LEÇON SIXIÈME

rONCÏIONS DÉRIVÉES DES QUANTITES DE DIFFÉRENTES FONCTIONS D UNE MÊME VAlilAni.E, OU DÉPENDANTES DE CES FONCTIONS PAR DES ÉQUATIONS DONNÉES.

[j's ronctions que nous venons de considérer dans les trois dernières Leçons sont comme les éléments dont se composent toutes les fonctions qu'on peut former par des opérations algébriques; c'est pourquoi nous avons cru devoir commencer par chercher les fonctions dérivées de ces fonctions simples; et nous allons voir maintenant comment on peut trouver les fonctions dérivées des fonctions composées de celles-ci d'une manière quelconque.

Nous supposerons en général que />, q, r, ... soient des fonctions quelconques d'une même variable, dont les fonctions dérivées //, ^', r' , ... soient connues, et que r soit une fonction composée de/?, q, r, ..., dont on demande la fonction dérivée r'.

On considérera que, x devenant x -\- i,y deviendra en général

r + ir' H r" -i- . . . ;

or p. q, r, ... deviennent en même temps

p + ip'-^ . . ., q -\- iq' -h . . . , / -h ir' -f- . • . ;

il n'y aura donc qu'à substituer ces valeurs dans l'expression de y, développer les termes suivant les puissances dei, et le coefficient de «sera la valeur cherchée dej'.

Ainsi, si

A, B, ('., ... ('taiildcs cociricicnts quelcoinjucs, on aiini sur-lc-cliani|)

r'=A//+ Hy' -H (:/•' + ....

Si y = A/-'^, la quantité /)^ dcvii'ndra

[p + 7>' + . . . ) ( 7 + '7' + • • • ) =P'/ -t- ' ( 7/^' 4- /'7' ) + • • • ; donc

y=k(r/p' + pr/').

Si y =^ Apqr, on trouvera de la même manii'ic j' — A ( y/y/ + pry/' + /^y/' 1 .

Si Y — A -j la quantité — deviendra

p ■+- ip' 4- ■ . • V + ,Vy' + . . .

Développant le dénominateur on série, suivant les règles connues, on aura

donc

I lo' \ p . i> p(i

SoiL J = Xp"'q", la quantité//" 7" deviendra

(y, + ,yy 4. . .]m [q 4- iq' + ...]"-=: [p'" + mip'"-^ p' -}-. . .) [q" + fUq"-' q' -^ . . .]

- pm qil .! / ^ ,/,yy« I Y" // -; /iq" ' /^"' y' ) -4- ... ;

donc

y — A ( mq"j>"' I // -i- ///J"' 7" ' 7' ) .

On trouvera de la même mauière que, si v = A//"^/"/, on aura

y' = A ( //*7" r' p'" ' // + ///'"' rhpi 1 y' -i- //>'" y" z' < /•' ),

et ainsi de suite.

Soit en général ^>' =/(/?); en regardant /(/>) comme une lourtioii X. 7

de p, ses fonctions dérivées seront/'(/j), f"{p), ... ; en sorte que, p devenant/j + oj,/(/j) deviendra

Or, [) étant une l'onction de a-, lorsque x devient .r 4- /, /j devient

Donc, faisant (0 = ?/>'+—/?"+.. ., la fonction /(/>>) deviendra, par la substitution de .rn- z" à la place de x,

Ainsi l'on aura d'abord y' = /j'/'(yy), d'où résulte ce principe : que la fonction dérivée cV une fonction, qui est elle-même une fonction de x, est égale au produit des fonctions dérivées de ces deux fonctions.

Ce principe sert à généraliser les résultats précédents, relativement aux fonctions dérivées des puissances des exponentielles des logarithmes et des sinus et cosinus.

Ainsi :

si )■ =/>'". on aura y' ^= nip^'^ ^ p';

si y = aP, on aura j' = aP p'ia \

SI y = loij^p, on aura y -=^i—\

si j ri= sin/>, on aura f ^=^P cosy^ ;

si y = cos/>, on auia j' = — P' sui/> ;

S) j^: angle sin/>, on aura . . . y —

p' SI jK =: angle cos/>, on aura ... ,r = — —^

Supposons ensuite que y soit une fonction de/; et q, (jue nous désignerons par //;, q \ il s'agira de substituer x -\- i à la place de .r dans

les deux fonctions/; cl y, ci de honvcr ciisiiilc le coefficient de / dans le développement de la fonclion coniposéc /(/?, ^). Or il est visible qu'on aura le même résultai, soil (|ii'(»ii lasse ces deux suhsliliilions ;i la fois, soit qu'on les fasse l'une après l'autre, j)uis(pie les quantités/; et y sont rei^ardées dansées substitutions eoninjc indépendantes.

En substituant d'abord .r + Z à la place de .r dans la fonction/;, la fonction/(/j, ^), regardée seulement comme fonction de/?, deviendra, par ce que nous venons de iroiivei-,

J'écris simplement/'(/?) pour désigner la fonction «lérivée de/(/?, ^) relativement à p seul, q étant regardée comme constante.

Substituons ensuite x + i-à\x lieu de x dans la fonction r/, la fonction /{p,q) deviendra pareillement

oùfiq) représente la fonction i)rimc de /[p,q) prise relativement à <7 seul,/) étant regardée comme constante.

Quant au terme ip'fip), il est visible qu'étant déjà multiplié par / il se trouverait par celle nouvelle substitution augmenté de termes multipliés par r, P,

Ainsi les deux premiers termes de la série provenant du développement de/(/?, q), après la substitution de .r + / pour .r dans /; et q, seront simplement

de sorte qu'on aura

Si jetait une fonction de /;, q, r, représentée par/(/>, ^, r), on trouverait de la même manière

y = P'/'{p) -\- l'/'iQ) + /■'/'(/•)-/'(/>, ç, r), et ainsi de suite.

D'où l'on peut tiirr cette conclusion générale, que la fonction dérivée d'une fonction composée de différentes fonctions particulières sera la somme des fonctions dérivées relatives à chacune de ces mêmes fonctions considérées séparément et indépendamment de l'autre.

Ce principe, combiné avec le précédent, suffit pour trouver les premières fonctions dérivées de toutes sortes de fonctions, ainsi que les fonctions dérivées des ordres supérieurs.

Ainsi la fonction dérivée A^ pq étant qp' relativement à/?, et/?^' relativement à q, la fonction dérivée totale sera qp +pq'-, comme nous l'avons trouvé ci-dessus.

De même, en regardant maintenant p et q comme de nouvelles fonctions, dont // et q" sont les fonctions dérivées, la fonction dérivée de qp sera q p' -t- qp" , et la fonction dérivée de pq' sera p'q' +pq '-, de sorte que la seconde fonction dérivée de pq sera qp" -^ ip q -\- pq" \ et ainsi de suite.

Par les mêmes principes, on a

mq" p"'^ p' + np'" rj"~^ q'

pour la fonction dérivée de p"q'\ le premier terme étant la fonction dérivée relative à /?, et le second étant la fonction dérivée relative à q\ et ainsi du reste.

Si/>= sino; et ^ = cos£c, on a/>' = cos.r et</'= — sin^; donc, lorsque

y=^ %\n^^œ cos"j',

on aura

y' ■=. m sin'""' X cos""^' x — n cos«~' .r sin"'"^' x.

Ainsi, comme la tangente d'un angle est égale au sinus divisé par le cosinus, en la dénotant par le mot tang placé avant l'angle comme caractéristique, et faisant

on aura

langj;

sin X

COSJ?

sin2

" cos^*

DES FONCTIONS. ly.i

Va rw général, si J'= l:ini;/>, on irouvci-a

Afais l;i loiiclion y pomrail iTrlic doiirirc (|iic |);ii' iiiir ('(jiialioii riilic •r et y. Ucpréscnlons en général cette é(}ua(i(m par

il est elair (|iie, si l'on regarde j comme ihk; fonction de .r délei-iniin'c par cette équation, et qu'on imagine cette fonction substituée au lieu (le j dans Y{y,oc), il en résultera une fonction de x qui sera identiquement nulle, (juelle que soit la valeur de .r, et par conséquent aussi en inetlant x -h i à la [)lace de ce, qucdle que soit la valeur de /.

Dénotons cette fonction par s, et comme ^, devenant r -f- /, ; dcvicnl 3 -h iz''+- — z"-h ..., on aura, quelle que soit la valeur de /', ré(jnali()ii

z + iz' -\ z"-{-. . . = o;

d'où l'on tire les équations

^ = o, z'^zo, z"^=o, ....

Maintenant, :: étant r=F(j, .r), on aura, par les formules ci-dessus,

^-' = yF'(7)+F'(^),

en dénotant par ¥'{y) la fonction prime de ¥{y,x) prise relativcmmi à y seul, et par f'{oc) la fonction prime de ¥{y, x) prise relativemeni ;i X, et faisant x'= i, puisque x devient siiuplement x -+- /. Ainsi l'équation dérivée z' = o sera

d'oLi l'on tire

F'ia:]

On aui-a <le ceth; manière la valeur de y' en jonction de .r el v: de lit.

3i LEÇONS SUR LE CALCUL

en regai'tlanl toujours y comme foiicliou de œ, ou pourra déduire la valeur de j" eu fonction de x et y. Car, en supposant pour abréger v' =/{y, x)y la fonction dérivée àef[y, x) sera de la forme r'/\r) -t-/'(a?); donc, substituant pourj)'' sa valeur, on aura

cl ainsi de suite.

On ti'ouverait les mêmes valeurs de r", /", ..., par les équations

Si l'on avait plus généralement l'équation

F(r,/^^, ...)=o, on trouverait de la même manière l'équation dérivée

d'où l'on tire

Et, regardant de nouveau la valeur de y' comme une fonction de y, p,

(j. ..., p', q', ..., sa fonction dérivée sera la valeur dey"; et ainsi de suite.

Entin, si l'on avait deux fonctions y et w données par les équations

F [y, II, P^ <j, ...) = o, /( r, //, />, '/, ...] = o,

on pourrait par les mêmes opérations trouver immédiatement les valeurs

dey et u' en fonctions de y, u, p, q,

Car on aurait d'abord les équations dérivées

yf'[y) + «'/'('O +p'f[p) + q'f'[q)+-- • = o,

d'où l'on tirerait/ et li \ et ainsi du reste.

Les règles que nous venons d'établir suffisent pour trouver les fonctions dérivées d'un ordre quelconque de toute fonction d'une variable, de quelque manière qu'elle soit donnée, soit explicitement par des

expressions déterminées, soit irMitlicitciiicnl \)-m' des équations (juclconques.

A l'égard de la notation (jue nous avons employée |)()ur représenter séparément ciiacjne partie d'une (onction dérivée, ndative à eliaciitie des fonetions particulières (jui entrent dans la lonetion primitive, on voit qu'elle est très simple et très commode, et nous nous en servirons ainsi dans la suite.

On peut même, par cette notation, ne séparer du reste de la loiiciion dérivée (|iie la partie relative à une variahie donnée. Ainsi les (onctions primes de p et q, ou de p, q et r ou . . ., |)envent se dévelop|)er de cette manière,

f{p, V, /■) =p'f{p) -^/'[rp r] =p'/'[p] 4- 7'/'(<7) 4- r' f{r],

et ainsi des autres.

Il fiuit toujours observer de ne renfermer, entre les parenthèses ({ni suivent la caractéristique/' des fonctions dérivées, que les variables par rapport aux(jU(dles on veut prendre la fonction dérivée.

Lorsqu'il n'y a qu'une seule variable entre les parenthèses, comme /(/?), cette expression indique que la fonction dérivée doit être prise relativement à cette variable, comme si elle était seule et unique ; c'està-dire que /'(/?) sera le coefficient de /dans le dévcdoppement de la fonction donnée, en y substituant simplement/? + f au lieu de/;, quelque fonction d'ailleurs que p puisse être de r.

Quoiqu'il soit plus simple de déduire les fonctions dérivées des din'érents ordres les unes des autres, parce que de cette manière les mêmes règles et les mêmes opérations font trouver toutes les dérivées, et que ce soit même dans cette dérivation successive des fonetions qne consistent l'essence et l'algorithme fondamental dn Calcul des fonctions dérivées, il y a néanmoins des cas où la considération immédiate des termes successifs de la série peut donner les fonctions dérivées successives d'une même fonction d'une manière plus directe et plus générale; c'est ce qui a lieu lorsque le dévtdoppement de la fonction en série peut s'exécuter facilement par les formules connues.

;i6 LEÇONS SUR LE CALCUL

En efïet, si l'on a on général

y—f[py'h •••)»

p, (j, ... étant des fonctions de x, et qn'on substitue x + i à la place de X, cette équation deviendra

.)■ + iy' + '- y" + • • -—/[p + ip'+ ^ p" + ---,q + i<i' + ^ v" + •

Et elle devra avoir lieu indépendamment de la quantité indéterminée i-, (le sorte qu<', si l'on peut développer directement la fonction qui forme le second membre en une série de la forme

fip, V, . . . ) + '" P + '- Q + ^'^ R + • • ■ .

on aura sur-ie-cbamp

Soit, par exemple, r =/?y; on aura à réduire en série l'expression

et il est facile de voir qu'on aura y=pq' + p'q,

f ^pq'" , p'q" , p"q' , p"'q ^ 2.3 2.3 2 2 2.3

et, en général.

l'exposant placé entre deux parenthèses désignant l'ordre de la fonction dérivée; de sorte qu'en multipliant par 2.3. . .m, on aura la formule générale

/ ^ f ^ , , .s m (ni — 0 „ , „, jim) -^ j,^(m) ( nip'f/^f"^^^ -H ■ — ■ ■ — - //</'''«-2) + . . .

l']ii ii(Miri';il, si l'on l;i i I v -= />r//-, .... on Iroiivcr;! de I;i iiiriiic iiiiiiiii-rc <|ii(' l;i valeur de — -—r. S(M"i com posée d'îiiihinl de ternies de l;i loiine

«Im'oii |)oiiri;i donner de v;ileiiis dilléreiiles ;iii\ iiondiics a, ;a, v de

iiKinière (|ne l'on ;iit

Supposons

/> ■-- e"'-, (j -: f*^ '", /■ -- gcc, . . . ,

l:i (jiianlité c étitnl toujours t(dle (|ue/<"-— i; on aura

el la loncliou dérivée de l'ordre m sera

y(m) ^^ya-\- h + c-^ . . . )'« y; on aura de même

yV>,) — ç{,.p^ fj{^) ^|X,^^ ,.(V) <..V /.^

Donc, puiscjue y=/>^/% ..., il s'ensuit que la (juanlité

pourra se développer en autant de termes de la loi-nu'

I . 2 . 3 ... X X 1 . 2 . 3 . . . ;x X I . 2 . 3 ... V X . . . (ju'il y aura de manii'res dillêrentes de satisfaire ;i ré(|nalion

rr ([ui s'aec(»rde avee ee qu'on a trouvé d'une autre manii'ie ii la lin de la l.e('(Ui I\'.

Faisons maintenant

on aura

en faisant

A = «4-6h-CH-....

Donc, prenant les fonctions dérivées des ordres m, 1, y., v, .... on aura

j{/«) — A(A — i) (A — 2). . .[A — m-h i)x-'^-'", pO-'i = a ( rt — I ) ( rt — 2 ) . . . ( « — X H- I ) .r«'^-,

q^y-^ =. b[b — i][b — 2). . .[b — iJt. + I ) X-* P-, ,.(v) c[c — "i) (c — 2). . .(c — V + ij.r'-'-^

Donc, puisque

\ — inz=z a — l ~ï- b — \J. -{- c — V 4- ... ,

la (luantité

A(A — i](A — 2r...(A— m + il 1.2.0. . .1/1

se trouvera composée d'autant de quantités de la forme

a{a — 1] {a — 2]. . .{a — À + il

(ju'il y a de manières différentes de satisfaire à ré(jualion

ce (]iii iii(li(|ue une analogie singulière entre le dévcloppemciil de la puissance d'un multinùme et celui du produit continuel du même deeré.

En elfet, ayant dévcdoppé une puissance comme

[rt -h /> 4- f -+-. . .V"

(Ml SCS (lilTV'i'cnIs tci'incs, on aura loiil de siiilc le (Irvcloppciiiciil du pi'odiiil (-oiitiniH-l

où

en sidtsiiliiani dans (dia(|nc Icrnic, ;i la jdacc des puissances a', //\ (■'' les produits conlinnids

rt(rt — i) (rt — a). . .(« — ). -m), c[c —i) (e — rî)...(f — v4-i),

On Ironve nne démonstration directe do ce théoriMne, ponr le himunc. dans ronviaiic de Kranip, (|ni vient de paraître sons le litre i\W/ial)'se tles Bcf raclions.

Nous terminerons cette I^eçon par nne observation inipinlante snr la nature des fonctions dérivées.

H est laciie de se convaincre, par la manière dont les lonclions dérivées dépendent de la t'onclion primitive, (|ue ces fonctions sont ahso- Innient déterniinées, de sorte (pTuiie fonction donnée ne jx'ut avoir ([lU' <les fonctions dérivées données aussi et uniques pour clia({ue ordre.

Il n'en est pas de même des fonctions pritnitives à Téi^ard de leurs <lérivées; car, puis(|ue la fonction dérivée de toute (|uantité constante est nulle, il s'ensuit que, si nne l'onction donnée est primitive à l'égard d'une autre fonction donnée, (die le s<'ra encore, étant augmentée oji diminuée d'une c<uistante qu(dconque. Ainsi une fonction dcmuée peut avoir une intinité de fonctions primitives à raison de la constante (|u'on y peut aj(»uter. Mais il ne s'ensuit pas (jue tontes les fonctions j)rimitives dont (die est susceptible ne puissent différer (jue |>ai' une constante; c'est ce que nous allons démontrer.

Soit une fonction donnéey^^), dont ^[oc) et o{x) soient également fonctions primitives; on aura donc, par riiypotlii'sc,

F'(.r)^/(.r). cl ç'(.r)=/(a.};

donc, prenant les fonctions dérivées successives, on aura aussi

et (le inéuîc

Considérons maintenant les fonctions

F( J7 + «) et ^[x + i); on a, par le développement,

donc, substituant les valeurs de F'(^), Y"{x), . . ., on aura

F(^ + 0 = F(^-) + if{^) + ^/'(•^) + ^/'Vi +• • •' et de même

o(,r + 0 = o(^) + if[x) + '^f{x) + -^/"[-r] +...,

donc, retranchant l'une de l'autre ces deux équations, on aura

Comme cette équation doit avoir lieu quels que soient .t- et i, et que le premier membre est une fonction de x-^i, et le second une pareille fonction de x, il est visible que cette fonction ne peut être qu'il iic constante indépendante de x et /. On aura donc nécessairement

F(^) — ^[x] 3= K, K étant une constante, et par conséquent

F(>r) = o(^]-hK; d'où l'on voit que, si o{x) est une fonction primitive de/(.r), toute

l)i:S FONCTIONS.

îiiili'c loiiclioii piiiiiilivc Vix] de la iiicinc Ibiiclion /(.r) ni' pou ira dil- IV'i'cr (le o(.r ) (|ii(' par une constante.

Il suit (le l;i (|ii(', lois(|iroM aura Iroiivr (riuic nianii'rc (jiiclcoii(|ii(' iiiic roiiclioM piiiiiilivc (rniic l'oiiclioii donnée, en y ajonlani une conslanlf aihilraii'c, on anra rcxpi'cssion i^énéralc de la lonclion primitive de la lonclion donnée.