A = -^^ TT, ' B
z-y-yz" z'f-y'z"
Noms remarquerons de plus ({u'il sut'lit (jue le plan du rvv{'\<' osculaleui' soit perpendiculaire au plan tangent à la surface, pour (|iic le ravon osculateui- soit perpendiculaire à la surAice, parce (pic ce rayon est nécessairement perpendiculaire à la courbe tracée sur la sin lace.
Or on démontre encore dans l'application de l'Analyse à la Géomchi» [voyez les feuilles déjà citées) que la condition ])our (|uc i\v\\\ plan< représentés par les équations
xY'[x] + jF'(r) + z Y'[z] + « = o, X + \y+ lîz -+- C = o
se cou[)ent ii angles droits, est renfermée simplement dans rcciuation
F'(x) + AF'(7) + BF'(3)=o.
l/c(|uation de la surface
Aur.uc aussi récpiation dérivée
l<'{x)-hy¥'{x] + z'F'{z] = o, d'oii l'on tire
Cette valeur, substituée dans ré(piation précédente, donnei'a c(dlc-ci
lA-r')F'(j)4-(B-2':F'(z) = o, (') OEuvres de Lagningr, t. IX.
laquelle, en .substituant les valeurs de A et B trouvées ci-dessus, dcvieiil
Or. si l'on divise le eoeftîeienl de F'( )-) dans celte équation par V^, V
étant V • + y"'-+- -■'', on a la dérivée de p> et de même le eoefticient de V'{z) divisé par Y" devient la dérivée de-^, comme il est facile de s'en
assurer par le calcul. Donc, en divisani toute l'équation par Nielle pimrra se mettre sous la forme
iv) r-(r]-(^)v'{z) = o
qui est la même que celle de l'équation que nous avons trouvée pouila liajne la plus courte.
Clairant a remarqué le premier, dans les Mémoires de V Académie des Sciences de 1733, que, quelle que soit la figure de la Terre, la lisfue ((u'on y tracerait en plantant continuellement des piquets perpendiculaires à l'horizon, de manière qu'ils soient effacés les uns par les autres, comme on l'a pratiqué dans la description de la perpendiculaire à la méridienne de Paris, aurait la propriété d'être la ligne la plus courte entre tous ses points. Ainsi la détermination de cette ligne dépend de l'équation générale qu'on vient de trouver.
En supposant que la Terre soit un sphéroïde de révolution, si l'on prend l'axe des .r pour l'axe de la Terre, dont le centre soit l'origine des coordonnées, et qu'on nomme r l'ordonnée de la courbe des méridiens, on aura
r = \jy- 4- 2-.
Donc, si
est l'équation de cette courbe, (die deviendra C(dle de la surface du sphéroïde, en y substituant sjy- + z- pour/-; et, à cause de /' = -^-^ ^ ^^ ,
IH:S l'ONCTIONS.
011 ;iiii-:i
F(r)----rF(r), V'{z) = ^F{r),
(le soric (|ii(' r(''(]ii;ili()ii de l:i lii^iic la |>liis coiiilc sur le splirioidc de vicndia
v; ^- vir = o,
l;M|ii(dl(' csl du second oïdic, loais doiil la pi'iiiiilivr du premier oi<lic
esl
zy' — rz'
(/ étaiil une eonslanU^ (jneleon(|in'. ("elle (''(|nalioii, conihinee avee l'(Mjuation Ff^r, /•)=:o, suffira pour eonsirnire la eonrln-.
(le pi'ol)l(Mne esl Irailé avee Ix'aneoup de délails dans le <pnilrn"'nir \ olnnie des Onvrai^cs de Jean Bei-nonlli.
I.e [)i'ol)l('nie d<' la lii;ne la pins coui'le eonduil nalni'(dleinenl à erjiii
de la sni'faee de la moindre éleiidne. Nous avons «léjà vn |)Ims liani ipo'
l'on a aloi's
d'iMi l'on lire la vai'lali<m
• z'''z'--hz''z''
la(|n(dle élan! eoni[)ai'éo à la forninle
Lz + ^\z'-+\z''
donne
el de lii lésnlle i"é([nalion générale
Celle é(jnali(Hi, en elleelnanl les dérivations indi(pH''es, se rédnil à
4i0 LEÇONS SUR LE CALCUL
(»i-, cil prcnnnl sucrossivement les dérivées par rapport à x et à v, on Iroiivc
\\''- = z'-z'''-hz'' Z-";
(le sorte ({u'en nuiltipliant l'équation précédente par V, et su])stituant les valeurs de V", VV", YV'', on aura après les réductions
Va, si l'on aime mieux employer la notation proposée à la fin de la Leçon XIX, on aura, pour l'écjuation de la moindre surface,
[-(srm
Monge et Legendre ont trouvé, par des méthodes ingénieuses, ré(|iiati(»ii primitive de cette équation du second ordre; mais la forme sons laquelle elle se présente la rend peu susceptible d'applications utiles. ( Forez les Mémoires de r Académie des Sciences de 1787.)
Pour donner encore un autre exemple, nous reprendrons le problème si connu de la brachistochrone, ou ligne de la plus vite descente; mais nous la considérerons dans un milieu résistant comme une fonction (juelconque de la vitesse.
Soient les abscisses x dirigées verticalement de haut en bas, et paiconséquent les ordonnées r lujrizontales. Si l'on nomme g la force constante de la gravité, s le carré de la vitesse et o(::) la fonction de la vitesse qui est. proportionnelle à la résistance, les principes de la Mr( ani(jue donnent ré(|uation
z —'y.g-h-}.z>{z)\Ji-^y- = o
pour la détermination de z; et le temps, qui doit être un maximum ou un minimum, est exprimé par la fonction primitive de l'expression
DES FONCTIONS. Wl
l']ii coiiipai'anl ces fonmilcs aux rdiimilcs i^rin-i'alcs, on aura
cl la lonctioti ¥(.x,y,y',z,z', ...), (jiii, ('"laiit rgalrc a zrro, (loiiiic r('(|iial ion (le (•((iidilioii, sera
z' — 'ig- -1-29(2) v' I -^ }'-•
On aura donc
Kl <l(" là
y/i -^y'-s/z' l^jisiiiic on aura Téquation variée
z' -hlZ Cp'(2) y/i +/--f- 29(2) • • =0,
cl par conséquent
De là on aura
vi+r"\2
L — — jj ,
D'apri'S ces valeurs, on aura les é(|ualions générales
Vi-2 LEÇONS SUn LE CALCUL
cl lÏMiiialion aux limites
Il — 1 0 = 0,
011 faisant
cl, si l'on vciil loiiir compte do la variation de .r, on aura
■ V- Les deux équations générales se réduisent à celles-ci :
v^ ' + y iz-
dont la première a pour primitive
ya
<-/ étant une constante ai'hitraii'c.
11 faudra substituer dans celle-ci la valeur de >. tirée de la seconde; ensuite il faudra éliminer z par le moyen de l'équation de condition
et l'équation résultante en y et a: sera celle de la courbe cbercbée.
Comme z représente le carré de la vitesse et que l'équation en z est du premier ordre, la valeur de z, tirée de l'équation primitive de c(dlcci, contiendra une constante arbitraire qui dépendra de la vitesse initiale imprimée au mobile.
On peut donc regarder la valeur de z, à la première limite, comme une fonction donnée des coordonnées initiales ^ et j'. Ainsi, dénotant cette fonction par la caractéristique A, on aura la condition
2o= A(^o,.ro)-
DKS FONCTIONS. kk3
Ko cas lin vide n'a auciiiic «liriiciillc;' ; car, cii faisaiilo' r = o, on aura
'»'(|nali(Mi
-^=== — = = consi. =. --,
oh '/. nCnlic pas.
liiisuilc on a
z' — 9^g=0, dOÙ l'on lilO Z=:2gX-h/>.
Va] ia|)|»()iian( celle é(|nalion ;i la premii're limite, on a
2o=: î^'X,, 4- />, (1 On h ^= z„— 2<^X^.
Ainsi la valeur eoniplèle de 3 sera
Zz='îg{x — X„]-hZ^t.
Or re([natioii en v' (loiine
('(ination ({ni, par la substitution de la vahsur de ;, «levient celle de la
cycloïde oi'dinaire.
Soit, pour abréger,
le |)roblèine général dépendra de ces trois équations du preinier ordre,
Si l'on prend la dérivée de /, on a
■'ï—^-2i<^-[z^^-^'iro[z).
(I ou I on tire
cette valeur ('lanl siil)stituée dans la seconde é(|iialioii ci-dessus, ou aura
mais la troisième donne
substituant celte valeur dans la dernière équation après l'avoir multipliée par z', elle se réduira à
Or on a
tr'r"
c{ la première équation donne
tr' ^ j. donc l'équation (ju'on vient de trouver deviendra
^ a dont la primitive est
et, si l'on substitue encore ici pour / sa valeur ~ tirée de la pre-
r' \J(i mière équation, on aura
y'sja
Ainsi l'on a la valeur de "). qu'on substituera dans l'expression de / de la première é(iuali()n; et il ne s'agira plus que de combiner celle ecpuition avec la troisième pour en éliminer z.
DES l'ONCTIONS. Wô
<l()iisi(li'i'oiis niaiiiLciiaiil ['('(jiKilion ;iii\ liiiiilcs
supposons, ce (|iii csl le eus le plus oi-fliiniirc, (|iir les deux liiiiilcs soient iii(|{''p('ii(l;iiilcs riiiic de raiilic; (tu ;iiii;i S(''[);iit'im'iil
Ùo=o, lJi = o.
Or, en laisaiil dans r('\[)r('ssi()ii de l doiuiéc plus liaiil 1rs siihslitiilioiis nécessaires, on a
Cette expression, en mettant pour:?' sa valeur 2^ — 2o^c)v'i -l-.v'^ et réduisant, devient
2fi ^ +
OÙ / est mis pour -^ +2X9(;), comme on l'a emplové ci-dessus, de
sorte qu'en substituant encore à la place de t sa vaieni- donnée par la |)romi('re équation, on aura plus simplement
Cette valeur de L' devra donc être nulle aux deux limites.
Pour la premii'i'e limite, nous avons vu ci-dessus (jue l'on a en i;énéral :;„ = A(.ry, j„); donc, prenant les variations, on aura
:;„ = xo A'' :r„ ) + )\^ A'(|-o ),
de sorte que ré(|uation L'o ^ o donnera celle-ci :
-îg-l^ -b A' -r,,; >,„
Pour la seconde limite, on aura aussi U, = 0, équation dans laciuel le. la variation 3 demeurant indéterminée, il faudra la faire évanouir en
kW LEÇONS SUR LE CALCUL
('•galant à zôro son coefficient X,. Ainsi l'on aura la condition )., = o, (jiii servira à tléterniiner la constante arbitraire A de la valeur de /. trouvée j)lns haut. L.elle condition donne
d'où l'on tii'e
de soile (jue l'expression complète de ). sera
(I ou I on aura
valeur qu'il laudi-a substituer dans l'équation à la première limite.
A l'égard de ré(|uation de la seconde limite, elle sera simplement, il cause de )., =o,
o, savoir X\ -+ )\ j\
Cette équation est tout à fait semblable à celle que nous avons houvée dans le premier exemple, et d'oii nous avons conclu (jue la ligne la plus courte devait couper à angles droits la ligne qui l'orme la si'conde limite. Ainsi la même conclusion doit avoir lieu pour la ligne delà plus vite descente, quelle que soit la loi de la résistance du milieu.
Uevenons à la première limite. En substituant dans l'équation de cette limite pour >.o sa valeur, elle devient
ji/J
Maintenant, si l'on désigne par {y\) la dérivée de l'ordonnée >' de la courbe qui buiue la première limite, on aura, comme on l'a vu dans le premier exemple, l'équation y„ — (r'J.rn = o. Donc, si l'on substitue
(l;iiis r('M|ii;ili()ii prrcrdciilc, ;iii lien «le )'„, sa valour (y'„)i>^„, l;i v;iii;ilion .r„ (Iciiiciirci;! aihilniiic, cl il ImikIi';! vriilicr rr(jii;ili(iii en ri:;il;iiil il Z(M'() le cocriiciciil de .r„, ce ipii (loiiiicr;!
h^^ik-m^r.-'
équation :» hujucllc on satisfera par le moyen (rniH' des conslanh's arl)itraires.
Supposons, co (jui est le cas le pins simple, que la vitesse inilialc \/g„ soit donnée indépendammcnl du lieu de dépai'l; on aura aloi'z„= à une constante; donc
A'^o.jroj = const.,
et par conséquent
et ré(juation précédcMite deviendra
~r + (/o ) = o> savoir i + /, (;•; ) = o. j I
Dans celte écjuation, ( v'J exprime la tangente de rani;le (juc l'ait avec l'axe des x- la tangente à la courhe de la première limite, dans le point où elle est rencontrée par la ligne de la plus vite descente, et >-, exprime la tangente de l'angle (jue fait avec le même axe la tangente ;i cette même ligne au point de la seconde limite; et il siiii de celle équati(ui, comme nous l'avons vu dans le premier exemple, (jiu' la différence de ces deux angles doit être égale à un angle di'oil. l)(»iic il faudra (jue la tangente à la courhe de la première limite soit perpemliculaire à la tangente ;i la ligne de la plus vite descente au point de la seconde limite; et, comme nous avons déj;i vu (jue cette tangente doit être perpendiculaire à celle de la courbe de la seconde limite,. on en conclura que, dans le cas dont il s'agit, la courbe de la plus vite descente devra rencontrer les deux courbes des limites dans des points où les tangentes soient parallèles entre elles.
4i8 LEÇONS SUR LE CALCUL
Afais, si l'on veut que la vitesse initiale soit toujours celle que le eoi'ps acquerrait en tombant d'un même point donné, nommant h la hauteur de ce point au-dessus de l'axe horizontal des ordonnées v, on aura h + x^ pour la hauteur due à la vitesse initiale dont z^ est le carré ; et les principes de la Mécanique donncroiU
Donc
A(jro, Joj = ag*!/' -r- ^o),
cl (le là
A'(j:o) = 2g-, A'(jo)=o,
ce (jui réduira l'écjaalion de la première limite à celle-ci : — + ( j'o ) — O' savoir i + /„ ( j' )o = o,
hi<juelle montre, comme on l'a vu dans le premier exemple, (jue la ligne de la plus vite descente doit couper aussi à angles droits la ligne (jui forme la première limite.
On avait trouvé ces mêmes résultats pour la ligne de la plus vite descente dans le vide. [Voyez le quatrième Volume des Mémoires de Turin ( ' ) et les Mémoires de V Académie des Sciences pour les années i -(ij et 1768. L'analyse précédente fait voir que les conditions relatives aux limites sont indépendantes de la résistance.
Si, au lieu de la courbe de la plus vite descente, on demandait celle où la vitesse acquise serait un maximum, il faudrait rendre la quantité :; un maximum, et l'on aurait le cas où nous avons vu que les équations générales se réduisent simplement à (Y) = o, (Z)=o, savoir
2X o'[z) \Ji -h j'- — À' = o, (') OEuvrcs (h: Lngrange, t. II, p. 87.
I)i:S FONCTIONS.
C(jii;i(i()iis (jn'il l';nil coiiihiticr ;iv('r l'(''(jii;ili()ii en z
