LEÇON QUATRIÈME

FONCTIONS DÉRIVÉES DES QUANTITÉS EXPONENTIELLES ET LOGARITHMIQUES. DÉVELOPPEMENT DE CES QUANTITÉS EN SÉRIES.

La fonction x"\ dans laquelle x est la variable etw est une constante, conduit naturellement à la considération de la fonction a^, dans laquelle la variable est x, et où a est une constante. Ces sortes de quantités s'appellent exponentielles, parce qu'elles ne varient qu'à raison de l'exposant.

Pour trouver la fonction dérivée de a^, il n'y aura, suivant le principe général, qu'à substituer ^h-/ à la place de x, et développer suivant les puissances de i; le coefficient du terme affecté de i sera la fonction cherchée.

Cette substitution donne la fonction

Supposons « = I -h ^, on aura

aiz=[i-\-bY, et, par la formule générale démontrée précédemment, on aura

, ,■ -7 '(«' 0,0 l{l—^){l—'^^)lo

ai=z{i^ b]'=i-^ ib-\ ^^ 62+-^ '-4- '- b^-\-

En ordonnant les termes de cette série suivant les puissances de-«, il est facile de voir que les deux premiers termes du développement

de a' seront

Soit, pour al)i'Ô£j;rr,

on aura donc i h- ci pour les deux premiers termes du développement de a'; par consfMjuent, en [iinltipiiant par rt^ on aura rt*"-}- ca''/ pour les deux premiers termes du développement de a'""'. Donc ca^\ coefficient de /, sera la fonction dérivée de a''.

Le coefficient c dépend, comme l'on voit, de la quantité a, qui est comme la hase de l'exponentielle, et l'on nomme communément ce coefficient le module.

On peut ainsi établir cette règle, que hi fonclion dérivée d'une quantité exponentielle est égale à cette exponentielle multipliée par un coefficient constant qui dépend de la base de l'exponentielle, et qu'on nomme le module.

Puisque la dérivée de a-' est c«'', la dérivée de celle-ci sera c-a^' , et la dérivée de cette dernière sera de même c^a"^, et ainsi de suite.

Ainsi, en faisant/ .r; = /7'", on aura

f'[.v]=.ca^, /"(^)=c2a^ ....

Donc, substituant ces valeurs dans le développement àef[x + i), on

aura

c- c^ a-^-^i = a-^-h ca-^i h a'^i- H a'^ t-^ + . . . ,

et, divisant par a^,

C'est la série dont nous n'avions trouvé ci-dessus que les deux premiers termes. Elle peut servir, comme l'on voit, à réduire toute puissance en une série ordonnée suivant les puissances de son exposant.

On peut par cette série déterminer directement la valeur de a en c.

En faisant « = i , on aura

K(, lorsque c= i, la valeur de a se trouvera exprimée par la série très simple

(luiil la valeur esl

C'est le nombre qu'on désigne ordinairement par e, et qui esl paiconséquent la base des exponentielles dont le module est l'unité.

Ainsi, en faisant /(a;) = e"", on aura simplement /'(.r) = e', f"[(r) = e*", . . ., et conséquemment

2 2.3 2.3.4 Si, dans l'équation trouvée ci-dessus

a'=^ I + ci ^

on fait i = -■> on aura

ff' = I -i- n \ K + . . . = e,

Ainsi l'on a- entre les trois constantes a, c et e la relation

d'où l'on tire

Cette équation donne aussi

d'où l'on voit qu'en prenant c négatif, a se cbange en -; ainsi , en faisant ces cbangements dans l'équation

(lonnôe ci-dossiis, on ;iui;i

Cette sri'ic csl plus propre (|ii(' l;i précrdciilt' ;i (loiiiici' l;i valeir.- de <\ l()rs(ni(! a est un noiuhi'c plus grand (|ue l'unité. |{n Inisanl a - \ o, on ;i

et l'on ti'ouvera, par le calcul,

On peu! exprimer toute (juantité variable par une eonstante élevée à une puissance variable; alors l'exposant de cette puissance devient une fonction de la niénu' quantité, et cette lonction est, dans le sens le plus général, le logarithme d(! la quantité proposée. D'où l'on voit que les tbnctions logarithmiques ne sont proprement que les réciproques des fonctions exponentielles.

Nous dénotons, en général, les logarithmes d'une quantité par le mot log, mis en avant de cette quantité en forme de caractéristique. Ainsi log.T exprimera le logarithme ou la fonction logarithmique de j-, et cette fonction sera donnée par l'équation x = «'"«'■, où a, hase de l'exponentielle, sera en môme temps la hase du système logarithmique.

Poui- trouver maintenant la fonction dérivée de log.r, on fera, en

général,

/(x)=log.r,

ce qui donnera J:' = «•^'•^^ et, mettant j;H-/à la place de .v, on aura

équation (jui doit être identique, et avoir lieu par conséquent, quelle que soit la valeur de i. Or, par le développement, on a

en posant

Cor^-*7'(^)4-^/"(^)+.--;

donc, faisant cette substitution, on aura

et, divisant par .r,

Or, par la formule trouvée ci-dessus, on a, en général.

-l-cw H

donc on aura