LEÇON SEPTIEME

SUR LA MAMtRE DE RAPPORTER LES lONCTIONS DÉRIVÉES A DIEFÉRENTES VARIABLES.

Nous avons vu comment les fonctions dérivées naissent des fonctions primitives par le simple développement, lorsqu'on attribue à une val'iable de la fonction un accroissement indéterminé.

Ainsi toute fonction dérivée est nécessairement relative à une variable, et une fonction qui contient plusieurs quantités peut avoir différentes fonctions dérivées, suivant les quantités qu'on y considère comme variables. Lorsque ces quantités dépendent les unes des autres, il y a aussi une relation entre les fonctions dérivées qui y sont relatives, par laquelle on peut déduire les fonctions les unes des autres; cette relation étant un point important de la ibéorie des fonctions, nous allons nous en occuper dans cette Leçon.

En regardant/ comme une simple fonction de .r, on sait que v(h'vient

y 4 ^y l — y -I- . . ., or devenant x-^i. Si l'on suppose que x soit ellemême une fonction d'une autre variable quelconque t, et qu'on veuille regarder y comme fonction de /, alors t devenant l-hi, ou bien (pour ne pas confondre le^ accroissements de 3c et de t), t devenant t-i-o, y deviendra aussi de la forme

or ->, y H-.

Mais pour distinguer les fonctions dérivées y, j', ..., (jui dans la première formule se rapportent à .r, celles de la seconde, (pii se rapportent à /, nous désignerons pour un moment les premières par (y).

DES FONCTIONS. G:j

[y"), ..., <!•' iiKiiiiiTc (|ii(', .r (Icvciiîiiil a; H-/, V (Icviciidra

Or .r claiit icj^ardc coiiimc roiiclioii de; /, l()i'S(|ii(' / dcMciit l '.o, .r dcNiciit

donc, si dans la lorniiilc prccôdentc l'on mot ;i la |dar(' de / l'arcrois-

ri'oisscMicnl de ,r, (|iii csl o.j' H ■ x H-- . . ., on anra «'lialcnn'nl ce (jnc

y de vie ni loi'S(|n(' / devient / -h o. Ainsi on aiiia l'ccinalion idcnl l(|n^' v + (^ox' + ^' ^-^ 4- . . . ) (/ ) + ^ ('oo.-' + ^ x'' + . . . V^r'' ) 4- . . . = / + o r' -K -^

d'oii l'on lire, |)ai' la comparaison des termes affectés des diUéj-enles |)nissances de o,

./•'(/)=/, x"(y)+.r'2 (/')=/', .... La première é(|natioii donne

la seconde donnera

et, suhstitnant la valeur précédente de (y'), l'on aura

Il -^ x'- x'

La troisième é(|uatiou donnerait la valeur de (/"), et ainsi de suite. •Mais j'observe que l'on peut déduire immédiatement la valeur de \ v" ,

(le celle de iy'\ et successivement celle de (y") de celle de (>'")

par la loi unilorme (jui doit régner entre ces fondions deiivées smressives.

En effet, puisque [y') foncliiui dérivée de v par rapport ;i r est ei;ale

à '^j c'est-it-dii'e à la l'onciion déiivce de y pai' rapport à /, divisée par

celle de x\ de iiièine (y") fonciioii dérivée de [y') p.ir rapport à x sera égale à la fonction dérivée de —, par rapport à /, divisée par x, et ainsi

de suite. Or la fonction dérivée de ^ est ^ — — -tt; donc on aura

comme on Ta trouvé par la seconde équation. VA aiusi de suite.

Par ces substitutions on dépouille, pour ainsi dire, les fonctions dérivées de ce qui dépend de la variable à laquelle elles se rapportaient originairement, et on les généralise de manière (ju'elles peuvent se rapporter également à toute autre variable.

Or ce qui déterminait les fonctions dérivées de y à se rapporter à la variable x, c'était qu'elles résultaient de l'accroissement i attribué à cette variable; au lieu qu'en rapportant ces fonctions à une autre variable dont X est censée fonction, l'accroissement de x devient alors

ox' H — x" + . . ., o étant l'accroissement de la nouvelle variable. Ainsi,

comme le cas particulier où l'accroissement de x est simplement ï résulte de l'expression générale de l'accroissement de x, en y faisant x' ^= I, il s'ensuit que x' = i est la condition qui détermine les fonctions dérivées à se rapporter à la variable x, et qu'en général pour les rapporter à toute autre variable il n'y aura qu'à supposer égale à l'unité la fonction prime de cette variable.

Il résulte de là cette conclusion générale que, si une formule contient les fonctions dérivées j', y'\ ..., relatives à une variable x, et qu'on veuille les rapporter à une autre variable quelconque, il faudra changer

y' j'en 5,

y en

x-^ x'-i ) y" -ifx" , ( x"' 3 ^-"2

I)i:S FONCTIONS. 65

'=<) ('qnalioiis |t;ir lcs(|iicll('s on (Ictniiiiiicr;) les v;ilciirs de x',

■f" ou (II- y, y",

(le piiihipc est ^M'iirnil et doit s';ij)|ili(|ii('r il toutes les foiirtions drrivccs (|iii se r;iji|)()il('iil ;i une niriiic v;ii'i;d)!('. Il est d'un i^nind usai:*' dans le calcul des fonrtions, et constitue un des principes londanientau\ de ral^oiillinie de ce calcul.

Le cas le plus simple est celui où, v étant supposé roiicti(ui de .x , et se> ronction> deiivees y', 1'", ... étant l'apportées a .î-, (»n \ent an contraire regarder -r coninie rointion de v, et i-apporler ii v les lonctions dérivées j:', j;", On léi'a dans ce cas les sid)stituti(His indi.|uées cidessus, et l'on supposera

On siihstituera doin- — à la place de y', — -î^ à la place de y', et ainsi des antres.

Ainsi, ayant tiouvé dans la Leçon I\'(jue r = rr' donne, relativeinenl il .r,

y^^ a^ la i=yla,

on pourra avoir iinnn'diatetnenl la valeur de .v' rfdativeiiieiit ii y, en snhsliluant siinpleinent — ;» la place de j'', ce (|ui doniM'ia

y la

('omme x est le loijarillnne iU^ y pour la hase a, on a par lii la fonction dérivée du loijaritlinie.

De même, en supposant

y := sino-,

on a vu dans la Leçon \ (jue r(Hi a, relativement à oc,

v'nz cos.r; donc, pour avoir récipiHxjiU'meiil la l'onction dérivée .r' de l'ani^le par-

le sinus y, il n'y aura qu'à substituer — à la place de y', ce (|ui

(lonnei'a

Si l'on lait

y = COSJ",

on a

}■'=: — siii./';

donc, on ohlieudra de la même manière

sin.r

Os résultats s'accordent avec ceux qu'on a trouvés dans les eiidroils cités d'une manière directe, mais plus longue. Entin ayant vu, dans la Leçon YI, que

V r= tangx donne y

COS-j:-

si l'on veut avoir la fonction dérivée de l'arc par la tangente, (Ui aura

sui'-le-champ