c CiJ

Donc, remettant pour tu sa valeur, et ordonnant les termes suivant les puissances de i, on aura cette équation identique

et la comparaison des termes donnera d'abord

d'où l'on tire

^^cf'[x],

La comparaison des autres termes donnera les valeurs de /"{■^), f"'{oc), ...; mais il est plus simple de les déduire successivement de celle de/'(x).

La constante c dépend de la base a du système logarithmique, par les mêmes formules que nous avons trouvées plus haut; relativement aux logarithmes, elle s'appelle le module du système logarithmique.

De là résulte cette règle générale, que la fonction dérivée du loga-

nl/ime d'une variable est égale à l'anitr. divisée par celle variable midlipliée par le module du syslème logarilhmique. Puisque

(Ml prenant successivement les fonctions driivécs, d'après la icuic iirncrale des puissances, on aura

donc, si l'on l'ait ces substitutions dans le dévcdoppemenl de/V + /;,

on aura la série

\os:x H

ex icx^ "àcx'^

pour la valeur de log(.r + /).

Ayant ainsi le logarithme d'un nombre (pielconque .r, on pciil |»ar cette série trouver celui d'un autre noml)re plus grand x-+-f, et la snic sera d'autant plus convergente que la diflerence / des (W\\\ nond)ics aura un moindre rapport au nombre œ.

Par la théorie des logarithmes, on a

iog(^- + i) - log^ = ^og(^^) = ^""^y -^ ^) '

donc, si l'on fait dans la formule précédente ^ = y, on aura

formule connue.

Soit I -h y = ^; on aura

donc

Cette série n'est converiicnle et par conséquent ne peut servir a X. ' 5

Irouver le logarithme d'un nombre donné ::, que lorsque ce nombre diffère peu de l'unité; mais on peut la rendre convergente, dans tous les cas, par la substitution de \z au lieu de z ; car, puisque logv's est > loî?-

esal a

on aura, en multipliant par r,

où l'ou peut pi'cndre poui' /un n()nd)re (juelconcjue positif ou négatif.

Or, (juel (jue soit le nombre -, ou peut toujours en extraire la racine (Tiiu degi'é /■, tel que \'z soit un nondire aussi peu différent de l'unité (|u'on voudra; ainsi la formule précédente donnera toujours la valeur de log:; avec toute l'exactitude qu'on pourra désii'cr.

Si l'on prend /■ négativement, alors \' z devient ^r^, et la série qui rxj)riuie loge devient, en changeant les signes,

oîi tous les termes sont positifs. Ainsi l'on peut avoir à volonté, pour la valeur de log^, une série dont tous les termes soient positifs, ou alternativement positifs ou négatifs. Car il est évident que, z étant un nombre plus grand que l'unité, y- sera plus grand que l'unité, et, z étant moindre que l'unité, V- sera aussi moindre que l'unité; mais les différences seront d'autant plus petites, que l'exposant r de la racine sera un plus grand nond^re; donc \/'z — i et i— 77-= seront positifs dans

le ])remier cas, et négatifs dans le second.

Si a est la base des logarithmes, en sorte que log« = i, on pourra, par les mêmes formules, déterminer aussi exactement qu'on voudra la valeur du module c; car, en faisant loga = 1, on aura

ou bien

I)i:S roNCTlONS. 35

Il est chiir (jiic les dciix scM-ics (jiic nous venons de donner pour l'expression de logs seront nécessairement convergentes anssitôl (jn'on aura exlrail de z nne racine /•, Udle (|ne yz - ' soit nue IVaelion

moindre (|ne Tnnilé ; car alors i — ■p-= sera nne Irnelion |)liis pelile en-

eore, [)nisque

Ainsi, pnisque dans la premii-re série les termes soni allernalils, le second et le troisiJ'ine, le (|natri('ine et le ein(|nifMne, etc., l'ormeronl des sommes négatives; de sorte (|ne la premii-re série donneia

An contraire, la seconde série, ayant tous ses termes positifs, donnera

Ainsi l'on a tout de suite deux limites pour la valeur de log:;, (ju'on |)eut resserrer autant que l'on veut, en prenant r toujours pins grand. On aura, par la même raison, si \a < 2,

Puiscju'on a

il est visible que la difFérence entre les deux limites de log:; sera

ainsi, en prenant l'une ou l'autre des deux expressions précédentes de loge, on est assui'é que l'erreur en excès ou en dél'ant est nécessairenjent moindre que cette même quantité.

Ainsi l'on sera sur d'avoir, par ces expressions, les loi^çarithines exacts jusqu'à s chiffres, en prenant la racine \/'z, de telle manière qu'il y ait après la virgule s zéros avant les cliififres significatifs.

En général, puisque l'erreur va en diminuant à mesure que l'on prend l'exposant r de la racine plus grand, on peut dire qu'elle deviendra nulle ou comme nulle, si l'on prend/- infiniment grand; de sorte qu'on pourra regarder alors l'une et l'autre des deux formules

comme l'expression exacte de log:;.

On peut conclure de là que les logarithmes rentrent dans la classe des puissances, et forment le premier terme de la série des puissances dont les exposants croissent ou décroissent depuis zéro, ou le dernier terme des racines dont les degrés vont en augmentant à l'infini.

C'est aussi sous ce rapport qu'on peut dire qu'à un nombre donné répond toujours une infinité de logaritlimes, puisque sa racine infmitième a nécessairement une infinité de valeurs diflerentes.

La meilleure manière d'employer la formule précédente est de prendre pour /■ une puissance de 2, puisqu'on n'aura alors que des extractions de racines carrées à faire. C'est ainsi que Briggs a calculé les premiers logarithmes : il avait remarqué qu'en faisant des extractions successives de racines carrées d'un nombre quelconque, si l'on s'arrête dans une de ces extractions à deux fois autant de décimales qu'il y aura de zéros à la suite de l'unité, lorsqu'il n'y a plus que l'unité avant la virgule, la partie décimale de cette racine se trouve exactement la moitié de la racine précédente, en sorte que ces parties décimales ont entre elles le même rapport que les logarithmes des racines mêmes; c'est ce (jui résulte évidemment de la formule précédente.

Ainsi, en prenant / = 2«", on trouve, pour a = 10,

va = 1, 00000 00000 00000 00199 7174'^ 081^5 5o527 082;) I ...,

(le soi'lc ([tic l'on Miira

I I I 80 jSGi; 37988 /,o3r>4 ...

- — - 77= — T — J ^ K o = o,/|34o,Q ',18 If) ....

f /•'v'rt — , 199717420812350327 ... J \ J

C'est de ce iioinltic (|ii'()ii ;i (iié ('clni (|ir(iii ;• doiiiK' ci-dcssiis (loiir l;i valeur de c.

Si maintenaiil on vctil avoir, par exemple, le logaiilliine de >, on l'cia - = 3, et, employanl de même Go extractions de racines carrées, on

Ironvera les nond)i'es snivanls :

^cr=: 1,00000 00000 00000 0009.5 289^2 6.'|074 58932 ..., et de là

log^ = 7r= = 7 ^ - - — 0,47712 12047 '9<J<J2 ....

\/^ — i 199 7 '74'^ oHrr.) 00027 •••

Otte méthode est, comme l'on voit, très laborieuse par le iirand nombre d'extractions de racines qu'elle demande pour avoir un lésultal en plusieurs décimales; mais les séries que nous avons, données cidessus servent à la simplifier et à la compléter; car, (jnel (jnc soil le nombre z, il suffira d'en extraire (juelques racines carrées, jusqu'il ce (|n'on parvienne à un nombre yc qui n'ait que l'unité avant la virgule; alors les puissances de V^ — i seront des fractions d'autant plus petites qu'elles seront plus hautes; par conséquent il suffira toujours de piendre un certain nond)re de termes de la série pour avoii' les loiiarithmes exacts jusqu'à U'\ ordre de décimales qu'on voudra.

Les logarithmes qui ont l'unité pour module sont ceux qui m' nomment logarithmes naturels ou hyperboliques . parce qu'ils représentent l'aire de l'hyperbole équilatère, rapportée aux abscisses prises sm- l'une des asymptotes, et que Neper a le premier calculés. Leur base est le nond)re e, et, pour les distinguer des autres, nous les dénoterons sinq)lement par la caractéristique /.

Ainsi Ir aura j)onr fom'tion dérivée —■> et la formule générale

.r == rt'"t''' deviendra pour ces logaritliines .r == e'-' ; de sorte (ju'oii aura en général rt'"s-' rr e'-^; et, comme on a trouvé plus haut a = c'\ on aura gti„ga__^/j j.f^ p.jj. conséquent, /.r = c logj:-. D'où l'on voit (jue les logarithmes d'un même nombre, dans différents systèmes, sont en raison inverse de leuis modules.

Au reste, l'éijuation <-/ = e'' donne c =^ /<<; d'où il suit ({iic le jno- (lule c du système logarithmique dont la hase est a n'est autre chose (juc le logarithme natui'el de la nuMue base. Ainsi l'on pourra par la suite substituer l'expression la à la [)lace de c, dans les Jonctions dérivées de a'' et de logx.

De cette manière, on aura a''/a pour la dérivée de a'', et — — i)our

' .(■ la '

la dérivée de lo2\r.

Dans le système des logarithmes des Tables usuelles, la base a est su[)posée égale à lo; ainsi le module de ce système sera /lo, dont la valeur est 2,302585092994. . . .

Avant de terminer cette Leçon, je ne puis rn'empècher d'indiquer un usage de la formule

|)our trouver le développement d'une puissance quelconcjue d'une ({uantité composée d'autant de termes que l'on voudra.

Kn cllét, si à la place de /' on met i p + «y -h /* -h . . . ), on aura

-^^{P + 'ï-^f' -^■■■)^^■^■■ \'\ns[ le terme multi[)lié par i'" sera

(riiii îKlIi'c côlr, on ;i

(.iip^q 'rr. ■■)■— e'Pc''/ c''' .

x(i -h ir -h

Donc le corfticiciil de /'", diuis le (lévcloppciiiciil de ces (lillcrriils

produits, mulliplic p;>i' i ..>.'> ...///, sera la valeur de (/; + y -4-/-(-... i'".

Or il est visihic (|iu' co cocrticiont se trouvera composé (raiitnnt ^\^'

Icriucs de la l'orme

(ju'oii peul donner de valeui's dillérenles ;i a, >j., v, ..., (K; sorte (Uic l'on ail