LEÇON CINQUIÈME
lONCTIONS DÉUIYKES DES SINUS ET COSINUS D ANGLES, ET DES ANGLES EXPHIMÉS l'AR LES SINUS ET COSINUS. DÉVELOPPEMENT DE CES QUANTITÉS EN SÉRIES.
Les angles n'entrent dans l'Analyse que par le moyen de leurs sinus et eosinus, qu'on dénote par les mots sin et cos, plaeés comme caractéristiques avant les angles. On a ainsi les fonctions angulaires sin^:- et C0S.2 , dont la propriété générale, tirée de la nature du cercle, est qu'en prenant deux angles quelconques x et j, on a
sin [x -\- y] ^^ sin j? ces r + cos.r sin ->•, cos(^ + j) :=cos.3?cos )' — siiKr sin >'.
. Cela posé, pour avoir les fonctions dérivées de sin^r et cosa;, il n'y aura qu'à mettre ^ + ï à la place de x, et développer ensuite les fonctions
sin ( X + /) et cos ( x + i]
suivant les puissances de i\ les coefficients de i dans ces développements seront les dérivées cherchées. Or, parles formules précédentes,
on a
sin [x -\- i]^=z ?,\nx cos/ -f- cos^sin^',
cos(^ + i] ^=. cosx cosi — sin>r sin/.
Ainsi tout se réduit à développer en séries les quantités sin^ et cos/. J'observe d'ahord que, quelle que puisse être la série du développement de sin/, elle ne saurait être que de la forme
ni, /?, . . . étant des nombres positifs et qui vont en augmentant ; car le
sinus (Icviiii! vtvv nul l()rs(|ii(' l'aiii^le est nul, il est évident que son expression en série par les puissances de l'aiii'le ne peut contenir anciuk; puissance néi^ative.
J'observe ensuite que, par les l'orjiiules générales, en l'aisaiil r cl y é^aux à /, on a
sin 21 — A siu <■ cos^ := 2 sin<Yi — sin^/; donc, sin/ étant = \i"' -{- \M" -+-... , on aura
sin 2ir= 2"> A/'« H- 2" B i" -h
D'un autre côté, on a
sin2 i — A2 /2/« ^ 2 \B «'«+« + . . . , et
\j\ — sin-^ f = ( I — sin- f )- r= i — A A-' <-'" — AH Z'»^" — ... ; donc on aura
2 sin / \/i — sin- « = 2 A «'« -t- 2 B /«+... — A» /»'" — ... ; cette série devant être identique avec la suivante,
qui exprime la valeur de sin ii, la comparaison des premiers termes qui renferment la même puissance «"'" donnera
donc m = I .
Ainsi on est assuré que le premier terme de la série de sin/ est A/;
par conséquent, les deux premiers termes de la série de cos/ seront
I : faisant ces substitutions dans les expi-essions ci-dessus de
sin(^' + /) et cos(a7 -{-/), et n'ayant égard (ju'à la première jouissance
de /, on aura
sin [x -\- i] ^^ sina- + /Acos>r-h. . . ,
cos(j: -v i\ =: C0SJ7 — ik sin.r -i-. . .; X. 6
(lonc la fonction dérivée de sina? sera Acos^, et la fonction dérivée de cos,r sera — Asina;.
Le coefficient A est une constante encore inconnue, mais i[ur nous déterminerons ci-après [)ar la nature du cercle.
Connaissant ces premières fonctions dérivées, on pourra de la niènic manière trouver toutes les suivantes. Ainsi, la première dérivée de sin^' étant Acosa?, la dérivée de celle-ci sera — A-sin.r, et la troisième dérivée sera — A' coso:, et ainsi de suite.
Donc, en général, s\/{a;) = sina?, on aura
/'(^]=Acos^, f'[jc]-= — \^sm.r, /"'(j:')=— A3cos.r, ...:
et, faisant ces substitutions dans la série du développement de
/{x ■+- i), on aura
sinf J7 4- i] =: sinx + A< cosj:- sin x — '- — -r coScr + „ . sin./- -:-....
On aura de même
/(:r] = cosj:', /'[^) = — AsiiiJ?, /"(^) =— A^ cosx, /"(j:--) r^A^sinx. ...;
et ces substitutions donneront
, . . A-^i- A'^r' . AW' ces X -^ i]-=z coso^ — Al snix — • cosxh smx- h tt-t cosj: — ....
Faisons pour abréger
V^Ai-
on aura
sin(j7 -h /) T= Q sinj:- + P cos.r, (',0S(.J::- h- «■) n= Q COSJ:- — P sin.r,
d'où l'on tire, par les théorèmes connus,
silure 1' Cl COSf=:Q.
Ainsi on ;iiir;i, (|im'1 (|in' soil l'iitji^lc /, les srrios
sin/ = /A
cos l =: I
'2.3 2 . 3 . /j . 5 «2 A 2 f*A» /«Ao
Il s('ini)l(' (jn'on aurait pu déduire immédiatement ces séries de celles qu'on a trouvées ci-dessus pour sin(.'c-t-«) et cos(^H-«;, en y faisarit ,r = o; mais nous avons voulu éviter ici, comme nous l'avons déjà lait plus haut, les dilficultcs (jui [)()urraicnt naitic; de ce que le développement de /f^+f) n'est généralement vrai (jue tant qu'on ne donne pas à oc des valeurs particulières.
Maintenant il est visible que ces séries sont nécessairement convergentes, en prenant rani;le / tel (jue \i soit égal ou moindi'e ([ne l'unité, et il est visil)le en nièine temps qu'on aura alors
sini<A« el >A« — - — ^;
car les termes ayant les signes alternatifs, et allant en diminuant, les sommes du second et du troisième, du quatrième et du cinquième, etc., seront toutes négatives; et au contraire les sommes du troisième et \\\\ quatrième, du cinquième et du sixième, etc., seront toutes positives. D'un antre côté, il est démontré rigoureusement par les théorèmes d'.Archimède que le sinus est toujours moindre que l'arc, et (|ne la tangente est plus grande que l'arc, du moins dans le premier (jnart ile cercle; ainsi on aura
. . . SMW
sm< < i ol . > i;
cos<
mais
cos< = v' ~~ siii-/,
donc
sin/ . .... .., , 0 -,
> /, sm-/ > /-^i — sm-/).
y^i — sin'-^i
ii LEÇONS SUR LE CALCUL
d'où l'on tire
sin< >
ainsi l'on aura, par la nature du cercle,
sjn; < ; et >
Si donc on prend l'angle i moindre (ju'un droit et assez petit j)onr (jue Ai soit moindre que l'unité, on aura nécessairement
i» sin<<A/ ot >
par conséquent,
A i > , et A >
\/lH-«- \l\ + /-
2" ^\ni>kl rr- et < /,
par conséquent,
A i o- < ^ et A ^ < I , ou A < 14- — TT •
Comme ces conditions doivent avoir lieu, quelque petit que soit i, il résulte de la première que A ne peut pas être moindre que i ; car, si
A <C I , on aura -r- >> i ; or la condition
donne -r- < sj \ h- /- ;
donc, quelque peu que ^ surpassât l'unité, il serait tonjours possible de prendre i tel que
\J\ + «2 fût < -7-,
tandis que cette quantité doit toujours être >> -^■
Il résulte ensuite de la seconde condition que A ne peut pas être
plus grand que l'unité; car, (juclciuc peu que A surpassai l'iiriilc, il serait toujoni's possible dr |)ren(lre i assez ])elit pour (juc l'on cmI
lundis (in'on doit avoir lonjoiirs
Donr, |)iiis(nie la valeui' de A nr, peut être ni moindre ni pins grande (jnc l'unité, il s'ensuit qu'on aura nécessairement A= i.
Donc la fonction dérivée de sin.r est simplement cos.r, et Ui fonction dérivée de cos^c est — sin^, x désignant un angle quelcon(|n(', c'eslà-dii'e un are dans le cercle dont le rayon est l'unité.
Ainsi l'on aura en général, pour un angle quelconque /',
Sinirrr l —
COSf
formules connues, et dont la découverte est due à Newton.
Nous venons de considérer les sinus et les cosinus comme tonctions des angles. On peut réciproquement considérer les angles comme fonctions de leurs sinus ou cosinus, et en cherchant les fonctions dérivées. On désigne communément cette fonction par les mots angle sin ou angir cos, placés avant le sinus ou le cosinus, comme caractéristiques.
Soit
/( j;) = angle sin, r, on aura sin/(.r)=j7;
mettant x -h i pour .r, et supposant
on aura
sin[/(j-) -h to ] — ,r -i- f = sin/(j7) costo + cos/(.z-) sinw; or
.sii)/(x) =a?, cos/(.37) = y/x — sinV(a) = \/i —jr-;
V(i LEÇONS SUR LE CALCUL
(le j)liis
sin to = to ,,- + . . . , et cos lo = i h . . . ,
par les tbi-imiles trouvées j)lus liant; donc, faisant ces substitutions et restituant la valeur de co, on anra, en ordonnant les termes par rapport ;i /, ré(juation identique
.r+/ = x+iVr=^/'(.r)+^ [v/i-x^/"(x)-^[/V)]'l +••-.
laquelle donne, par la comparaison des premiers termes affectés de i,
I = ^1 — ,r-/'(j:^^), d'où résulle f[œ]-=.
La comparaison des autres termes donnera les valeurs de /"(a*)' f"\x), ...; mais il est plus simple de les déduire immédiatement de celle A^ f\x).
Soit maintenanl
/(^) =r angle cos JT, on aura ^=:cos/(^];
mellanl x^i pour x, el/{x) + co pour/(j:"), on aura
.T -+- /=: cos[/(j:') 4- w] =: cos/(.r) COSoj — sin/(j:0 sinw; or
cos/{jc}=: jc et ii\n/[jc) ■= \!' i — cos- /[jc] =: s/ 1 — X-; faisant ces substitutions, et mettant pour sinto et cosw leurs valeurs en
séries, co — ;— ;t h- . . . cl i — + ..., on aura, après avoir restitue la
valeur de co et ordonné les termes suivant les puissances de /, cette (Mj nation identi(jne
X 4- i — x — i\/i—x^f'[x] — -■ [\/i —x-^/"{x)+x[/{x)yj -h. ..; et la comparaison des deux premiers termes affectés de /donnera
DKS FONCTIONS.
d'oii rrsiille
Donc, puisque .r ('tant, le sinus d'un an-le, \ r — .?- en est le cosinus et .r étanl le cosinus, ^ i — -t'- en est le sinus, il résulte de ce (jue nous venons de ti'ouver (|in' la foiicùon dérivée d'un an^lc, exprimé par son sinus, est égale à r unité divisée par le cosinus, cl (pie l(( fonction dérivée d'un an<rle, exprimé par son cosinus, est égale à i unité divisée par le sinus, et prise avec le signe — .
48 r.ECONS SOR LE CALCUL
