LEÇON VINGT ET UNIÈME

DKS ÉQUATIONS DE CONDITION PAR LESQUELLES ON PEUT RECONNAITRE SI UNE FONCTION d'un ORDRE QUELCONQUE DE PLUSIEURS VARIABLES EST UNE FONCTION DERIVEE EXACTE. ANALOGIE DE CES ÉQUATIONS AVEC CELLES DU PROBLÈME DES ISOPÉRIMÈTRES. HISTOIRE DE CE PROBLÈME. 31ÉTH0DE DES VARIATIONS.

Toute fonction d'une seule variable peut toujours être regardée comme une dérivée exacte; car, si elle n'a pas naturellement une fonction primitive, on peut toujours en trouver une par les séries, soit en résolvant la fonction donnée en série de puissances de la variable, et prenant ensuite la fonction primitive de chaque terme, soit en employant la série générale donnée dans la Leçon XII.

Il n'en est pas de même pour les fonctions de plus d'une variable; et quoiqu'on puisse toujours s'assurer, par les règles de la dérivation des fonctions, si une fonction composée de différentes fonctions dérivées résulte d'une fonction primitive donnée, comme nous l'avons vu dans la Leçon XIX, il est souvent difficile de juger si elle est une dérivée exacte d'une fonction quelconque inconnue. Cet objet a occupé les géomètres presque dès la naissance du Calcul ditférentiel; ils ont cherché des caractères généraux pour reconnaître si une fonction d'un ordre (juclconque peut être la dérivée exacte d'une l'onction de l'oi'di'e immédiatement inférieur, ou même d'un ordre inférieur quelconque. Ce sont ces caractères qu'on connaît dans le Calcul différentiel, sous les noms de conditions iVintègrahilitè, et qu'Euler et Condorcet ont réduits à des formules générales et élégantes, qui méritent d'être connues.

DES FONCTIONS. :w.\

Vi)\\\' liouvcr CCS rormiilcs de ia iiiaiiicic la plus simple, jr coiiiiiicucc par coiisidrivr une Iniiclioii \ de diUcrcnlcs vaiiaMcs .r, v. z, ... cl de Iciifs dnivécs, dans la(|ii(dlc une de c-s vaiialdes :: et ses dei-ivées z',z", ... ne se (ronveiil |iarloiil (jii'a la preiniiTc dimension; il esl riair (|ne la lonelinn \ sera de celle lornie

V= .\2 + Vz'-hQz"-,- \{z"'-+-. ..,

N, l\ O, ... clanl des (onelions de .i-, v, ... el de Iciir^ dérivées sans .-.

Kieii n'es! plus l'aeile (|ue de ti'ouver les conditions nécessaires jioui- <l"'""'<' ''•»"""li<>i> <!<' ••'•Ile lornic soit une dérivée exacte, iiHlependaniment d'aucune redation onlre la variable :: et les autres.

Kn eU'el, si l'on considère les fonclions dérivées du produit de deux (juanlités quelconques, et (jifon dcnol»', comme nous l'avons pr(q)os(' a la lin de la Leeon II, par des traits appliqués aux parentlieses, les ronclions dérivées des (juantilés reulermées dans ces pan'utlM\ses, on a

{Vz]'=Pz'~[- Vz; donc

Pz' = ivzy—i*z.

On a de la nié/n(^ manii're

Qz"= iO'z-i' - Q'z', Q'z' . [Q'z]' - i)"z; (loue

Q-"={Qz']'- [()'-]'+ Q"z.

On trouvera pareillement

I{2'"= {Kz"]'- (R'2';i'+ (H"-/- H"':r,

et ainsi de suite.

Faisant ces substitutions dans l'expression de \ , elle devieni. .mi oi'donnanl les termes,

+ (Q-')'-(HV)'+...

Comme tous les termes de cette formule, à l'exception de ceux de la première ligne qui se tiouveiit luullipiiés j);ir ;:, sont déjà des fonctions dérivées exactes, il faudra, pour (jue la fonction A' soit une dérivée exacte, que les termes multipliés par z-, savoir :

forment ensemble une fonction déi'ivée exacte.

Oi- il est facile de se convaincre que cela est impossible tant qu'on n'établit aucune relation entre z et les autres variables. Donc il faudra que ces termes disparaissent d'eux-mêmes de l'expression de Y, ce qui donnera l'équation de condition

laquelle devra par conséquent être identi(iue pour que la fonction V puisse avoir en général une fonction [)rimitive. Lorsque cette condition aura lieu, la fonction primitive de V sera évidemment

(P (r+ ir- . . .)2 + (o - ir + ...;,;-'-+- (R - ... ; -"+. . . .

En général, quel que soit b^ nombi'C des vai'iables contenues dans la fonction V, si Tune d'elles ainsi que ses dérivées sont linéaires, on aura toujours, relativement à cette variable, la même équation de condition, pour que la fonction Y devienne une fonction dérivée exacte, indépendamment d'aucune relation entre ces variables.

Après avoir résolu le cas des fonctions linéaires par rapport à l'une des variables, nous allons réduire à ce cas très simple la recberche des équations de condition pour les fonctions d'une forme quelconque.

Supposons qu'une fonction Y de ^r, r, v', v", ... d'un ordre quelconque soit la fonction dérivée exacte de la fonction U de l'ordre immédiatement inférieur, indépendamment d'aucune relation particulière entre a- et y; il est clair que, si dans ces deux fonctions on substitue à la fois j' + w à la place de v, et conséquemment r' + o/, ■k" + co", ... à la [)lace de v', y", ..., en supposant (o une fonction indéterminée de a-, ces fonctions continueront à être l'une la fonction dérivée exacte de l'autre, puisque cette dérivation ne dépend point

DES 1' ONCTIONS. :{(iT

(le h» v;iliMii' (le V. Donc elles le secoiil eiicoi'c si, ;i|)i"i'S ces subslitiilioiis. on les (leve|()[)[K; stiiviiiil les piiissMiiees et les |U'o(luils île <u. (» , (»" , ....

DéiKttoiis pur r l;i lohililé des (eriiies <Iii développeiiieiit de l , où les (|iiaiililés (o, (->',(.>", ... ne se Iroiiveroiit (|ir;i l;i pi'eiiiii're dimension; j>;ii' r la lolalilé des lerines on ces (|nanlilés lonneronl denx dimensions, eic.

Dénotons (le même |)ar \ la lolalité des termes dn dév(doppemenl d(; V, 011 les mêmes (pianlilés (o, (./, co", ... se trouveront à la premii'ie dimension: par \ la totalité des termes oii ces (piaiitites l'ormeronl d( ii\

dimonsions, etc.

' -. •' On aura l ' -f- l, -h U -*- U , ... pour le dévidoppenienl de L, el

) j .t V -f- V H- V -h \', ... pour le dév(do|)j)em('nl de V.

(^otte dernière série sera donc la Ibnetion déi-ivée exacte de la première; et il est facile de voir que chaque terme de l'une devra être la fonction dérivée de l'antre, tant (jne les (juantités co, o/, o/', . . . denn-u- ['(M'oiit indéterminées: car, ces (piantités n'étant (in'ii la preniii're dimension dans la lonetion de \', sa fonction primitive ne ponri-a contenir aussi (jue les premières dimensions des mêmes (juantités; par consê- (juent il n'v aura (jiie le terme l' (jiii puisse être sa fonction primiliNc. H eu est (le même des teruu'S correspondants V et L', où ces (]nantitês montent à la secomle dimension ; et ainsi de suite.

Il faut donc d'abord (|ue la foiH'lion \ soit une dérivée exacte, indépendamment d'aucune r(dation entre .f, y et <o.

Or, puis(|U(; \ est la partie du développement de \' (pii ne l'ontient que les premières dimensions de (o, (■>', <./', ..., il est clair que cette fonction ne peut être que de la foi'me

les coefficients N, P, Q, ... étant des fonctions de .r, v. v', v"

sans oj. Ainsi tout se réduit à trouvei' les conditions nécessaires pour

qu'une fonction de cette forme soit, généralement parlant, une dérivée exacte.

On a donc ici le cas que nous venons de résoudre, et il est visihie (ju'en prenant hi variable co à la place de :■, et conservant les autres dénominations, on aura l'équation de condition

N-P'-t-Q"-lV"+...— o,

laquelle, devant avoir lieu d'elle-même indépendomment d'aucune relation particulière entre x et y, devra être entièrement identique. Cette équation ayant lieu, on aura pour la fonction primitive de \,

(Test par conséquent la valeur de la fonction U.

Ayant ainsi la valeur du premier terme U du développement de la fonction primitive U, on pourra en déduire les valeurs de tous les termes

suivants U, U, ... par les principes exposés dans la Leçon XIX, en regardant les quantités y, y', y", ... comme autant de variables indépendantes; car, si l'on représente la quantité L par la fonction

la l'onction

développée suivant les puissances et les produits des quantités o), o/, oj", .. ., deviendra

¥[x,r,r'^r"> ■■■) + ^'> F'ir) + 0^' f'i/') ^ '>" F'(r") +• • •

Je ne renferme ici entre les crocbets, pour plus de simplicité, que les quantités par rapport auxquelles il faut piendre les fonctions dérivées indiquées ])ar les accents.

DES roNCTIONS. 301)

Un aura donc ainsi

Û = w ¥\x] -r- w' F'(/) -h co" F'{7-") -4- . . . ,

Or, ayant trouve i-i-dcssus la valeur do l, la coMijiaraison des trimes niulli|)lies par cj, o/, i./', ... donnera

Avant ainsi les fonctions dérivées du premier ordre par rapport a

chacune des quantités v, v. v' on eu déduira, parles rèifles

données, les fonctions dérivées du second (U'dre et des suivants, par

rapport à chacune des mêmes quantités; on aura par consé(juent les

valeurs des termes suivants U, C, ... du développement de L . Or on

suppose

f -^.r,^',.)", .. . =1, et

F'jr, .}• ^ oi,y-i-cù',y'~ cj", ...= l' t' L -^ L -+-... . Ainsi on aura

F .r. >• — (,y,y -T- (.)',) " -f- Gi", . . .) — ¥[X, y, r\y', . . = { ^ l -u ( ^

Par conséquent la différence des i\vu\ fonctions

seia donnée au moi us par les séries.

KeprestMitons par

la fonction proposée V dont on a suj)pos(' (jue L' ou F .i\ v v' v )

est la fonction piiiiiitive ; on aura F .r, ■>' -h co, v'-h o/, v" -i-co", ...) pour la Ibnclion piiinilive de/^.r, vH-w, y'H-to,.r"-h w", ../; donc la loiictioii j)rimitivo de /{.r, y -\- lo, y' -i- o/ , y" + o/' , ...) — /{-r, y, y' , y", ...) sf'i'a (loiiiH't'.

De ce que nous venons de déniontrei-, il suit :

i" Qu'une l'onction quelconque de la ïovmc /ix,y,y, y", ...) ne peut avoii' une fonction primitive, indépendamment d'aucune l'clation l'uli-e .r et v, à moins (jue l'écjuation de condition

(rouvée ci-dessus, n'ait lieu d'elle-même;

2" Que, toutes les fois que cette équation aui'a lieu, la fonction

f,x, r -i- w, / + oj', ;•" -T- './', ...)-/, ^, y, y', y", • • • )

aura nécessairement une fonction primitive, quelle (juc s(jit la valeur de co.

Faisons maintenant (o= — r; la fonction/(.r, v-hto, v'-ho/, y"-t-w",...) se réduira à/(-r) et aura par conséquent toujours une fonction primitive, puisqu'elle ne contiendra plus qu'une variable. Donc aussi la fonction /(.r, y, y', v", ...) aura nécessairement une fonction primitive.

Or, ayant supposé que

N OJ -n V m' ^ Q r,)" -^ R 0,'" + . . .

sont les premiers termes du développement de la fonction proposée V, lorsqu'on y anij^mente y de co, y' de o/, y" de to", . . ., c'est-à-dire de la fonction /..r, y -hco, y' -r- to', r"-f-to", ...\ il est visible qu'on aura, en conservant la notation adoptée,

de sorte que l'équation de condition deviendra

/'{r:-[.rir';]'-[/'(r )]''-[/(r.r----=o.

Cette formule est la même, à la notation près, que celle qu'Euler avait trouvée d'abord par une mélbode indirecte, tirée de la considé-

DtS FONCTIONS. 371

ration de muxunis cl inuiinns. cl (|ii(' (loiidoircl :i ciisiiitc dciiMMitréc dans son (\dtul inU'i^rnL Nous Ncnons de |)i(»n\('i' nttn scnicincnl (|nc l;i lundicni proposée ne pcnl rlic niic fonilion dciivcc cxiiclc, ii moins (|ni' r('(jnalion de condilion n'iiil lini, (•oinnie lùiler et (londoircl l'avaient trouvée, nniis enc<)i(' (|in', si celle é{]nalion a lieu, la loiM'lifUi sera nécessairement une dei-ivee exacte, ce qui reslail, w me semble, à démontrer; car la démonstration ({u'on en ti'ouve d;ins le lonie W des Aoc/ ('onuncntarii de Pétersbourg est si coniplicjuce, (|u'il est dil'lieile de jui;('i' de sa justesse et de sa généralité.

Si la lonclioii proposée conleiiail non seulciiieiil les v;iri;d(les .r, v avec les dérivées r, y", ..., mais de plus une autre variahli' z, jonction indéterminée de x avec ses dérivées c', :;", . . ., on ferait, par rapport ii cette dernière variai)le, des raisonnements et des opérations semblahles à celles (ju'on a faites relativement à la variable r, et l'on parviendi'ail ;i une équation de condition pour z, entièrement analoiiue à ecdle «piOu a trouvée pour v.

Ainsi, poui' (ju'une fonction quelconque de la l'orme

soit une fonction dérivée exacte d'une fonction de l'ordre inférieur, indépendamment d'aucune relation paiticuliî're entre v et r, on auia les deux équations de condition

/(r) - [/'(/)]'+ [/\r;]"- [f'y'ïï" + ■ ■ • -

Kt réciproquement, ces deux éipialions ayanl lieu d'(dlcs-uiemcs, (ui sera assuré que la l'onction proposée est une déi-ivée exacte, (pudles que soient les foniiious v et c.

Il se présente ici, avaul d'aller plus loin, une remar(|nc importaiile à faire.

Lorsqu'on a cbeicbe les conditions nécessaires pour (ju'une fonction donnée de .f, y, y', y", ... soit d'(dle-méme une fonction dérivée exacte, on a regardé j' comme une fonctiiui île r, mais inconnue; c'est pour-

(jiioi on a supposé que la fonction donnco ne contenait point les dérivées a-', x", ... de la variable x; car, suivant les principes de la Leçon VII, lorsque x est la variable principale dont les autres sont fonctions, on peut faire x' = \ , et par conséquent .x" = o, .x'"= o, .... Cependant si, pour plus de généralité, on veut regarder (ce qui est toujours permis et ce qui a lieu surtout dans les problèmes de Mécanique) les variables x et r comme fonctions d'une troisième variable t, alors toute fonction dérivée d'un ordre quelconque de deux variables x, y devra contenir également les dérivées de ces deux variables; et nous avons donné, dans la Leçon citée, les transformations nécessaires pour introduire les dérivées de x dans une fonction où l'on a supposé x'=^ i , Il faut seulement observer que, lorsque la fonction est censée être une fonction dérivée d'une autre fonction des mêmes variables, il faut de plus la multiplier par x'. Car, si V est une fonction de x, v, j', r", ..., où l'on a faitx'=i, laquelle doive êtr« une fonction dérivée d'une mitre fonction V, on aura par l'bypotbèse U'=^V; et, pour détruire la supposition de x'=^i, il faudra substituer à la place des fonctions

primes r', U' les valeurs ^5 -t\ à la place de la fonction seconde j"

la quantité — ^—5 et ainsi des fonctions des ordres supérieurs, comme on l'a vu dans la Leçon VU; ainsi l'on aura

^=V, et de là U'=V^'.

^Maintenant, si l'on considère une fonction quelconque de ^, r, ^\y' , x", y", . . ., et qu'on demande les conditions nécessaires pour que cette fonction soit une fonction dérivée exacte; en représentant cette fonction par

et faisant, pour abréger,

on ;iiir;i, parce (in'oii a (Iriiioiilrr plus liant, si les dciiN vai'iahlcs .zcl V sonl l'cganlt'C'S comme iiKlcpciidaiilcs, les deux é(jualioiis \ — o et Y— (), (jiii devront avoir lien ;i la lois.

I\[ais, si y doit être une loiiclion de .r, alors en substituant o(.x-; pour )' et les dérivées de ^^(.r), savoir : .r' o'(.r), x" r^'{x) -\- x'- rj"[œ), ... pour }'', )'", ..., il i'andra que la ronelion |)roposée devieinie simplement de la forme x'Y{x), comme si l'on y faisait x' = \ . Ainsi, si l'on met dans cette lonclion .r+; à la place de .r, et (in'rtn développe, en ne tenant compte (|ue des premières dimensions de ;, (die rlevieiidra

x' V[x) -f-^-' Y[x) + x'lV[x),

on l'on voit que les termes qui contiennent; foi-mcntensemlde nue jonction dérivée, dont la primitive est ç F(^), quelle que soit la valeur de ;.

Je conclus de là que, si dans la fonction proposée, où j est censé fonction de x, on substitue aussi ^-h; à la place de x, et qu'on dévelopi)e suivant '£, les termes qui ne contiendront que la première dimension de ; et de ses dérivées devi'ont former ensemble une l'onetion dérivée exacte, quelle que soit la valeur de ;. Or, r étant o{x), il deviendra, par la substitution de ^-h; à la place de x, o[x)-\-\o'[x), en ne tenant compte que de la première dimension de ç; donc, si l'on fait, pour abréger, ; o'[x) = l<), il faudra mettre y + (o à la place de v, tandis qu'on met .rn-; à la place de x.

Par ces substitutions et ces développements, les termes de la fonction proposée, qui ne contiendront que les premières dimensions de ;, se trouveront représentées par

et, par ce que nous avons démontré dans cette Leçon, pour que ces termes forment une dérivée exacte, il faudra (jue la quantité

soit elle-mènie une dérivée exacte.

37i LEÇONS SLR LE CALCUL

Cette quantité est la même chose que Xi-hYoo; ilonc, en mettant pour w sa valeur ; o'(j:), elle devient [X-hY o'{x)\l', et il est visible qu'elle ne peut être une dérivée exacte, indépendamment de la valeur de;, qui doit demeurer arbitraire; donc il faudra que cette quantité s'évanouisse d'elle-même, et par conséquent qu'on ait l'équation identique X H- Y <p'M =o.Mais, y étant o(^), on aen général j' = a?' o'{œ). Donc, substituant cette valeur de o'(^), on aura nécessairement l'équation identique

X^' + Yj"'= o.

Il suit de là (jue l'éciuation de condition X = o, qu'on aurait par la considération de la variable x et de ses dérivées, sera identique avec l'équation de condition Y = o, qui se rapporte à la variable y; car, faisant X=o dans l'équation précédente, on a nécessairement Y = o.

On prouvera de la même manière que, pour une fonction composée des trois variables .r, y, z et de leurs dérivées, on aurait l'équation identique

en supposant

De sorte que, dans ce cas, l'équation de condition X ~ o serait comprise dans les deux équations Y = o et Z = o.

Ainsi on pourra toujours, dans la question présente, se dispenser d'avoir égard aux dérivées de la variable principale et à l'équation de condition qui en résulterait.

Si l'on voulait que la fonction V fût une dérivée exacte du second ordre, il faudrait de plus que la fonction primitive de Y, c'esl-à-ilire la fonction U, fût elle-même une dérivée exacte. Or on a

\j ^ p o> -{- q w' + roi" H- . . . ,

en supposant, pour abréger,

yr, = P-Q'-hR"-..., q = Q-K' + ..., r=l{-...,

DES FONCTIONS. :î7.i

t'I il f'sl liicilc (le liodvcr, |);ii' les iiiriiics pi-océdôs (|ir<)n ;i riiiplovt'S I I

poiii' l;i loiiclioii \ , ([lie l:i condilioii ii(''C('ss;iii't' puiir (jnc l:i loiidioii l

soil «.'oiisidrirc cxaclc, iii(lr|H'ii(l;iiiiiii('iil de l;i valeur de ';;, csl n'wi't'V-

incc dîiiis rr(|ii;ili()ii

!;i(|ii(dl(', en rciiuitaiit |)(»iir/>. y, /', ... leurs valeiu's, devient

DoDc, |)()iii' (nriinc fonction de la i'onno, /^ .r, y, y' , y". ... soit une IbiicLioii dérivée exacte du secuiid ordre, e'est-à-dire une foiiction dérivée (rime fonction dérivée, indépendauinienl d'aucune r(dation particulière entre .r et r, on aura, relativement à v. outre la preniii-re e(|ualion de coiidiliou, ('(dle-ci :

/!>■') - •>- [.f'{r"ÏÏ + 3 [/'(/")]"-. ..-<..

Kt l'on aurait une pareille équation i'(dativeinent ;i r, si la fonction proposée conlenait aussi z, z' , z", ....

On trouverait de même, pour que la proposée fût une l'onction dérivée du troisième ordre, cette troisième équation de condition, ridalive-

nient à )',

et ainsi de suite.

Enfin si l'on suppose qu'on n'ait, poui' la détermination d'une l'oncli(Hi //, (ju'une équation d'un oidre qu(dcon(|ne entre //. .v et v et les fonctions dérivées //', //", . . ., y', y", ... de // et de v, et (|n'on demande les conditions nécessaires pour que // soit une fonction de .r, v. v', y", ..., indépendamment d'aucune relation entre .r et y, le jjroldème pouri'a encore se résoudre par les mêmes |)i'incipes et en suivant la même métliode.

Soit V = o l'é(|ualion doniu'e, dans hupndle ou suj)pose que u est une fonction de -r, y', y", ... ; si l'on met partout y -h '>) à la j)lace de y, et par conséquent j' + o/, y -h w", ... à la place de >', y" la (juautile

376 LEÇONS SUR LE CALCl>L

(0 étant supposée, comme ci-dessus, une fonction indéterminée de a.-, et qu'on développe suivant les puissances et les produits déco, o/, w", .... I;i fonction V deviendra, comme plus liant,

cl l'on aura les équations particnlii'res

V = o, V = o, Vr=o, ...,

(]ar, si Ton imai;ine (ju'on mette dans V, à la place de ii, sa valeur en .r, V, v', y", -.., l'équation Y = o deviendra identique; donc l'identité subsistera aussi après la substitution de r+co, y' -r-c/, r"-hto", ..., pour y, y, y", ..., et le développement suivant w, o/, o/', ... ; et, comme ces dernières quantités sont supposées indépendantes de œ et y, il est visible que cbaque terme V, \, ... qui contient les mêmes dimensions déco, o/, o/, ...devra être identiquement nul dans l'équation développée

Représentons la fonction Y par

f[u, II' , u", . . ., .r,j,,r',/', . . .),

et dénotons par a, u, ... les différents termes du développement de la fonction u, dans lesquels les quantités co, o/, co", . . . forment ensemble une dimension, ou deux, etc. Nous aurons, suivant la notation adoptée,

y:=uf[u] + u' f'{n'] + «"/■(«")+.. .

+ ^" /'(/) -+- «' f'[r ) -^ ^j" f'vr") + • • • •

Or il est visible que la fonction a ne peut être que de la forme

X, P, Q, ... étant des fonctions de .r, y, y', .... De là, en prenant les fonctions dérivées relatives à x, on aura les valeurs de li , u" , ... ;

DES FONCTIONS. M'i

savoir :

U =N'o) -f- ( N +P')c)' f-(I> + Q')ry'4-.. .,

Il" = N" 6) -+- ( 2 N' -f- V" ) 0,' + ( N + o I>' 4- ()" ) 0)" + . . . ,

Ces valeurs étant siil)stitii(M'S dans rcxnrcssion dt' \ , rr(|iiati()ii

\ r= o devra avoii* lien indcpciidamMiciil des (jiiaiilitrs «>, o/, o", (jiii

doivent dcnicnicr indrtcnninrcs; donc, éi'alant ;i zéro les nmllijtlii a- Icnrs de cdiacunc (\r ces (jiiantités, on ani'a 1rs r(jiialions

/'(/) + Vf{u') + (N + ?')/'(«') -4- (2N + !>")/>") +....-- o,

d'où il faudra éliminer les quanlités inconnues X, l\ Q, ...; il restera nécessairement une ou plusieurs équations qui seront; les équations de condition cherchées. Car il est facile de voir (jue le nombre de ces <|nanlités ne doit jamais surpasser celui des quantités y, y',y", ..., diminué du nombre des quantités u\ u", ..., pniscjue dans l'étjnation proposée la plus haute fonction dérivée de a ne peut contenir de fonctions dérivées de y, plus hautes que celles qui se trouvent dans la même équation.

Su|)posons, par exemple, (jue l'équation soit de la forme

fi^ii, ii',x,r,r',x"'; =o;

on fera ici simplement

u = N Ci) + I* 0) ,

et Ton aura les trois é([uations

fir) +N/'(«) + x'/'("'; = o, •

La dernii're donnera P, la seconde donnera N, et la première don- X. 4»

liera, par la siibstihition de N et de N', l'équation de coiiditi(3ii nécessaire pour (jiie la quantité u dans l'équation proposée puisse être une loiiction de .r, v, y', indépendamment d'aiirime l'elalioii enli'c r et y.

On peut étendre la méthode de ce problème à un nondjre (jucdconqiie de variables et d'équations.

Montrons maintenant, par (juelques exemples, Tiisage des écjuations de condition dont nous venons de donner la théorie, et d'abord ne considérons (jii'une fonction du premier oi-dre de la rorme/(.r, y, j'); ré(|ua(i()n de condition pour (ju'elle soit une dérivée exacte sera

Pour que cette équation puisse être identique, il faut que le second terme ne contienne pas de fonctions dérivées de y plus hautes que le premier terme/'(r); or celui-ci ne peut contenir que la fonction /; donc il faudra que l'expression /'(y'), dont la fonction dérivée forme le second terme, ne contienne pas y', autrement il entrerait y" dans le secon<l terme. Il suit de là que la fonction proposée ne peut être ({ue

de la forme

Va\ la l'cprésentant par /(.r, y, y'), et prenant les dérivées relatives à y et à y', on aura

f'ir) = "V^r) +y 9'(j), f'[r') = o[x,r].

Ainsi l'équation de condition sera

mais

donc récpialion se réduit à

\''[r)-o'[x) = o, comme nous l'avons trouvé, par une autre voie, dans la Leçon MX.

DES FONCTIONS. MW

La loin lion |H()|M»sé<', en n'v l'aisaiil plus .r' — r, aui'ail eu la Iuiiik

x' ^'{x,y) -h y' o{x,y], i'\ l'on aiii'ail en, rclalivcMiciil à r, r(''(|iiatioii de coiidilion

la(|ii('II(' (Icvicnl

.r' ^V'[x) + j' (^'{x) - - ^V'{x, y) = o; mais

T{x,r) = x'T{x)+yw'{r];

donc ^

savoir

comme auparavant.

Supposons (\\\v la fonction proposée soit du second ordre cl de la l'oi'nic/f.r, y, v', y"); l'équation de condition |)onr (jn'cllc soil nnc dérivée exacte seia

Il est d'abord évident que, pour que cette équation puisse être identique, il faut que la valeur de/'(y") ne contienne point j"; autrement la valeur de [/'(/")]" contiendrait y"; et, comme les termes précédents ne peuvent contenir (jue y, r', y'\ y"\ le terme contenant r"' ne serait pas détruit.

La fonction proposée ne pourra donc être qu(! de la l'omn'

On aura ainsi, en la comparant à la forme générale/(ii', v. v, y"),

f'[f) = o[x,y,y)', et l'équation de condition deviendra

Or

9'{^'ro-') = 9'[^) -+-/ 9'{r) +/' ?'(/);

Par cotte siil)stitution, l'équalion de condition deviendra

Supposons, })OLii' abréger,

o'(^) +/ (p'(j) - Tiy]==^[x,r,/],

la caractéristique! <1' dénotant une fonction connue de x, y, y', puis(|u'eu effet cette expression ne contient que les trois quantités .t, ,)', .v'; on aura ré(|uation

mais

(l>'(^-,j,/) = cE)'(x)+/cI>'(j)+/'^'(/);

donc l'équation de condition se réduira à

()!' il est visible que la quantité y" n'entre point dans les fonctions dérivées suivant a? et jK, puisqu'elle n'entre point dans les fonctions primitives représentées par les caractéristiques W, o et <!>; donc, pour que l'équation puisse être identique, il faudra que les termes multipliés par y" disparaissent; par conséquent l'équation de condition se partagera en ces deux-ci :

qui devront avoir lieu séparément pour que la fonction proposée soit une dérivée exacte.

Supposons, pour donner un exemple particulier, que celle Ibudioii

soit

y xy'- y" X

on aura ici

De là on tirera

Ainsi les deux équations de condition deviendront

X X r' 'ixr''- y' ?..rv'-

<fui se vérifient, comme l'on voit, d'elles-mêmes. En ellél, la fonclion [)roposée est la dérivée de -^•

Kn général, il est facile de prouver que ré(|uation de condilion

ne saurait être identique, à moins (jue la plus haute des Ibnelions dérivées y', y", ..., qui entrera dans la fonction proposéey(ar, y, ">'', y", ...) n'y soit qu'à la première dimension, afin (ju'cdle puisse disparailic dans la fonction dérivée qu'on prendra relativement à cette même dérivée de j. D'oii il suit que, si la fonction proposée est de l'ordre//, (die ne pourra être une fonction dérivée exacte, à moins qn'tdie ne soil de la forme

'V[x,y;y,x", . . ., jc -"] -H j(") (I)[:r, j,/,r", • • .,r("-'>],

ce (jui s'accorde avec ce que nous avons vu dans la Leeon XllI.

Ensuite on peut aussi prouver que, de même que pour les fondions du second ordre, ré(ination de condition se décompose en deux. (|ni

doivent avoir lieu ii la fois; pour les fonctions tlii troisième ordre, elle se décomposera en trois; et, ponr les fonctions du ([uatriëme ordre, elle se décomposera en quatre; et ainsi de suite.

Enlin, pour donner aussi un exemple d'une fonction dépendante d'une équation, nous prendrons l'équation

et nous chercherons les conditions nécessaii'cs pour (}ue la fonction (( soit une fonction de a- et y.

\in comparant cette équation à la forme générale

on aura

i'\ de là on tii'era ces valeurs

Comme la fonction ne contient point v", on aura

et la dernière des trois équations de condition trouvées ci-dessus pour le cas dont il s'agit donnera sur-le-champ P = o; ce qui réduira les deux premières à

— *F'(j)— / c?'(j) — N[¥'(m) -h/ o'(m)] + N'=- o, — o{u,x,x) + N = o, La dernière donne

donc, suhstituant dans la première et changeant les signes, on aura

xp/j) 4. j/ o'(j) + [^"{u) -^r' (?'{ii)] 4- 'f[it,x,f) - o'{u,x,x) = o.

Mais

ci)'[u,x,x) = W (f>'{u) -h o'[x) 4-r'o'(j),

DES FONCTIONS. mi

cl l;i |»i"()|)()S(''(' (loiiiic

n' = ^F {u,x, r ) + } ' rj' ii,x, y) ;

donc, faisant ces siihsliliilioiis cl cllaciiiil ce (|iii se (Idiiiil, on ania «ctte équalion de condilion

^'ir) + 'i"('0 9(">^,r) - 9» - 9'^'' H'(«,^,r) = <>,

((ui est la môme, en eliangeant // en z, (pic ccl le (jiic nous avons Ironvcc dircclcnient dans la Leçon \IX, poni" (joc rc(jiiali<)ii dciivcc ii li-ois variables puisse admettre; une é(jualion primitive entre ces variahlrs.

Le problème (|ne nous venons de résondic, sur les é(|iialions de condition (|ni doivent avoir lieu pour (piimc (onction doiHK'c i\(' plii>icnrs variables et de lenrs dérivées ait inic l'onction primitive indcponhunmenl d'ancniu' l'clation entre ces variables, a une connexion inlinic avec un autre probli'me jilus important, (pii a exei'cé les géomi'tres pendant près d'un siècle. C'est le fameux problèuje des isopérimi'tres, qui, pris dans toute son extension, consiste à trouver les é(|initions ((ui doivent avoir lieu entre les variables, pour que la l'onction primitive inconnue d'une fonction donnée de ces variables et de leurs dérivées devienne un maximum ou un minimum.

Les mêmes formules d'équations résolvent les deux jn-obli-mcs, mai> avec cette différence que, pour le premier, les équations doivent être identi(|ues et se vérifier d'elles-mêmes; au lien (|ue, dans le (Icinici problème, elles deviennent les équations nécessaires entre les variables pour l'existence du maximum ou du mininium.

On verra la raison de cette identité des résultats par l'analyse (jue nous allons donner du problème des isopérimètres. [Mais nous commencerons par une histoire succincte des différentes tentatives que les géomètres du dernier sii'cle ont faites poui' parvenir ii une solnlnm générale de ce probli'me, et qui ont conduit |»ar degrés ;i la im''tbodc connue sous le nom de Calcul des rdndtion'^.

Les (piestions de Dia.rinns et rniiiintis n'ont pas été inconnues ;in\ anciens géomètres; car on a un livre enlier (r.\p(dloiiin>. (jiii traite presque uni(juemenl {\v<< plus grandes cl i\v> j)lus petites lii^nes droiies

qui peuvent être menées de points donnés aux arcs des sections coniques.

La méthode d'Apollonius se réduit simplement à prouver que toute autre droite, menée du même point à la section conique, serait plus petite dans le cas du maximum, et plus grande dans le cas du minimum, que celle qu'il a déterminée; et cette méthode a été suivie par tous ceux qui, après lui, ont cherché à résoudre, par la simple Géométrie, des problèmes relatifs aux maxima et aux minima.

Fermât est le premier, comme nous l'avons vu dans la Leçon XVIII, (jiii ait donné, pour la solution des problèmes de ce genre, une méthode directe et analytique, que l'algorithme du Calcul différentiel a ensuite simplifiée et généralisée; elle se réduit, comme l'on sait, à égaler à zéro la différentielle ou la fonction prime de la fonction qui doit être un maximum ou un minimum, en regardant comme variable l'inconnue par rapport à laquelle la fonction donnée doit devenir la plus grande ou la plus petite; et nous avons exposé ailleurs [Théorie des Fonctions) les principes et la marche de cette méthode considérée dans toute sa généralité (').

On peut dii'e que c'est à la considération des courbes qu'on doit les principales méthodes de l'Analyse. La détermination des plus grandes et des plus petites ordonnées dans les lignes et dans les surfaces courbes avait donné naissance aux questions de maximis et minimis, dont nous venons de parler; mais on s'éleva bientôt à des problèmes d'un genre nouveau et beaucoup plus difficile. Il s'agissait de trouver les courbes mêmes dans lesquelles des quantités dépendantes de toute l'étendue de la courbe cherchée, prise entre des limites données, fussent un maximum ou un minimum par rapport à toutes les autres courbes possibles; comme, par exemple, la courbe (|ui renferme le plus grand espace suivant des conditions données, du qui produit, par sa révolution, le })lus grand solide entre des limites données, etc.; mais c'est la Mécanique qui a fourni les premiers problèmes de ce nouveau genre. Newton a cherché le premier la courbe (pii, en tour-

(' ) CEuvrcs de Lagrange, l. IX.

DES FONCTIONS. m'i

ii:iiil ;iiil(tiir i\i' son iixc, prodiiil le solide i|iii, rl;iiil iiiù (hiiis un lliiidc siiiNaiil la diicclioii de son axe, ('pionNC la moindre resislance |)ossilde, el il a donné, sans deinonsdalion, nne j)roj)orlion (|iii snl'lil [)oni-eonslrnire la conrlie par les (ani4eiiles, el (|ni en est eoninie re(|iialion diU'ercnliidle.

iMais e'esl |)i'o|>renienl dn lanieux pi'ohli'ine de la In ac liisloelirone, OU ligne de la phis vile deseenle, proposé en iGç)") par Jean Mi-rnonlli, que dalc la déconverle d'nne analyse j)ropre ;i ces sortes de reelier( In-s.

SnivanI res()ril (\i\ (lalcnl diU'erenliid (pii suppose les eonrites l'orniées d'nne inlinile de droiles inlininn'iil peliles, on e(nisidere denx eùlés conlii^ns de la eonrlte elierfdiée, el Ton delerniine lenr posilion respective de manière que la quantité proposée devienne nu niaximnm ou un minimum, en ne faisant varier que l'ordonnée (pii répond ;i l'angle formé par ces deux côtés. De cette manière, le ju'oldl'me rentre dans l'ancien genre, et la difficulté ne consiste plus (|u';i ranninr le résultat de la solution ;» la forme différentielle. C'est ainsi (|n'on a trouvé d'altoi'd (jue la courbe de la pins vite descente doit élre hdie (jU(( le sinus de l'angle, qu'un de ses côtés (ju<dcon(jues inlinimenl petits fait avec la verticale, soil projiortionnel ii la vitesse, hnpndle esl comme la racine carrée de la hauteur d'oii le corps est parti; et cette proportion, réduite en équation différentielle, donne la cycloïde. On a trouvé de la même manière que le solide rond de la moindre résistance est iormé par une courbe qui a la propriété énoncée par Newton dans le scolie de la Proposition XXXV de la seconde Partie de ses Principes. On a applicpié ensuite la nn'me méthode à dv> pioblènies plus compliqués, tels que celui des isopérimètres, où il s'agissait de ti'ouvei', <'Utre toutes les courbes possibles (jui ont le ménu' périmi'lre ou la uu"'nie longneni-, c(dles (jui, enti'e des limites données, l'enfermaient les plus grands ou les plus petits espaces, ou. en faisant nne révolution autour de leurs axes, produisaient les plus grandes ou lesplus jx'tites superticies, ou les plus grands ou les ])lus petits solides, ou enfin une courbe telle qu'en construisant sur son axe une seconde courbe dont les ordonnées soient des fonctions quelconques des ordon- X. 49

nées et des arcs de celle-là, l'aiio de la seconde courbe forme un niaxinuim ou un minimum; et les difFicultés de ce prol)lème, jointes à la célébrité que les recberches des deux frères Bernoulli, de Taylor et d'Euler lui ac([uirent, ont fait donner en général le nom iV isopérimètres à tous les problèmes dans lesquels il s'agit de trouver des courbes qui jouissent de quelque propriété de maximum ou minimum, avec ou sans la condition de l'égalité des longueurs de la courbe.

Lorsqu'on veut avoir égard à cette condition, il ne suffit pas de faire varier une seule ordonnée, comme dans les problèmes où l'on demande un maximum ou un minimum absolu; il faut alors faire varier à la fois deux indéterminées, tant dans l'expression qui doit être un maximum ou minimum que dans celle qui doit demeurer constante, et égaler séparément à zéro les résultats de ces variations, ou les différentielles de ces deux expressions, comme dans les problèmes ordinaires de maximis et minimis, lorsqu'il y a quelque condition particulière à remplir entre les variables.

Jean Bernoulli, dans un Mémoire destiné à résoudre les problèmes sur les isopérimètres proposés par son frère Jacques, et qui se trouve dans le Recueil de V Académie des Sciences de 170G, avait cru pouvoir satisfaire à la fois à la condition du maximum ou minimum et à celle de l'isopérimétrisme, en ne considérant que deux éléments ou côtés de la courbe, et en faisant varier à la fois l'abscisse et l'ordonnée qui répondent à l'angle de ces deux lignes droites, de manière que leur somme demeurât constante. En effet, si la question roulait sur des (juantités finies, elle pourrait se résoudre de cette manière; mais il arrive ici, par la nature des infiniment petits, que l'équation finale devient purement identique, et ne fait par conséquent rien connaître. Jean Bernoulli parvint à un autre résultat, et crut avoir ainsi résolu les problèmes; mais son analyse est erronée et pèclie contre les principes du (Calcul infinitésimal.

Jacques Bernoulli est le premier qui ait reconnu, dans ces sortes de (juestions, la nécessité de considérer trois côtés consécutifs de la courbe, et de faire varier à la fois les deux ordonnées consécutives qui ré-

DKS FONCTIONS. 387

|)()ii(l('iil ;iii\ ;mii;l('s foriiirs parées côtés. C'est sur ce jiriii(i|>e (|ii'il ;i Ibiidé son Analyse du |>i'oI)li'ine des is()|)ériuH'tt'es, iulilulée Aualysis nid^ni problc/nalis isopcri/nclnci, el |tnl)!iéc ;i |{àl(; eu [701 et dans les Actes (le Leipzig de la niêuie année; et le nièine piineipe a servi de hase ensuite aux solutions données par' Taylor, dans son Mcthodus incrementorum; par Jean Bernoulli, dans les Mémoires de l' Académie des Sciences (le 1718; et par Kuler dans les Tomes VI et VII des aiuiens ( 'ommcnUiiics de Ih'tershourg.

Par la eonsidéralion d'une partie iiitininieiil jx-lile de la courbe regardée comme composée de deux (ui li-ois lii;nes droites, les jtroblèmes se réduisent à l'Analyse ordinaire; et la dillicullé ne consiste plus qu'à traduire les solutions en équations dillerentielles, par les substitutions des valeurs des ordonnées et des abscisses successives exprimées en dilFérences, en ayant soin de ne conserver que les termes du même ordre, suivant la loi de l'homogénéité des quantités intiniment petites. Mais les résultats obtenus de cette manière se présentent rarement sous une forme générale et applicable à tous les problèmes du même genre. De plus, il y a des cas où il ne suffit pas de considéreiune portion infiniment petite de la courbe, parce que la propriété du maximum ou minimum peut avoir lieu dans la courbe entière, sans avoir lieu dans chacune de ses portions infiniment petites; ce sont ceux où la fonction différentielle dont l'intégrale doit être un maximum ou un minimum contient elle-même une autre fonction intégrale, à moins que, par les conditions du problème, cette intégrale doive avoir une valeur constante : par exemple, lorsque la fonction dont l'intégrale doit être un maximum ou un minimum dépend non seulement des abscisses et des ordonnées et de leurs différences, mais encore de l'arc même de la courbe, lequel n'est donné, comme l'on sait, que par une expression intégrale; dans ce cas, les solutions (ju'on trouverait par la simple considération d'une portion infiniment petite de la courbe seraient inexactes, à moins que la longueur de la courbe ne fût supposée constante, comme dans les problèmes des isopérimètres.

A plus forte raison, il ne sera pas permis de n'avoir égard, dans le

calcul, à une petite portion de la courbe, lorsque la fouclioii diiïérentielle- dépendra (rime (juanlilé donnée, simplement pai" une équation (liiTérentielle non iiilégrahle en i;éiH''ral; c'est ponr(jU()i ou doit rei^arder comme fausse la solution qu'Euler lui-même a donnée du problème de la brachistochrone dans un milieu résistant comme une fonction de la vitesse, dans le ïome Vil des anciens Commentaires de Pétersboiirg, et dans le second Volume de sa Mécanique, et l'on peut s'en convaincre en la comparant à celle cju'on trouve dans son Ouvrage de 1744' intitulé Methodus invcniendi lineas cuiras maximi mininiique proprietate gaudentes (Art. 46).

. C'est proprenu'Ut dans ce dernier Ouvrage qu'Euler a donné une solution générale et complète du problème des isopérimètres. Pour trouver les conditions du maximum ou minimum, il se contente de faire varier une seule ordonnée de la courbe, et il en déduit la valeur différentielle de la formule, (jui doit être un maximum ou un minimum, en substituant à la place des différentielles de l'ordonnée les différences successives des données consécutives, et à la place des expressions intégrales les sommes des éléments répondant à toute l'étendue de la courbe. Son calcul devient ainsi très long, surtout par les suites infinies qui s'y mêlent, lorsque la fonction proposée contient différentes intégrales, et dont il faut déterminer la somme pour pai'venir à des résultats nets et précis; et l'on ne peut trop admirer l'adresse avec laquelle l'auteur surmonte ces difficultés, et obtient, en dernière analyse, des formules simples, générales et élégantes. Son Ouvrage est d'ailleurs très précieux par le nombre et la beauté des exemples qu'il contient, et il n'y en a peut-être aucun qui puisse être plus utile à ceux qui désirent s'exercer sur le Calcul intégral.

Jusqu'alors on avait traité séparément, et par des procédés différents, les problèmes où il suffit de varier une ordonnée, et ceux qui demandent la variation de deux ou de plusieurs ordonnées consécutives.

Euler a remarqué le premier que tous les problèmes de ce genre pouvaient être rappelés à une même analyse, parce que l'uniformité qui doit régner dans les opérations relatives aux différents points d'une

mriiic coiiiIm' l'iiil (|ii(', A'rs (\\i\)\\ ;i lioiivr le r(''siill:i( de l;i v;iii;ilioii (I iiiic (ii'doiiiicc, l;i inriiic expression, rnppdrlée ;i l'ordonnée (ini snil iMinie(li;ilenien(, donnera ;uissi le resnilal de la varialion de celte ordonnée, e( ainsi des anires.

(À'ite i'eniar(|ne a eondnil l-lnler à un hean lliéori-inc et de la pins i^rande utilité dans celle nialii-re : c'est (|ne, ponr Ironver nne eonilie (jiii ne jouisse d'une propriété de niaxininin ou niininiuni (jue pai-ini toutes les courbes (jni ont une ou plusieurs propriétés connues, il sul'llt d'ajouter ;i l'expression de la propriété (|ni doit être un niaxiniuniou un uiininiuni ccdies des autres |)roprielés conniu's, ninilipliées cliacuue par un coeriicient constant et arhitraii'e, et chercher eusuil(.' la coui-he daus la(|U(dle cette expression composée sera un niaxininin on un niiuiiuum entre toutes les courbes possibles.

Kii ell'et, si l'on désigne, comme Euler, par nv ou simplement par v rincrémeut intinimeut petit de l'ordonnée/, et par P.v la valeur dilTérentielle de la formule intégrale iudétinie/Zr/.r, qui doit être un inaxiuiiiin ou un uiiniuiiiiu, ou aura P.<o pour la valeur dilléreutielle de la même formule, provenant de rinci'ément w de l'ordonnée suivante v, en supposant (jue P soit ce que P devient lorsque y devient v, et (jne toutes les autres variables sont rapportées à l'ordonnée r.

Et l'on aurait de même P.- j)our la valeur dillerenticdle de la même formule, provenant de rincrémeut- de r(U'doiiiiee suivante v, oîi P est ce que devient P lorsque y devient y; et ainsi de suite.

Or, en regardant, suivant les principes du Calcul dilféreutiel, les ordonnées r,r, y, ... comme lutinimcnt proches, on a

par consécpu'ut on aura aussi

Ainsi, en faisant varier ;i la fois les deux ordonnées voisines v et v,

l;i valeur (liirri'cnliclle dc/Zr/.r sera

et, en faisant varier les trois ordonnées voisines y, y, y, sa valenr différentielle sera

P.v + (P + ^P)w + (P + 2 JP + rf^P)r,

et ainsi de suite.

Il en sera de même de toutes les antres formules semblal)les.

Donc, pour les courbes où la formule /Z r/.r doit être un maximum ou un mininunn absolu, on aura, en ne faisant varier (|u'une ordonnée, l'équation P.v^o, laquelle donne P = o.

Pour les courbes ohjZdcc ne doit être qu'un maximum ou un minimum relatif parmi toutes les courbes qui ont une propriété commune exprimée par la formule/Y c?^, si l'on représente parQ.v la valeur différentielle deJYfLv due à l'incrément v de y, on aura, en faisant varier deux ordounées et égalant à zéro les valeurs différentielles des formules /Z^/j; et JYdx, les équations

Q.v-i-(Q + JQ)&)i=o,

lesquelles donnent celle-ci

dP dO

dont l'intégrale est

P +aQ = o,

a étant une constante arbitraire.

Cette équation est, comme l'on voit, la même que celle qu'on trouverait j)Our le maximum ou minimum absolu de la formule fZ.dx -i-aJY d,r, en ne faisant varier qu'une seule ordonnée.

Si la même formule /Z^^a? ne devait être un maximum ou un minimum que dans une des courbes dans lesquelles deux autres formules JYdx et/Xr/.r conservent les mêmes valeurs, on aurait alors le cas où il faut faire varier trois ordonnées successives, et où il faudra égaler

séparément à zéro Ifs valeurs (lill'éririilicllcs des trois formules dont il s'ai^it.

Ainsi, en dénotaiil parK.v la viriciir didérentielle (\r fXd.r provcnaiil (le l'inerémeiil v, on aiiiail ces trois (''(|iiatioiis

r.v + (l» -h dV)r.y + (1> H- 2 dV -h </-P)7r = o,

Q . V + (Q + ^Q ) oj + ( Q + '->. il() H- (l- O) Tr = o,

Il . V + ( H + ^m; 0) -f- (H + ?. ^/H - 1 </^ H ) - = f) ,

savoir,

P{v -i-Oi-hû) -h rfP(w4- 2-) + (/-P.- — o,

ll(v + cj 4- 7:) + iI\{{o) -+- 2-) H- </-R.7: = o.

Eliminant denx des (juantités v, (o, tt, la troisième s'évanouit d'cllemèuH', et l'on obtient une équation dillérenticlle du second ordre entre les trois variables P, Q, R, dont par conséquent l'intégrale compli'lc renfermera trois constantes arbitraires. Mais, sanschercliei' cette é(|nation dilTérenlielle, il est facile de s'assurer que l'équation

satisfait aux trois é(juations ci-dessus, quelles que soient les valeurs des coefficients «, A, [)oni'vu qu'ils soient constants; car, en ninlliplianl la seconde équation par r/, la troisième par A, et les ajoulant à la première, on aura une équation identique, en vertu de ré(jiuili(»n snpposée; et, comme cette équation contient deux constantes arbitraires a et h, il s'ensuit qu'elle sera nécessairement l'intégrale conjpli'te de ré(|ualion du second ordre dont il s'agit; et l'on voit en même temps (ju'elle n'est autre cbose que celle qui donne le maximum ou minimum absolu de la forninle

f'A dx + af\ dx + A/\ dx.

Au reste, je dois observer (jue, dans les premières solutions qui ont été données du probb-me des isopérimètres par les Bernoulli, Taybn' et Euler lui-même, la valeur difTérentielle de la formule /Z r/a-, (jui doit

être un maxinuiin ou un nriniiiium parmi toutes les courbes isopérimètres, n'est pas de la l'ornie

lorsque la fonction Z contient Tare s de la courbe, ce qui est contraire il la tliéorie d'Euler, qu'on vient d'exposer.

Par exemple, dans la solution de Taylor, qui est une des plus simples, si l'on y substitue les dénominations précédentes, qu'on suppose

dZ = L(h-h M (Ix 4- N dj;

et(ju'on fasse, pour abréger, — ^q, on a cette valeur différentielle

lin

( N -b L ^ ) Jx . V H- { N -i- L ^ ) dx.o),

provenant des variations v et to des ordonnées y et y dans les trois

éléments Z dx -+- Zr/.r + Z dx, qui sont les seuls que Taylor considère. Mais je remarque que cette valeur n'est pas la valeur différentielle complète de la formule intégrale /Zr/^r; car, par les formules exactes de l'ouvrage cité d'Euler, la seule variation v de l'ordonnée y, dans la foriiiule/Z<-/.r, donne la valeur différentielle

[N - dx - d. ( H -/L dx)qYj,

où H est la valeur de/Lr/.r, correspondante à une abscisse donnée a, pour laquelle /Z c/.r doit être un maximum ou un minimum. De sorte que, pour les deux variations simultanées v et to, la vraie valeur différentielle sera

[N dx - J. (II -/L dx)q] V + [N dx - d.[l\ -fL dx]q'\c,^.

On voit d'abord par là que la valeur différentielle de Taylor donnerait une solution fausse, si on voulait l'employer à trouver la courbe dans laquelle /Zr/.r serait un maximum ou un minimum entre toutes les courbes possibles, dans lequel cas il suffit d'avoir égard à la variation d'une seule ordonnée; car, en égalant à zéro cette valeur dilféren-

DKS FONCTIONS. 3î):j

lii'llf, cl supposaiil (o mil, on ;iiir;iil rc(jii;ili<iii

l;iii(lis (jiic |;i soliilioi) d'iùilci' (loiiiirijiil

\(/x — d.i\l - fL(lx)(i7^u,

(|iii est l;i V(''ril;il»I(' (''(|ii;ili(»n du pndilrtnc.

Dans le cas des isopériiui'li'cs, il arrive iiratinioiiis (|iii- les deux s(diilioiis s'accoi'dciil ; cai-alocs la propriété coiDinuiie des coiirltcs csl l'arc .v.

c'est-à-dire la formule j s ^/.t- -i-^/v', on f\ \~r- irdx, en jaisanl /; r^^" ; ... ' ' (Ix^

ainsi on a de pins la lui'ninle

f'\ (Ix, (»ll V =7 y^l -i- y;>-',

dont la valeur difréreuticdle doit être nulle, en niéinc temps (pie celle de /Z (Ix.

Or, par la construction et l'analyse de Taylor, on a |)oiir cetle forniiile la valeur dilTérenli(dle

— d(i . V — dq . r,) ;

cl, par les forninles de l'Ouvrage d'Euler, on a de même - ^/r/.v piuir la valeur difrérenli(dl(î diw à la seule variation v; de sorte (jiie, pour les deux variations V et oi, on aura également

— (/fj .V — dij .r,).

Ainsi, suivant Taylor, on doit avoir, dans ce cas, les deux é(|ualioiis

(N + Lq)v-h (\ -+- L^)c,) = h, dfj.y -h d'q.fA — o,

lesquelles donnent, par l'éliminalion de v et (o, celle-ci :

{ N -I- \.q] dq 7 - \ -4- l', q ijq ;

savoir, en substituant N-f-r/X pour X, L-f-r/L pour l'., ^/y-f-^/^y pour dq i^\q + -id<i + d-(i pour y, et efTaçaiit ce (|ni se détruit,

N d- q -1- I. q d- q-d\ dq -d\.q dq - 2 L d'^q - i dL d'q - I. (/q dh} - d\^ dq d-q ^ o .

Mais les trois (Icniicrs termes sont du ti-oisièinc ordre, tandi:. (jnc les nreniiers ne sont (|ue du seeoiid; ainsi, en l'ejetant les trois derniers comme iiitiiiiment petits vis-à-vis des autres, on a simplement ré(]uation du seeond oi-dre

N d- q -h L q d- q — ^/N dq — d L <[ dq — >. L d- q -^o,

comme Tavlor le trouve.

Suivant Kuler, les deux éiiuations seraient

[IS dx — (/.(Il — /L</^-W/]v -h [N dx — d.[ll -~J'Ldx)q]r,) = o, dq .V + dq .r») := o.

Mais

d.[\l -fLdx]q=—Lqdx + (H —JLdx) dq,

et

d . [ n — J'L dx )q=— L q dx + ( H — J'L dx ) dq

=:— \^q dx + (H — /L dx\ dq — L dx dq

A cause (le

/L c?x =/ L (/x + Ldx.

Donc, en observant que q -^ dq = </, la première équation devient

[(N + Lr/; Jjc — (H -/L ^/x) ^/fyjv + [(N -+ L^y) ^/x - (II - f L dx) dq]o^ = o; laquelle, en vertu de la seconde, se réduit à celle-ci :

(N + Lq)v + (N + Lq)o) = o,

qui est la même que celle de Taylor. Ainsi, comme les deux autres équations s'accordent aussi, le résultat doit être nécessairement le même.

En effet, suivant le théorème d'Euler, en ne considérant (jue la seule variation v, on a tout de suite récjuation

^ dx — d.[ H — /L dx)q — adq :^ o, «étant une constante arbitraire.

DES FONCTIONS. 39:i

(Il'Uo ('(iiialioii csl riiilri^ralc piciiiii-rc de celle de Tiivlor; ear, si on l;i t'édiiil ;i l;i luriiie

N (Ix — [W -\- a — /r (ixihi -f- \^fj dx = «.,

(liToii l;i dilléi-eiilie après l'avoir divisée |.air/y, el (prou lasse ensuite (lis|)araili'e les déMOjninaleiiis, on IronNcia re(|iiarKin de laylor.

On pourrait l'aire i\v> reniai(ines semblables snr les solnlioiis de liernoulli et sur relies d'Knler, dans les tomes Vl et MM des Amints Comninildircs (le Ih-lcrshoiui:;. Mais, dans l'élat aetiud de l'Analyse, on peut rei^ai'der ces discussions eoinno' inutiles, paice (|n'(dles regardent des méthodes oubliées, comme ayant lail place ii d'anii-es plus simpbîs et plus générales. Cependanl (db'S [X'uveni avoir encoce (|U(d(pie iuléi'ct pour ceux ([ui aiment ;i suivre pas ii pas les progrès de l'Analyse, et ii voir comment les méthodes simples et générales naissent des (pmstions jiarticnlières et des procédés indirects et complicpiés.

I/Ouvrage d'Euler, (jue nous avons cité, n'aurait rien laissé ii désii-er sur les problèmes rcdatil's aux courbes qui jouissent de (pudipie propriété de maximum ou minimum, s'il avait pour hase une analyse plus conforme il l'esprit du Calcul dillerentiel. Mais la décomposition (jne l'auteur y l'ait des dill'érentielles et des intégrales dans leurs éléments primitifs détruit le mécanisme de ce calcul, et lui fait perdre ses principaux avantages, la sim|)licilé et la généralité de son algoi'ithme.

Il l'cstail donc ii trouver la manière de plier le Calcul diUérentiel ii ce genre de problèmes qui sont essentiellement de sou ressort, et de les résoudre sans s'écarter de la marche simple et uniforme de ce Calcul. Cet objet a été rempli par la méthode des variations, publiée dan> le tome II <\ç?> Mémoires de l' Acadànic de Turin ('). Comme cette melbodc est exposée dans la plupart des Triiiles de Calcul diUerenlitd ipii ont paru depuis, nous nous contenterons d'en donner ici les piincipes.

Elle consiste à faire varier les >- dans la lormule intégrale en x et v, (|ni doit être un maximum ou un minimum, par des dillerentialion»

(1) OEuvrcs de Logian^r, l. 1, p. 335. et l. II, p. 3;.

ordinaires, mais relatives à une autre earactérislique ^, difrérente de la caractéristique ordinaire d, et à déterminer la valeur ditTérentielle de la formule par rapport à cette nQuvelle caractéristique, eu transposant le signe r^ après les signes d et/, lorsqu'il se trouve placé avant, et en faisant ensuite disparaître par des intégrations par parties les différentielles de ty sous les signes/.

Soit la formule/Z (jui doive è(re un iiiaximum ou un minimum entre (les limites données, la (|nantité Z étant une fonction donnée de x, y, (ly, d-'y, .... Kn supposant dx constant, ou aui'a %JV. pour la valeur dilférentifdle (jui doit être nulle dans le maximum ou minimum; donc

é(jualion qui se transforme tout de suite en

Supposons qu'en différentiant à la manière ordinaire, mais suivant la caractéristique (^, et ne faisant varier que les y, dy, ..., on ait

ôZ = N ô)- + P ô dy + Q ô d-y + . . ■ ;

on aura l'équation

/ N 0/ H-/ P 0 dy -4-/0 0 d'-y -\- . . .^=r. ^^.

Or/PcV/yse transforme d'abord en/Pr/c)/, et ensuite, en intégrant par parties, en V\y —JdV\Y-

])e même/Qd^c/-y se transforme d'abord en fQd'-^y, ensuite en Or/f^y — dQ^iy -i- f d-()\y, et ainsi des auti'cs.

l)(mc, en ajoutant une constante quelconque K à ces intégrations, ré(|uation d(;viendra

P or -1- Q cl dy-dQèy + ..,-^K +/( N - dV + d' Q~...]ôy= o.

Comme toutes les dillerentitdb's de ^y ont disparu de dessous le signe/, cette partie n'est plus susceptible d'aucune réduction. Ainsi, pour vérifier l'équation indépendamment des variations ^y, il faudra

DKS FONCTIONS. :5!I7

«l'îilKM'd t'^alcr il /.('l'o le (•(K-rticii'iil des ^y sons le sii;iU', a' (|iii (lniiiici;!

r('(|ii;ili(ni