt ) ;

en les substituant dans cette é(iuation, on aura

A-hR^'(a) +C 9'(rO=:();

ce qui doniu' une relation entre les deux fonctions o(rt) et '|(«), et il en restera une d'arbitraire.

.Maintenant, si l'on remet pour (i, b, r leurs valeui's \\ Q, H, ou aui'a, pour ré({uation primitiv(^ cbercbée, le système des deux é(|uations

d'où, en éliminant /v, on aura une éijuation en .i, v, z, avec une fonction arbitraire.

:{;iT

Telle est la soliilioii (lircclc et comiiii'lc du itrohli-iiic ; mais nonverrons (lu'oii pciil la >iiii|tlili('r dans pinsieiii's eas. Prenons pour e\eni|)lr rc(|nalioii du pn-niier ordre

On aura iei

V[x,r, z, f}, q) = z — pq =;- o;

donc

et les (rois é(jnali()ns du premier ordre en .r, v, z, /> devieiidronl — qy' + px' =: o, — qz' + y.pqx' -- o, — qp' 4- px r «>. Or ré(|ualion

donne

(lon<' les trois équations doni il s'agit deviendr(»nt

Zr' — p-x'=^(), z' — 2px'=:0, Zp'~p-x'^^n,

et l'on pourrait taire Tune des tbnctious dérivées a?', v', z' , j) ciiale à l'unité.

La ])remi('re et la dei'uii're donnent

d'où l'on lire l'équalion primitive

a étant une constante arbitraire.

Ensuite la seconde et la troisième donnent

savoir,

p z = 2.zp ,

:î58 LEÇONS SUR LE CALCUL

les fondions primitives logarithmiques sont

d'oii l'on lii'c

z = bp-,

h élant une constante ai'l)iti'aire.

Iilnlin, si clans la première on substitue // pour -y' et /yr pour z, on

a, en divisant par//*,

bp — .%■' = o ;

d'oii l'on dédail, en prenani les fonctions primitives.