X := bp -i- c

r riant la troisième constante arbitraire.

Ainsi on aura, en dégageant les valeurs de ces constantes,

a =zy^ — « =; P ^ = -- ziz 0, c ^= X — - = R.

.Mainlenant, si dans l'équation

z' — px' — qy' =: o

on substitue nour 7 la valeur -^ elle devient ' P

z' — px' — -— =: o.

Va si, à la place de .r, v, z, on y met les expressions trouvées ci-dessus en/?, <7, h, c, en regardant les quantités a, h, c comme variables, on a la transformée

/;- b' H- ■>, bpp' — p- b' — bpp' — pc' — bpp' — bj)a' -- o,

(|ni, en efîaçant ce qui se détruit et divisant ensuite par/;, se réduit a

c' -h bd = o.

Donc, faisant

/> = -]/(«), c=:cp(a),

on aura

DES FONCTIONS. :j;i!i

Ainsi on ;iiii;i le svsti'iiic de ces deux ('(jinilioiis

R = <p(P). Q = -o'(P), s;iV()ir,

d'où il iMiidra (diiiiiiici'/;, cl l;i (onction o;v —/>; dctiiciircr;! ;iil»iii;iirc. Nous ferons ici une rcin;ii'(]n(' iniportaiilc : lors(|iron ;i lionvc deux ('(juations priinilivcs l'cid'crniant deux constantes arlnlraii'o. comme

y = j) -;- (i cl z := hj)-,

on pourrait eroii'e (|u'en éliminant /> on aurait une équation primitive avec deux constantes arbitraires, (|ui serait, par conséquent, r(M|iialion primitive complète de la proposée, et d'où l'on pourrait cn>(iitc tirer ré(juatiou primitive générale avec une Ibnction arbitraire. On aurait, de cette manière, l'équation

Mais il est facile de s(! convaincre (ju'elle ne satisfait pas ;t la proposée

car (die donne:

il en serait de même si l'on em|)lovait, poui" (diasser/-/, la seconde cl la ti'oisième étjuation; on aurait alors

c =^ X — \Jbz ,

savoir,

{jc — c-]-

cr (jui donnerait

:î60 leçons SUR LE CALCUL

-Mais, si l'on cinployait la première et la dernière, on aurait, par l'élimiiialioM (le />, . .

d'oii l'on tire

(•(■(((' expression donne

valeurs qui salisiont à la proposée.

La raison de eette espèce de i)izarrerie se trouve dans l'équation

donnée plus haut

c -+- ba' = o.

h]!le l'ail voir (jue les deux quantités a et c peuvent être constantes ensemble; que, par conséquent, les deux équations

P = « el II = c

ont lieu à la fois, de sorte qu'en éliminant /v on a une équation en œ, )', z et les deux constantes arbitraires a, c, qui sera, par conséquent, l'équation primitive complète de la proposée. Mais l'équation ne serait ])as satisfaite par la simple supposition de a et h, ou de h et r, constantes ensemble; d'où il suit (jue les deux équations

P = rt el Q =:^ b, ou O = /> el R = c,

prises ensemble, ne satisfont pas à la proposée.

Au reste, on peut trouver l'équation primitive complète, au moyen d'une seule de ces équations; car elle donne une valeur de p en x, r, ::: et une constante arbitraire; et, comme cette valeur satisfait à l'équation du premier ordre en .r, y, :; et/>, elle rendra l'équation

z' — px' — qy' ■=■ o

susceptible d'une équation primitive : ainsi il n'y aura qu'à chercher cette équation en y ajoutant une constante arbitraire, et l'on aura l'équation primitive complète avec les deux constantes.

i)L:S l' ONCTIONS. 361

^*" '•'•■" '»" '"•'■'•;' '!'■ rf<|ii;.li()ii lioiivc h. valeur (IcyM'ii.r, V, .- cl,

coiiimc

P=^\yh

"" ''''<''•'•'"'••' l'<'"|ii:.li()ii iH-iriiilivc, ni ne n-;,nl:,„| ,|,m. c h ,,• , .0,11,1, vai'K.I.Irs. On,. .M|ii;,(i()ii pourra al<.i-s iriilrrmcr une (oiiclioii arl.ilrai, (Ic.v, (|ir()iMlrl..rn,ii,oraaisrni(Mil par rr.|i,alio,i pn,po>rc; .•|..„„mm '••'N.'-.-i ,.>( (I„ p.r.ni.'r or.|,T, h, lon-Mioii ,!,■ y rcnlrnnc-a an inoiii •me .•oiislaiif arl.il,ai,r, <lc soUc ,|,i'o,i aura <l,. iio.ivcaii un., r.iualio pniiiilivc conipli't,. avec les deux conslanlcs.

J'i'<"iions <lans IVxcnpIr prrcrdrnl la pirmii-rc ('.inalion I» n

savoir,

\1\\l' (loiinc et, ('oninic on a

on aura

Ces deux valeurs, étanl substituées dans ré(|uation

donnent

e(fnalion (pii. étant divisée par )- - ,/, ;, p,,,,,. prnniiiv,

OÙ c est la nonvfdie constante ai'l.ilraire.

Or cette e.jiialion est la niénie (jne nous avons Inmvee ci-dessns par rfdiniinalion de p.